Жмыс жне энергия

Табиатта жмыс істелу салдарынан материя озалысыны формасы бір трден екінші трге згеріп отырады. Материалды объектіні бір кйден екінші кйге кшкенде жмыс істеу абілетін энергия деп атайды. Денені механикалы озалысыны згерісі сол денеге баса денелерді сер кшінен пайда болады. серлесетін денелерді арасындаы энергия алмасу процесіні санды млшерін сипаттау шін кш жмысы деген ым енгіземіз.

Дене тзу сызыпен озалан жадайда оан орын ауыстыру баытына брыш жасай, траты кш сер етсе, онда бл кшті жмысы кшті орын ауыстыру баытына тсірілген раушысы мен кш тскен нктені орын ауыстыруыны кбейтіндісіне те:

(3.1)

3.1-сурет

- сер еткен кшті жолды баытына тсірілген проекциясы.

Жалпы аланда кш модулы жне баыты бойынша згеруі ммкін. Сондытан жоарыдаы формуланы пайдалануа болмайды. Егер -элементар орын ауыстыру болса, онда сер етуші кші траты, ал озалысы тзу сызыты болады. Осы кезде кшіні серінен -элементар орын ауыстыранда - элементар жмыс жасалады:

мндаы - жне векторларыны арасындаы брыш, -элементар жол кшіні векторына тсірілген раушысы.

Біз денені андай да бір М нктеден N нктеге орын ауыстыруын арастырайы (3.2-сурет). Орын ауыстыру MN исы сызыты себебі денеге тсірілген кш айнымалы. Айнымалы кшті жмысы, жолды аз блігіндегі элементар жмыстарды осындысына те. Жолды шексіз элементар бліктерге блгендегі жмыс интегралмен аныталады:

(3.2)

3.2-сурет 3.3-сурет

Мндаы интегралды есептеу шін кшіні жола траектория бойымен байланысын арастырамыз. Жмысты 3.3-суреттегі графигі штрихталан фигураны ауданымен сипатталады. Егер жне болса, онда жмыс:

(3.3)

Бл формуладан: егер пен арасындаы брыш болса, онда раушысы озалыс жылдамды векторымен баыттас болады да, кш жмысы о болады, егер пен арасындаы брыш болса, онда жмысы теріс болады, яни жмыс тсірілген кшке арсы істелінеді, ал егер болса, онда кш жмысы нлге те болады. Жмысты лшем бірлігі: кш серінен дене орын ауыстырса жмыс жасалады.

Істелінген жмысты жылдамдыын сипаттау шін уат деген ым енгіземіз. Мехннизмні уаыт бірлігіндегі істелетін жмысын уат дейді. Егер уаытта істелінген жмыс болса, онда осы уаыттаы орташа уат мына формуламен

рнектеледі. Уаытты берілген мезетіндегі уат (лездік уат)

(3.4)

яни уат деп, жмыстан уаыт бойынша алынан бірінші ретті туындыа те шаманы айтады. уатты лшемі – ватт (Вт): . Егер дене сер еткен кшті салдарынан траты жылдамдыпен озалса, онда уат былай аныталады:

(3.5)

уат – кш векторы мен кш тсірілген нктені жылдамды векторыны кбейтіндісіне те скаляр шама.

Жоарыда айтып кеттік, материалды объектіні бір кйден екінші кйге кшкенде жмыс істеу абілетін энергия деп атайды. Материя озалысы формасыны ртрлі болуына байланысты энергия да ртрлі болады: механикалы, ішкі, электромагниттік, ядролы т.б. Соны ішінде механикалы энергияны арастырайы. Механикалы энергияны зі кинетикалы жне потенциалды болып екіге блінеді.

Кинетикалы энергия деген ымды еркін денеге сер етуші кшті жмысын есептеу арылы тсіндірген жн. Тсірілген кшті істеген жмысы денені жылдамдыыны згертеді. Бл байланыс материалды нктені кинетикалы энергиясы деп аталатын физикалы шама арылы рнектеледі.

