остояние х можно представить как вектор-столбец, компоненты которого – переменные состояния.

екция 3

Для систем с вращательным движением (рис.2.)

уравнения состояния имеют вид

(1.5)

(1.6)

где M1, M2 – действующие вращающий момент и момент сопротивления; J1, J2 – моменты инерции вращающихся масс на краях передающего вала; с – жесткость на кручение этого вала; – коэффициент демпфирования вала; ₁, ₂ – углы поворота первой и второй инерционной массы соответственно.

асто момент инерции звеньев может быть непостоянной величиной, например, при работе промышленного робота или прокатного стана, и нужно учитывать его зависимость от времени и фазовых координат объекта.

Момент сопротивления нагрузки также зависит от многих факторов. Силы трения (сухое трение) вызывают момент сопротивления, который не зависит от скорости, а только от направления вращения и действует всегда против него. В некоторых системах присутствует вязкое трение с моментом сопротивления, характеризующимся коэффициентом Стокса (кинематическая вязкость).

Когда элементы механических систем существенно деформируются, изменяют свою геометрию либо топологию, в этих случаях могут возникать значительные силовые реакции, оценить которые заранее невозможно. Такие динамические системы очень сложны для управления.

Описание управляемых систем во временной и частотной областях.

Вероятно, первое систематическое изучение устойчивости систем с обратной связью выполнил Джеймс С. Максвелл. В 1868 году Максвелл вывел дифференциальные уравнения маятникового регулятора, линеаризовал их в окрестности точки равновесия и показал, что устойчивость системы зависит от корней ее характеристического уравнения. В 1932 году американец шведского происхождения Гарри Найквист опубликовал свою знаменитую теорему о том, как определить устойчивость по форме частотной характеристики. Критерий Найквиста в момент своего появления считался революционным. В те времена военные считали эти теорему настолько важной, что США держали ее в тайне до конца Второй мировой войны.

В большинстве случаев технические процессы сложны и нелинейны, что не позволяет исследовать их классическими методами теории автоматического управления. В 1950-е годы некоторые исследователи вернулись к описанию систем посредством обыкновенных дифференциальных уравнений для задач управления процессами. Такое направление стимулировалось американской и советской космическими программами, поскольку обыкновенные дифференциальные уравнения представляют собой естественную форму описания динамики космических кораблей. Эта тенденция усилилась с появлением цифровых ЭВМ, которые позволили проводить расчеты, ранее практически не применявшиеся из-за огромных затрат времени. Применение цифровых вычислительных машин потребовало новых математических методов решения задач моделирования. Инженеры работали с дифференциальными уравнениями состояния, а не с частотными или характеристическими уравнениями. Появились новые фундаментальные понятия – управляемость, наблюдаемость и обратная связь по переменным состояния. Стало возможным описывать и исследовать сложные системы в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнения состояния систем.

Дифференциальные уравнения, описывающие физический процесс, необходимо преобразовать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае говорят, что получено описание в виде уравнений состояния в пространстве состояний (state-space form). В таком виде эти уравнения можно решать численными методами. При этом достаточно четко прослеживается связь между внутренними переменными и внешними входным и выходным сигналами.

В общем случае уравнения баланса нелинейны и, как правило, связаны друг с другом. Таким образом, описание динамики процесса может представлять собой набор нелинейных, связанных между собой дифференциальных уравнений первого порядка для баланса энергии, общей массы, массы компонентов, сил и моментов.

Уравнения состояния представляют собой практичный и удобный способ описания динамических систем. Состоянием называется набор всех переменных – так называемых переменных состояния (state variables), производные первого порядка которых входят в уравнения описания динамической системы. Концепция уравнений состояния имеет фундаментальное значение. Если известны текущее состояние системы (переменные состояния) и входные сигналы, то можно предсказать ее дальнейшее поведение. При этом предысторию, т.е. как было достигнуто текущее состояние, знать не нужно. Другими словами, текущее (начальное) состояние – это минимальное количество информации о системе, которое необходимо, чтобы предсказать ее будущее поведение.

остояние х можно представить как вектор-столбец, компоненты которого – переменные состояния.

x (1.7)

Непосредственно измерить все переменные состояния можно в редких случаях (существуют внутренние переменные, за которыми не удается следить с помощью датчиков). Выходные величины (измеряемые параметры) образуют вектор у

y (1.8)

Поэтому описание в пространстве состояний называют также внутренним описанием (internal description).

В общем случае число датчиков, связанных с техническим процессом, меньше числа переменных состояния. Поэтому вычисление переменных состояния x по текущим значениям y выходных (измеряемых) параметров – нетривиальная задача.

На любую техническую систему влияют входные сигналы двух типов – сигналы, которыми можно управлять, и сигналы, которыми управлять невозможно. Сигналы первого типа называются управляющими сигналами или переменными управления и составляют вектор u

u (1.9)

Входные сигналы второго типа могут влиять на систему, но не поддаются управлению. Величина этих сигналов отражает влияние внешней среды на систему, например изменение (возмущение) нагрузки, вызванное температурой, радиацией, магнитным воздействием и т.п. Все эти сигналы обозначим вектором v

v = (1.10)

Целью системы управления является вычисление на основе имеющихся измерений у таких управляющих сигналов u, чтобы, несмотря на влияние возмущений v, техническая система выполняла поставленные задачи. Управляемую систему можно представить в виде структуры (рис. 1.3), на которой показаны управляющие силы, возмущения и выходные переменные.

Описание линейной системы в пространстве состояний.

В том случае, когда модель управляемого объекта (процесса) может быть представлена линейными динамическими системами, их можно моделировать линейными дифференциальными уравнениями. Если эти уравнения являются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, можно найти аналитическое решение х(t) при произвольных входных сигналах u(t) и известных начальных условиях.

