Материалды нкте динамикасы

АТЫРАУ МНАЙ ЖНЕ ГАЗ ИНСТИТУТЫ

МНАЙ ФАКУЛЬТЕТІ

 

ЖАЛПЫ ФИЗИКА КАФЕДРАСЫ

ФИЗИКА пні бойынша

 

Оытуды кндізгі тріне арналан

Оу- дістемелік кешені

 

 

 

 

Атырау, 2011

МОДУЛЬ

М Е Х А Н И К А

Кинематика негіздері

Кинематика – дене озалысын амтамасыз ететін себептерге байланыссыз озалысты оып зерттейді, статика – денелерді тепе-тедіктегі шартын зерттейді, ал динамика –озалысты сол немесе басадай сипатын амтамасыз ететін себептерге байланысты денелерді озалысын оып зерттейді.

Уаыт туіне байланысты денелерді кеістікте орын ауыстыруын механикада озалыс деп атайды. Механикалы озалысты е арапайым мысалы ретінде материалы нкте озалысын арастыруа болады. Материалды нкте деп массасы арастырылып отыран денені массасына те, берілген есепті шартында лшемін елемеуге болатын денені айтады.

Материалды нкте орнын андай-да бір болмасын кез-келген денеге, яни сана денесіне атысты анытауа болады. Кез-келген тадап алынан нкте тыныштыта тр деп аламыз, ал соан атысты кез-келген координат жйесін кеістіктік сана жйесі деп атайды. Кеістіктік сана жйесіндегі рбір нктені орны координаттарымен аныталады. Осы ш координатты орнына радиус-векторды алуа болады. Радиус-вектор деп координаттар басынан арастырылып отыран нктеге дейінгі баытталан кесіндіні айтады. озалысты сипаттау шін кеістіктік сана жйесі жеткіліксіз болып саналады. Сондытан озалысты тек кеістік –уаыт сана жйесінде ана толы сипаттауа болады. Уаыт згерісіне байланысты материалды нкте озалысы мына тедеумен беріледі:

(1.1)

жне

(1.2)

(1.1) жне (1.2) тедеулер материалды нктені кинематикалы тедеулері деп аталады.

Материялды нктені озалысы кезінде артында із алдыруын оны траекториясы деп атайды. Траекторияны формасына арай тзу сызыты жне исы сызыты деп екіге блуге болады. Материалды нкте озалысын траекториямен беттестіре сызса, траектория зындыын материалды нктені жрген жолы деп атайды. Оны рпімен белгілейді, жрілген жол скаляр шама 1.1 суретте

 

1.1-сурет

 

-бастапы мезеттен соы уаыт мезетіне дейінгі ара ашыты , орын ауыстыру деп аталады. Ол - векторлы шама. Егер траектория тзу сызыты болса, онда жрілген жол мен орын ауыстыру беттеседі. Дене тзу бойымен озалса, озалыс тзу сызыты деп аталады. Егер озалан дене кез-келген зара те уаыт аралыында бірдей жол жрсе, ондай озалысты біралыпты тзу сызыты озалыс деп атайды. озалыс трліше болуы ммкін, мысалы р трлі дене бірдей уаыт аралыында р трлі жол жреді, озалысты осындай згерісін біз жылдамды деген ым енгізу арылы сипаттаймыз. Жылдамды-векторлы шама, ол траекторияа жргізілген жанама бойымен баытталады. озалысты жылдамдыы жрілген жола тура пропорционал, сол жолды жруге кеткен уаыта кері пропорционал: , лшем бірлігі .

Біралыпсыз исы сызыты озалыс. Айнымалы озалыс кезінде бірдей уаыт аралыында материалды нктені жрген жолдары бірдей болмайды. Мндай жадайда озалысты орташа жылдамдыы деген ым енгізуіміз керек. Орташа жылдамды векторы деп нктені радиус- векторыны сімшесіні осы уаыт аралыына атынасын айтамыз:

(1.3)

Материалды нктені берілген уаыт мезетіндегі озалысын лездік жылдамды арылы сипаттайды. Лездік жылдамды уаыт аралыы шексіз кемігендегі орташа жылдамды мтылатын шекке те:

(1.3а)

 
Жылдамды деп орын ауыстыру векторыны уаыт бойынша алынан туындысына те жне траекторияа берілген нктеге жргізілген жанамамен баыттас векторды айтады. уаыт аралыы азайан сайын жрілген жолы орын ауыстыруа жаындап беттеседі.

Сонда уаытты кез-келген мезетіндегі озалыс жылдамдыы деп, жрілген жолды уаыт бойынша алынан бірінші ретті туындысын айтамыз.

