ема 2. Точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины.
Понятие точечной статистической оценки числовой характеристики случайной величины. Требования, предъявляемые к точечным оценкам. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии. Понятие интервальной оценки числовой характеристики случайной величины. Интервальные оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной и неизвестной дисперсии. Интервальные оценки дисперсии случайной величины.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЁТУ И ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ИТОГОВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
При изучении курса «Теория вероятностей и математическая статистика»рекомендуется использовать литературу:
Обязательная:
1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2002. - 479с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов.
М.: Высшая школа, 2003. - 405с.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. -543с.
Дополнительная:
4. Тихомиров Н.Б., Шелехов А.М. Математика: Учебный курс для юристов. — М.: Юрайт, 1999. - 223с.
При подготовке к зачету рекомендуется:
1. Изучить теоретические вопросы, которые выносятся на зачет;
2. Повторить решение задач, выполненных в контрольной работе;
3. Составить список непонятных вопросов и решений задач и задать их преподавателю на консультации перед зачетом.
При выполнении контрольной работы следует руководствоваться следующими требованиями:
1. Работа должна быть представлена в срок, установленный графиком учебного процесса.
2. Работа должна быть правильно оформлена и выполнена четким, разборчивым почерком без применения сокращений слов.
3. В начале работы должен быть указан номер варианта.
4. Перед решением задач необходимо указать их номер и полностью привести условие.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1. В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект (таблица 1). Какова вероятность того, что из взятых наугад m изделий k изделий окажутся дефектными?
2. В магазине выставлены для продажи n изделий, среди которых k изделий некачественные (таблица 2). Какова вероятность того, что взятые случайным образом m изделий окажутся некачественными?
3. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: n1 с первого завода, n2 со второго, n3 с третьего (таблица 3). Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе равна p1, на втором - p2, на третьем – p3. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?
4. В городе имеются N оптовых баз (таблица 4). Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах одинакова и равна р. Составить ряд распределения вероятностей числа баз, на которых искомый товар в данный момент отсутствует.
5. Для дискретной случайной величины, заданной рядом распределения вероятностей (таблица 5):
a. Построить многоугольник распределения вероятностей;
b. Найти аналитическоё выражение для функции распределения вероятностей и построить её график;
c. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
6. Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением 
(таблица 6). Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (b, c).
7. Для выборки данных (таблица 7):
a. Найти вариационный ряд выборки;
b. Найти статистический ряд частот выборки;
c. Найти статистический ряд относительных частот выборки;
d. Изобразить полигон частот и относительных частот выборки;
e. Найти аналитическое выражение для эмпирической функции распределения вероятностей и построить её график;
f. Вычислить выборочное среднее, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
8. Для интервального ряда частот выборки (таблица 8) построить гистограмму относительных частот.
Таблица 1 – исходные данные задания № 1
| Вариант | N | n | m | k |
Таблица 2 – исходные данные задания № 2