При этом между внутренними переменными состояния х и измерениями у существует линейная зависимость.

инейная система имеет много преимуществ, наиболее важным является принцип суперпозиции (superposition principle). Это означает, что при изменении амплитуды входного сигнала на величину b выходной сигнал изменится на величину kb. Несмотря на все достоинства линейного описания, применять его возможно далеко не всегда, поскольку большинство технических процессов существенно нелинейны. Если нелинейности "гладкие", т.е. функция не имеет разрывов второго рода, то при определенных условиях на некоторых интервалах нелинейную систему можно линеаризовать.

Для многих задач управления параметры промышленных процессов должны поддерживаться вблизи некоторых опорных значений. В этом случае целью систем управления является приближение параметров процесса к их опорным значениям. Пока отклонения от опорного значения малы, линейное описание таких систем является адекватным. Однако при больших отклонениях могут потребоваться другие модели, учитывающие влияние нелинейностей объекта.

Описание системы в виде отношений входных и выходных переменных.

Частотные методы используют анализ функций комплексной переменной и преобразование Лапласа. Главные элементы этого подхода – передаточные функции, функциональные блок-схемы и их преобразование, анализ нулей и полюсов функций. К преимуществам анализа систем в частотной области относится возможность использовать соответствующие экспериментальные данные, позволяющие непосредственно построить удовлетворительную модель системы. Если описывается только связь между входными и выходными сигналами, то некоторые внутренние переменные и их взаимосвязи остаются скрытыми, представление системы становится более компактным и имеет меньшее число параметров, чем представление в пространстве состояний. Поскольку в модель включены только входные и выходные переменные, то она называется внешним описанием (external description) в противоположность внутреннему представлению уравнениями состояния. Многие регуляторы в системах управления, например ПИД-регулятор, настраиваются на базе представления технического процесса в виде отношений входных и выходных переменных.

Область применения линейных моделей.

Существуют динамические явления, которые не могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Нелинейное поведение реальных систем обуславливается различными причинами. Некоторые из них:

· ограничение сигнала в устройствах управления

· наличие действующих сил, обусловленных сухим трением

· различные виды реле (с зоной нечувствительности гистерезисом и т. д.)

· клапаны (зоны нечувствительности, насыщение);

· нелинейные деформации механических пружин;

· аэродинамическое сопротивление;

· двигатели постоянного тока с последовательно включенной обмоткой возбуждения (момент - функция квадрата тока роторной цепи);

· двигатели переменного тока.

В реальных условиях все сигналы ограничены. Другой пример ограничения сигнала - обратная связь по току в приводах постоянного тока Ток должен быть ограничен, иначе двигатель сгорит. Соответственно, система управления двигателем не может быть линейной, особенно при больших ускорениях и моментах.

Датчики систем управления также могут иметь нелинейные характеристики. Такая зависимость может быть линейна при небольших значениях измеряемых сигналов, и существенно нелинейной – для больших.

Обычно для нелинейных систем аналитическое решение не может быть получено. Для их решения используются численные методы, что вполне приемлемо в большинстве случаев.

Нелинейные системы.

Нелинейные системы можно описать в следующем виде

. (1.11)

где определены n переменных состояния и r входов, или в векторной форме

(1.12)

В состоянии равновесия производные dx_i/dt равны нулю. Пусть точке равновесия х^* соответствует постоянный управляющий сигнал u^*, тогда условие равновесия

f(x^*,u^*)=0 (1.13)

Это уравнение эквивалентно n скалярным уравнениям и может иметь несколько решений, каждое из которых соответствует некоторой точке равновесия.

Численное моделирование динамических систем в задачах управления.

Для численного решения нелинейных дифференциальных уравнений применяются различные методы, в основе которых – аппроксимация производных по времени разностными уравнениями.

(1.14)

Если известны начальные условия x(0), то можно рассчитать значения x(h), x(2h), x(3h), … , x(nh), которые являются приближениями точного решения в соответствующие моменты времени. Для решения систем дифференциальных уравнений в процессорных системах управления должны быть определены начальные условия и величина шага интегрирования. Чем меньше шаг интегрирования, тем меньше (формально) погрешность аппроксимации при численном интегрировании. Однако слишком маленький шаг ведет к неоправданно большому времени вычислений (которое так же зависит от сложности вычислений, типа уравнений, числа переменных и производительности процессора). Поскольку слишком большое значение шага вызывает проблемы сходимости решений, важно определить компромиссное значение. Эффект неправильно выбранного шага может оказаться очень существенным, особенно если в моделируемой системе взаимодействуют быстрые, и медленные динамические процессы.

На рис. 1.4, 1.5 показано, что при неправильно выбранном шаге решения дифференциальных уравнений, возможно получения недостоверного результата.

Рис. 1.4. Моделирование разгона двигателя при шаге интегрирования h=0.01 с.

Рис. 1.5. Моделирование разгона двигателя при шаге интегрирования h=0.08 с

В данном случае решались уравнения описывающие разгон двигателя постоянного тока при синусоидальном изменении нагрузки на его валу. В общем случае для больших значений h решение будет иметь неустойчивый, колебательный характер. Проблема возникновения колебаний из-за слишком большого шага интегрирования называется численной неустойчивостью. Эта неустойчивость не имеет ничего общего с самой системой и вызывается погрешностями аппроксимации при вычислении решения.

Существует много методов численного интегрирования, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки. Наибольшее распространение получили методы Рунге-Кутта. Большинство методов интегрирования допускают варьируемую величину шага, которая выбирается автоматически, чтобы удовлетворить заданной величине допустимой погрешности. Однако, в этом случае невозможно обеспечить получение решения за одинаковые интервалы времени, что важно для систем управления, работающих в реальном времени.