(1.4)

бдан . - дан шектерінде интегралдап жрілген жолды зындыын анытаймыз :

(1.4а)

Біралыпсыз озалыс кезінде біз уаыт туіне байланысты жылдамдыты алай згеретіндігін арастырамыз. Егер озалыс жылдамдыы дайы артып отырса, демелі озалыс деп, егер жылдамдыы дайы кеміп отырса, онда кемімелі озалыс деп атайды. Олай болса уаыта байланысты жылдамдыты аншалыты тез згеретіндігін сипаттайтын деу деген физикалы шаманы енгіземіз. Біралыпсыз озалысты деуі дегеніміз жылдамдыты сімшесіне тура пропорционал жне осы сімше пайда болан уаыт сімшесіне кері пропорционал шама:

Бл жадайда озалыс айнымалы боландытан жылдамды сімшесіні згеруіне сйкес деу де згерісте болады, олай болса орташа деу деген ым енгізуге тура келеді: . Орташа деу алынып отыран уаыт аралыы шексіз кемігенде, сол орташа деуді мтылатын шегін лездік деу деп атайды.

Демек, деу шама жаынан жылдамдыты уаыт бойынша алынан бірінші ретті туындысы, ал жрілген жолды уаыт бойынша алынан екінші ретті туындысына те:

(1.5)

деу озалыс жылдамдыын саны жаынан да, баыты жаынан да сипаттайтын, векторлы шама, лшем бірлігі: . Бастапы уаыт мезетінде озалыс жылдамдыы , ал уаыттан кейін болсын, онда озалыс деуі болады. озалысты кез-келген уаыт мезетіндегі жылдамдыы: . Олай болса біралыпты айнымалы озалыс тедеуін шыарып алуа болады:

, яни (1.6)

Денені исы сызы бойымен озалысын арастырайы. Бастапы уаыт мезетіеде 1.2 суретте нктесіні жылдамдыы болсын. озалыстаы нкте уаытта нктесіне кшіп, жылдамдыынан баыты жаынан да, модулы жаынан да згеше жылдамдыа ие болады: . Енді векторын нктесіне кшіріп, табамыз. векторын екі раушыа жіктеуге болады. Ол шін нктесінен жылдамды баытымен баыттас, модулы жаынан векторына те векторын жргіземіз. Бдан векторы шамасы жаынан -а те, уаыт аралыында жылдамды згерісін модулы жаынан сипаттайды: . Екінші раушы вектор , уаыт аралыында жылдамды згерісін баыты жаынан сипаттайды.

 

1.2-сурет

деуді тангенциал раушысы (1.7)

яни жылдамды модулынан уаыт бойынша алынан бірінші ретті туындыа те, жанамаа баыттас жылдамдыты згеріс шапшадыын модулы жаынан сипаттайды. Енді деуді екінші раушысын табайы. нктесі нктесіне орын ауыстырып, доасына те элементар жол жреді. уаыт аралыы те аз боландытан доасыны хордасынан айырмашылыы аз болады. Онда жне шбрыштарыны састыынан шыады. Ал , онда . шегінен, аламыз. брышы нольге мтылады, себебі шбрышы те абыралы. мен векторыны арасындаы брышы тік брыша мтылады. Бдан , жне векторлары зара перпендикуляр болады. Жылдамды векторы озалыс траекториясына жанамаа баытталандытан, векторы жанамаа перпендикуляр баытталады да, жылдамдыты баыты бойынша згерісін сипаттайды. деуді екінші раушысы

(1.8)

деуді нормаль раушысы деп аталады жне озалыс траекториясыны радиус бойымен центріне баытталады (сондытан оны центрге тартыш деу деп те атаймыз).

Денені толы деуі тангенциаль жне нормаль раушыларды геометриялы осындысынан трады, яни

 

1.3-сурет

 

Толы деуді модулы мынаан те (1.3-сурет):

(1.9)

Тангенциаль жне нормаль раушыларына байланысты деуді озалысын былай сипаттауа болады:

1. – біралыпты тзу сызыты озалыс,

2. – біралыпты айнымалы озалыс,

3. – деуі айнымалы тзу сызыты озалыс,

4. – шебер бойымен озалыс,

5. – біралыпты исы сызыты озалыс,

6. – исы сызыты айнымалы озалыс,

7. –деуі айнымалы исы сызыты озалыс.

 

озалыс кезінде денені барлы нктелері шеберлер сызатын жне оларды центрлері айналыс осі деп аталатын бір тзуді бойында жататын озалысты айналмалы озалыс деп атайды. Айналмалы озалысты арастыранда брышты жылдамды жне брышты деу ымдарын енгіземіз.

