севдочастотные характеристики дискретных систем.

ЛЕКЦИЯ № 9

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

(продолжение)

План лекции:

2. Методы построения ЧХ дискретных систем.

севдочастотные характеристики дискретных систем.

Из-за своей простоты и удобства использования ЛАФЧХ получили широкое применение при исследовании непрерывных систем. Однако, непосредственное использование ЧХ дискретных систем не может быть выполнено также, как и в случае непрерывных аналогов. Это объясняется тем, что построение дискретных АФЧХ значительно более громоздко, и тем, что эти характеристики не обладают свойством асимптотичности, вследствие чего не могут быть приближенно представлены ломаными линиями. Однако и для дискретных систем оказывается возможным ввести характеристики, которые по методике построения и своим свойствам будут схожи с ЛАФЧХ непрерывных систем. Такие характеристики называются псевдочастотными.

Частотная характеристика дискретной системы полностью определяется значением в диапазоне частот:

; .

Чтобы использовать обычную методику построения ЛЧХ вводят так называемую псевдочастоту l и рассматривают псевдочастотные характеристики.

Переход к псевдочастоте делается на основе билинейного преобразования (w-преобразования).

Введем комплексную величину w, связанную с комплексной величиной Z билинейным преобразованием:

; (9.1)

Сделав подстановку: , получим из предыдущей формулы:

;

; ;

;

где ,

представляет собой так называемую относительную псевдочастоту.

При анализе импульсных систем удобно рассматривать абсолютную псевдочастоту:

(9.2)

Тогда: и .

Чем удобна абсолютная псевдочастота? Она удобна тем, что на малых частотах . Поэтому при выполнении условия , в расчетах можно заменить псевдочастоту действительной круговой частотой. Это свойство может быть использовано, например, при расчетах реакции импульсной системы на медленно меняющиеся гармонические сигналы на его входе.

Нетрудно видеть из зависимости :

что при изменении частоты в пределах: , псевдочастота пробегает все значения от -¥ до +¥, а комплексная величина w движется по оси мнимых частот:

, от -j¥ до +j¥.

Отметим также еще одно замечательное свойство билинейного преобразования.Оно заключается в том, что при таком преобразовании внутренняя часть круга единичного радиуса на плоскости z отображается на левую полуплоскость плоскости w (рис.9.1).

Рис.9.1.

Действительно, пусть w=u+iv, тогда комплексной переменной z определится выражением:

откуда следует, что при

u<0, ;

u=0, ;

u>0, .

Это свойство оказывается чрезвычайно удобным, так как позволяет использовать традиционные критерии для оценки устойчивости импульсных систем.

Итак, для получения передаточной функции импульсной системы на основе псевдочастоты l, необходимо выполнить подстановку в :

а затем заменить:

Частотная характеристика W*(jl) в функции псевдочастоты l

называется псевдочастотной характеристикой (ПЧХ).

В w -области передаточная функция дискретной системы есть дробно-рациональная функция jl, причем при изменении w в диапазоне от , псевдочастота изменяется в пределах:

Таким образом , в области псевдочастот частотные характеристики дискретных систем имеют те же свойства, что и у непрерывных систем. Следовательно, к псевдочастотным характеристикам могут быть применены известные методы синтеза непрерывных систем.