Материалды денені кинетикалы энергиясын анытау керек болсын. Сонда массасы денені жылдамдыы ден -а дейін артан кездегі кшті істеген жмысы, сол денені кинетикалы энергиясыны суіне жмсалады, яни . сер етуші кшке Ньютонны екінші заын пайдаланамыз . Осы инерция кшіні нтижесінен дене -ке орын ауыстырса, онда істелінген жмыс болады, яни

. Бдан , сонда

Енді істелген жмысты табу шін соы рнекті интегралдаймыз, яни

(3.6)

Сонымен кшіні істелінген жмысы кинетикалы энергия деп аталатын шамаа те болады. Соы формуладан кинетикалы энергияны денені тек ана массасы мен жылдамдыына туелді екендігін креміз, яни жйені кинетикалы энергиясы оны озалысыны кй функциясы болып табылады. Жоардаы формуланы орытанда, озалысты инерциалды сана жйесінде арастырайы. Онсыз Ньютон задарын олдана алмас едік. Бір-біріне атысты озаландаы ртрлі инерциялды сана жйелерінде денені жылдамдыы жне кинетикалы энергиясы трлі болады. Бдан кинетикалы энергия сана жйесіне туелді екендігін креміз. Егер бірнеше материалды нктелер жйесін арастырса, онда формуланы ескере отырып, жмысты мына трде рнектеуге болады:

Жйені кинетикалы энергиясы деп, осы жйені райтын барлы материалды нктелерді кинетикалы энергияларыны осындысын айтады. орыта келгенде, жйені кинетикалы энергиясынны згерісі жйені райтын нктелерге тсірілген барлы нктелерді жмысына те болады.

Потенциалды энергия жйені блшектеріні зара орналасуымен жне оларды сырты кштік рістегі орнына байланысты аныталады. Егер дене кеістікті рбір нктесінде баса бір денені кш серіне тап болатын болса жне нктеден нктеге згеретін жадайа тссе, онда ол денені кштер рісінде тр деп айта аламыз.

Денені орнына ана байланысты болатын кштер шін оларды денеге атысты істейтін жмысы жола туелді болмай, денені кеістіктегі бастапы жне соы орнымен ана аныталатын жадайы болады. Бл жадайдаы кштерді консервативті кштер деп атаймыз. Мысалы, гравитациялы кштерді серінен жасалан жмыс жолды формасына байланыссыз траты болып ала береді. Себебі гравитациялы кшті зі консервативті кштер атарына жатады. Консервативті кші бар рісті потенциалды деп атайды. Егер кш жмысы денені бір нктеден екінші бір нктеге орын ауыстыру траекториясына туелді болса, ондай кштер диссипативті кштер деп аталады (мысалы, йкеліс кші). Потенциалды энергия ымы консервативті кштерді жмысына байланысты енгізіледі. функциясыны наты трі кш рісіні сипатына туелді. Айталы, мысалы материалды дене ауырлы кшіні біртекті рісінде озаланда, яни дене бір дегейден екінші дегейге ктерілгенде жмыс істеуі салдарынан потенциалды энергиясы згереді. Массасы дене жер бетінен биіктікке ктерілген кезде істеген жмысы потенциалды энергияны згерісіне те: . Толы жмысты табу шін жер бетінен, яни ден биікткке дейін интегралдаймыз:

(3.7)

Ауырлы кші рісінде істелген жмыс жолды формасына жне зындыына байланысты емес, тек жолды соы нктесіні бастапы нктесіне араанда аншама биік жатандыына байланысты. Денені потенциалды энергиясы жер бетінен жоары болса о , ал тмен болса (шахтаны тбінде) теріс болады. Кинетикалы энергия р уаытта о болады.

Потенциалды энергияны абсолют мні лшенбейді, біра руаытта наты траты мніне дейінгі длдікпен бааланатынын тсіну те маызды. Мысал шін серіппені потенциалы энергиясын табайы. Гук заы бойынша серпімділік кші деформацияа пропорционал: , мндаы серпімділік (атады) коэффициенті. Ньютонны шінші заы бойынша деформациялаушы кш серпімділік кшіне модулі жаынан те, баыты жаынан арама-арсы, яни

. Элементар деформациялананда кшті істейтін элементар жмысы , ал толы жмыс серппені потенциалды энергиясыны суіне жмсалады:

(3.8)

Тйы механикалы жйеде кинетикалы жне потенциялды энергияларды осындысы траты шама болып алады Мндай жйелер консервативті деп аталады.