| Вариант | n | k | m |
Таблица 3 – исходные данные задания № 3
| Вариант | n1 | p1 | n2 | p2 | n3 | p3 |
| 0,9 | 0,8 | 0,7 | ||||
| 0,8 | 0,7 | 0,7 | ||||
| 0,9 | 0,7 | 0,9 | ||||
| 0,7 | 0,9 | 0,8 | ||||
| 0,9 | 0,8 | 0,6 | ||||
| 0,8 | 0,8 | 0,9 | ||||
| 0,8 | 0,9 | 0,8 | ||||
| 0,7 | 0,8 | 0,9 | ||||
| 0,9 | 0,8 | 0,9 | ||||
| 0,8 | 0,7 | 0,8 | ||||
| 0,9 | 0,9 | 0,8 | ||||
| 0,8 | 0,9 | 0,8 | ||||
| 0,8 | 0,9 | 0,7 | ||||
| 0,9 | 0,7 | 0,7 | ||||
| 0,8 | 0,9 | 0,9 |
Таблица 4 – исходные данные задания № 4
| Вариант | N | p |
| 0,2 | ||
| 0,25 | ||
| 0,1 | ||
| 0,2 | ||
| 0,1 | ||
| 0,2 | ||
| 0,3 | ||
| 0,1 | ||
| 0,12 | ||
| 0,3 | ||
| 0,15 | ||
| 0,18 | ||
| 0,24 | ||
| 0,14 | ||
| 0,16 |
Таблица 5 – исходные данные задания № 5
| Вариант | Ряд распределения | ||||
| xi | -5 | ||||
| pi | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 | |
| xi | 0,2 | 0,5 | 0,6 | 0,8 | |
| pi | 0,1 | 0,5 | 0,2 | 0,2 | |
| xi | -6 | -2 | |||
| pi | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 | |
| xi | 0,2 | 0,5 | 0,6 | - | |
| pi | 0,5 | 0,4 | 0,1 | - | |
| xi | -8 | -2 | |||
| pi | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 | |
| xi | -2 | ||||
| pi | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 | |
| xi | -3 | ||||
| pi | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,2 | |
| xi | - | ||||
| pi | 0,1 | 0,4 | 0,5 | - | |
| xi | -4 | -1 | |||
| pi | 0,3 | 0,1 | 0,4 | 0,2 | |
| xi | -3 | ||||
| pi | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,2 | |
| xi | -6 | -2 | |||
| pi | 0,2 | 0,4 | 0,1 | 0,3 | |
| xi | - | ||||
| pi | 0,5 | 0,1 | 0,4 | - | |
| xi | -5 | -3 | |||
| pi | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,6 | |
| xi | |||||
| pi | 0,2 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | |
| xi | |||||
| pi | 0,3 | 0,1 | 0,3 | 0,3 |
Таблица 6 – исходные данные задания № 6
| Вариант | a |
| b | c |
Таблица 7 – исходные данные задания № 7
| Вариант | Выборка |
| 1, 0, 7, 3, 3, 8, 5, 1, 4, 9. | |
| 7, 1, 6, 5, 2, 3, 0, 3, 7, 5. | |
| 9, 5, 0, 8, 7, 1, 9, 6, 9, 0. | |
| 7, 5, 1, 8, 7, 2, 5, 9, 0, 5. | |
| 9, 5, 9, 5, 2, 7, 5, 9, 8, 9. | |
| 6, 2, 7, 0, 5, 3, 5, 7, 8, 7. | |
| 0, 5, 4, 2, 9, 8, 2, 6, 4, 2. | |
| 3, 2, 9, 1, 9, 9, 4, 9, 5, 4. | |
| 9, 0, 6, 5, 3, 5, 2, 0, 8, 0. | |
| 7, 0, 9, 4, 0, 8, 6, 7, 2, 7. | |
| 3, 7, 4, 5, 8, 8, 9, 9, 9, 2. | |
| 4, 7, 7, 6, 7, 7, 8, 3, 9, 9. | |
| 2, 1, 9, 1, 6, 6, 9, 1, 3, 3. | |
| 6, 0, 8, 7, 7, 7, 0, 9, 7, 9. | |
| 5, 2, 3, 4, 5, 9, 8, 1, 9, 2. |
Таблица 8 – исходные данные задания № 8
| Вариант | i | (xi, xi+1] | ni |
| 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 | |||
| 3-7 7-11 11-15 15-19 19-23 | |||
| 4-8 8-12 12-16 16-20 20-24 | |||
| 11-14 14-17 17-20 20-23 23-26 | |||
| 7-9 9-11 11-13 13-15 15-17 | |||
| 5-8 8-11 11-14 14-17 17-20 | |||
| 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 | |||
| 1-5 5-9 9-13 13-17 17-21 | |||
| Продолжение таблицы 8 | |||
| 10-14 14-18 18-22 22-26 26-30 | |||
| 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30 | |||
| 2-6 6-10 10-14 14-18 18-22 | |||
| 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 | |||
| 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 | |||
| 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 | |||
| 4-9 9-14 14-19 19-24 24-29 |
ЛИТЕРАТУРА
1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2002. - 479с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов.
М.: Высшая школа, 2003. - 405с.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. -543с.
4.Ниворожкина Л.И., Морозова ЗА. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. — М.: Издательский центр МарТ”, 2005. — 608с.
5. Тихомиров Н.Б., Шелехов А.М. Математика: Учебный курс для юристов. — М.: Юрайт, 1999. - 223с.