Материалды нкте радиусы шебер бойымен озалып, уаыт мезетінде брышына брылсын. Брышты жылдамды деп, денені брылу брышынан уаыт бойынша алынан бірінші ретті туындысына те физикалы векторлы шаманы айтады.

(1.10)

Брышты жылдамдыты лшем бірлігі: . Сызыты жылдамды пен брышты жылдамдыты арасындаы байланысты 1.4 суреттен круге болады:

 

яни (1.11)

 

1.4-сурет

 

Брышты жылдамдыты баыты о бранда ережесімен аныталады. Нктені шебер бойымен толы бір айналым жасауа ажетті уаытын период деп атайды жне ріпімен белгілейді. Нктені уаыт бірлігі ішіндегі жасайтын айналым саны периода кері шама жиілік деп аталады . Нкте шебер бойымен бір алыпты озалып, бір периода те уаыт аралыында толы бір айналым жасайды, яни -а орын ауыстырады. Осыдан . Екі атынасты салыстырудан алатынымыз:

(1.12)

Бірлік уаыт ішінде брышты жылдамдыты згерісін сипаттайтын шаманы брышты деу деп атап, оны математикалы трде былай жазады: Айналыс бір алыпты болмаан кезде берілген уаыт мезетіндегі брышты деу мынаан те:

(1.13)

егер екендігін ескерсек, онда болады, яни айналмалы озалысты брышты деуі брышты жылдамдытан уаыт бойынша алынан бірінші ретті, ал брылу брышыны екінші ретті туындысына те болады. Брышты деу векторлы шама оны баыты брышты жылдамдыты баытымен баыттас, лшем бірлігі болады.

Егер озалыс демелі болса, векторы мен векторы баыттас болады, егер кемімелі болса векторы мен арама-арсы баытта болады (1.5-сурет).

Материалды нктені ілгерімелі жне айналмалы озалыстарын сипаттайтын шамалар зара мынадай атынаста болады:

1) , бдан немесе

2) немесе .

Айналмалы біралыпсыз озалыс кезіндегі озалыс тедеулері:

, (1.14)

мндаы бастапы брышты жылдамды.

 

1.5-сурет

Материалды нкте динамикасы

Динамика материалды нктелерді немесе денелерді серлесу кезіндегі озалысыны згерісін зерттейді. Динамикада Ньютонны ш заы негізгі задар болып алынады. Егер озалысты сана жйесімен байланыстыратын болса, онда озалушы дене сер етуші кштен блек жне сана жйесімен байланысты бір алыпты жне тзу сызыты озалыста болады.

Ньютонны бірінші заы: материалды нктеге (денеге) ешандай кш сер етпесе, онда нкте (дене) зіні бастапы тынышты кйін немесе бір алыпты, тзу сызыты озалысын сатайды. Материалды нктені немесе денелерді мндай асиетін инерциялы деп атайды. Сондытан да Ньютонны бірінші заы детте инерция заы аталады. Механикалы озалыс салыстырмалы, оны сипаты сана жйесіне туелді. Ньютонны І заы барлы сана жйлерінде орындалмайды, бл за орындалатын сана жйелері инерциялды сана жйесі деп аталады. Инерциялды сана жйесі деп, баса бір инерциялды сана жйесімен салыстыранда тыныштыта тратын немесе біралыпты жне тзу сызыты озалатын сана жйесін айтамыз.

Ньютонны екінші заын арастыруды алдында кш, салма жне масса ымдарына тоталайы. Кш деп денелерді зара серлесуіні нтижесінде бір-біріне деу беруін айтамыз. Денелерді зара сері бір-біріне тек деу беріп оймай, бір-біріні клемі мен формасын да згерте алады. Демек, дене блшектеріні бір-бірімен салыстыранда орын ауыстыруын денені деформациясыдеп атайды. Кш – векторлы шама. Денені жерге тартылуы кезінде оан арсы сер ететін екінші денеге тсетін кшті салма дейді.

Баса денелер сер етпегенде, денені з жылдамдыын сатау абілеті инерттілік деп аталады. Денені инерттілігін сипаттайтын шама инерттілік массадеп аталады. Материя бір трден екінші трге згергенде оны массасы млшері жаынан траты болып алады да, оны тек формасы згереді. Масса материяны негізгі асиетін сипаттайтын физикалы скаляр шама, ол инерттілікті санды лшеуіші.

Ньютонны екінші заы ілгерілемелі озалыс динамикасыны негізгі заы – ол денелерді зара серлесуі жне ілгерімелі озалысы кезінде оларда болатын згерістеріні байланысын сипаттайды. Егер р трлі кштеріні андай да тек массалы бір денеге серін арастырса, онда ол денені алатын деуі осы сер ететін кштерге тура пропорционал болады: . Егер р трлі массалы денелерге брдей кшпен сер етсе, онда оларды алатын деулері р трлі болады. Дене массасы лкен болан сайын, ол денені деуі азыра болады: яни , . Осы рнектерді пайланып, рі кш пен деуді векторлы шамалар екенін ескере отырып, былай жазуа болады:

(2.1)

Бл рнек Ньютонны екінші заы деп аталады жне былай тжырымдалады: денені алан деуі сер етуші кшке тура пропорционал, дене массасына кері пропорционал жне сер етуші кшті баыты бойынша згереді.

Ньютонны І заы Ньютонны ІІ заыны дербес трі болып табылады. Шынында да, те серлі кшті сері болан жадайда (денеге сыртттан баса денені сері болмаан жадайда) оны деуі де болады. Ал біз деуді екенін білеміз, осыдан екені шыады. Дене зіні бастапы тынышты немесе бір алыпты тзу сызыты озалыс кйін сатайды, яни инерция заына айналады. Таы бір ескеретін жай денеге бір мезгілде бірнеше кш сер етсе, онда деу осы кштерді векторлы осындысына те орыты кшімен аныталады, яни .

Кшті лшем бірлігі –Ньютон, яни массасы 1 кг денеге 1м/с2 деу беру шін 1Н кшпен сер ету керек.

Ньютонны екінші заын баса трде де жазып крсетуге болады. Ол шін кинематика бліміндегі деуді мнін ескеретін болса, онда

мндаы денені (материалды нктені) массасыны классикалы физикада тратылыын ескеріп, оны дифференциалды астына жазуа болады:

(2.1а)

Бл озалыс тедеуі Ньютонны екінші заын дифференциал трде крсетеді. Ал дифференциалды астындаы денені массасы мен жылдамдыыны кбейтіндісі денені импульсі немесе озалыс млшері деп аталатын векторлы шаманы береді:

(2.2)

Импульс ымын пайдаланып, Ньютонны екінші заын жалпы трде жазуа жне тжырымдауа болады:

(2.3)

Денені (материалды нктені) импульсіні немесе озалыс млшеріні уаыт бойынша бірінші туындысы оан сер етуші кшке те.

Денелерді немесе материалды нктелерді арасындаы серлесу Ньютонны шінші заымен аныталады. Ньютонны шінші заы оны екінші заын толытыра тседі жне денелерді озалыс кйлерін згеріске шырататын зара сер екендігін крсетеді. Бл за былай тжырымдалады: серлесуші екі денені бір-біріне сері руаытта сан жаынан те, баыттары жаынан арама-арсы болады. Мысалы: массалары жне екі дене алып арастырайы. Олар жне кштеріні серінен , деу алады. Ньютонны екінші заы бойынша: .

Ньютонны шінші заы бойынша:

(2.4)

Бдан серлесуші екі денені деулері оларды массаларына кері пропорционал рі арама-арсы баытта баытталады. Мндаы жне кштері р трлі денелерге сер ететіндіктен, олар бір-біріне тегерілмейді. Сондытан оларды осуа болмайды. Біра белгілі бір жйені арастыранда денелерді арасындаы зара серлесу кштерін осуа болады, біра оларды осындысы рдайым нлге те.

Озалыс млшеріні (импульсті) саталу заы. озалыс млшеріні саталу заын орытып шыару шін кейбір тсініктерді енгізейік. Материалды нктелерді немесе денелерді жиынын бтін бір жйе ретінде арастырамыз. Оны механикалы жйе деп атаймыз. Механикалы жйедегі материалды нктелер арасындаы серлесу кштерін ішкі серлесу кштері деп атайды. Ал, сырты кштер деп, берілген жйеге кірмейтін материалды нктелермен серлесу нтижесінде пайда болатын кштерді атайды. Денелерді механикалы жйесіне сырттан ешандай кш сер етпесе, онда ол жйені тйы жйе деп атайды.

Кез-келген денелерден тратын механикалы жйені арастырамыз. Оларды массалары жне жылдамдытары болсын. Егер сер етуші ішкі кштер жиынтыы деп, ал сер етуші сырты кштер жиынтыы деп алса, онда кез-келген дене шін Ньютонны екінші заын былай жазуа болады:

Тедікті екі жаын зара осса, ол мынаан те:

Ньютонны шінші заы бойынша механикалы жйені ішкі кштеріні геометриялы осындысыны нлге те екенін ескерсек .

Онда немесе , мндаы - жйені озалыс млшері.

Сонымен механикалы жйені озалыс млшеріні уаыт бойынша туындысы жйеге сер ететін сырты кштерді геометриялы осындысына те. арастырып отыран жйемізді тйы екенін ескерсек, онда сырты кштер сері нлге те болады, яни: немесе бдан

(2.5)

Бл рнек озалыс млшеріні саталу заы болып табылады: тйы жйені озалыс млшері саталады, яни уаыт туімен згермейді. озалыс млшеріні саталу заы тек ана классикалы физикада ана емес сонымен атар тйы жйедегі те са блшектер шін де орындалады (квантты механика заы шін). Сондытан бл за табиатты негізгі задарыны бірі болып табылады.

Классикалы механикада масса жылдамдыа туелсіз боландытан, жйені озалыс млшерін оны массалар орталыыны (центрі) жылдамдыы арылы жазуа болады. Массалар орталыы деп орны осы жйені массасыны таралуын сипаттайтын елестету С нктесін айтамыз. Оны радиус-векторы мынаан те:

(2.6)

мндаы – - ші материалды нктені массасы мен радиус-векторы, – жйені материалды нктелер саны, - жйені массасы. Массалар орталыыны жылдамдыы:

(2.7)

мндаы , ал жйені импульсі десек, онда

(2.8)

деп жазуа болады, яни жйені озалыс млшері жйені массасы мен массалар орталыыны жылдамдыыны кбейтіндісіне те. Соы рнекті трлендірсек, онда:

(2.9)

Сонымен жйені массалар орталыы жйені барлы массасы осы нктеге жинаталан жне сер етуші кш, осы жйеге сер ететін сырты кштерді геометриялы осындысына те материалды нкте сияты озалады. рнек массалар орталыыны озалыс заы болып табылады. Импульсті саталу заынан тйы жйені масса орталыы тзу сызыты жне біралыпты озалады немесе тынышты кйін сатайды.

йкеліс жне серпімділік кштері.Механикалы процесстерде денелерге ртрлі кштер сер етеді: тартылыс, йкеліс, серпімділік. Денелерді зара салыстырмалы озалысы кезінде оларды жанасу беттері арасында пайда болатын кштерді йкеліс кштері деп атайды. Денелерді жанасу беттеріні арасында сйы немесе газ абаты болмаан жадайда йкеліс сыранау жне домалау йкелістері болып екіге блінеді. Сыранау йкеліс кші рдайым денелерді жанасу бетіні бойымен орын ауыстыруа арама-арсы баытталады. Сондытан йкеліс кші рашан денелерді салыстырмалы озалыс жылдамдыыны модулын кемітуге тырысады. Тынышты йкеліс кші денелерді жанасу бетіне жанама бойымен баытталан сырты кшіне модулы жаынан те, баыты жаынан арама-арсы болады. Тынышты жне сыранау йкеліс кштері шін тменгі атынас орындалады:

(2.10)

мндаы -йкеліс коэффициенті, ол жанасатын беттерді материалына, деу сапасына туелді.

2.1-сурет

Жазытыта дене жатса жне оан кші сер етсін, 2.1-сурет. Дене онда кші кшінен кп болса ана озалыса келеді. Тынышты максимал йкеліс кші сондай-а сыранау йкеліс кші йкелетін беттерді жанасу беттеріні шамасына туелді болмайды жне йкелісетін беттерді бір-біріне ысатын, алыпты ысым кші шамасына пропорционал болады.

Серпімділік кші. Сырты кштерді серінен денені немесе оны жеке бліктеріні пішініні згерісі деформация деп аталады. Деформация кезінде пайда болатын жне зара серлесетін дене блшектеріні орын ауыстыруына арсы жаа баытталатын кшті серпімділік кші деп атайды. Серпімділік кшін Гук заы арылы анытауа болады. Бл за серпімді деформацияны созылу, сыылу, ыысу, бралу, иілу сияты трлері шін орындалады. Денені серпімді деформациясы кезінде пайда болатын серпімділік кші денені заруына пропорционал да, дене бліктеріні орын ауыстыру баытына арама-арсы баытталады:

(2.11)

мндаы -денені атады коэффициенті, – орын ауыстыру.

Мысалы: озалмайтын нктесіне бекітілген серіппені арастырайы. Серіппеге кшімен сер етіп, оны зартайы. руаытта серпімді кш деформацияны туызатын кшке шамасы жаынан те, ал баыты жаынан арама-арсы болады:

.