Енді материалды нктелер жиынынан тратын оашаланан жйені арастырайы,олара сырты жне консервативті ішкі кштер сер ететін. Материалды нктелер жйесіні массалары , жылдамдытары деп, ал осы материалды нктелерді райсысына сер ететін консервативті ішкі кштер, жйеге сер ететін сырты кштер деп алайы. Енді Ньютонны екінші заына сйене отырып, озалыс тедеуін жазамыз:

Осы кштерді серінен жйедегі нктелер уаыт аралыында элементар ара ашытыа орын ауыстырсын. Тедікті екі жаын да осы кбейтіп, рі ескерсек, онда:

Енді бл тедеулерді осатын болса:

бдан бірінші осылыш жйені кинетикалы энергиясыны сімшесін береді:

ал екінші осылыш барлы кштерді жйедегі денелерді элементар орын ауыстыру шін істелген жмысы, яни теріс “-“ табалы потенциялы энергияны сімшесіне те:

яни бдан жйені толы энергиясы:

(3.9)

Сонымен, тек консервативті кштер сер еткенде ана тйы жйені толы энергиясы траты болады, яни уаыт туімен згермейді. Бл тжырымдалан аида механикалы энергияны саталу заы деп аталады жне механикалы негізгі задарыны маызы салдарыны бірі болып табылады.

Энергияны саталу заы кез-келген инерциялды сана жйесінде орындалады жне ол кеістікті симметриялы асиетімен тыыз байланысты. Жйеде сер етуші кштер консервативті кштер болса ана оашаланан жйе шін механикалы энергияны саталу заы орындалады. Ал диссипативті кштер сер етсе, онда кинетикалы жне потенциалы энергияларыны осындысы траты болмайды, бл кезде энергия бір трден екінші трге ауысады, біра оны жалпы млшері згермейді.

Энергияны саталу заын кеірек тсіну мынаны крсетеді: энергия жоалып кетпейді жне жотан пайда болмайды, ол тек бір трден екінші трге ауысады жне де энергияны бір трі аншаа кемісе, екінші трі соншаа артады. Басаша айтанда, материя жне озалыс бірттас байланыста болады. Материясыз озалыс, озалыссыз материя болмайды. озалыс – материяны мір сру формасы.

Атты дене механикасы

атты денені инерция моменті. Жалпы мірде кездесетін атты денелер, кшті серінен деформацияланады, яни оларды лшемі мен формасы згереді. Кбінесе деформациясыны шамалы болатындыы сондайлы, денені озалысын сипаттаанда оны елемеуге де болады. Сондытан біз рі арай осы таырыпты арастыранда абсолют атты дене деген тсінік енгіземіз. андай жадайда да денені деформациясын елемеуге болатын немесе барлы жадайда осы денені екі нктесіні (яни екі блшегіні) ара ашытыы згермей саталатын денелерді абсолют атты денелер деп айтамыз.

Айналмалы озалыс кезінде атты денелерді барлы нктелері шебер бойымен озалады, оларды центрлері айналу осі деп аталатын бір тзуді бойында жатады. Айналмалы озалысты сипаттау шін кеістіктегі айналу осіні алпын жне рбір уаыт мезетіндегі денені брышты жылдамдыын білу керек. атты денені айналысын арастыран кезде инерция моменті деген ым енгіземіз.

атты денені немесе материалды нктені айналу осіне атысты инерция моменті деп денені немесе материалды нктені массасы мен арастырылып отыран оське дейінгі араашытыыны квадратыны кбейтіндісіне те физикалы шаманы айтады:

(4.1)

4.1-сурет

атты денені зі жеке-жеке материалы нктелер жиынтыынан трады. Сондытан атты денені (4.1-сурет) материалы нктелер жиынтыы ретінде де арастыруа болады.

Жйені (денені) айналу осіне атысты инерция моменті деп осы жйені райтын материалды нктелерді массаларыны арастырылып отыран оське дейінгі араашытыты квадратыны кбейтіндісіні осындысына те шаманы айтады: . Массасы біралыпты таралан дене шін бл сумма барлы клемі бойынша интегралданады: мндаы .

Мысал: Біртекті ттас цилиндрді инерция моментін табайы. 4.2-суретте цилиндр биіктігін , ал оны радиусын деп алайы. Цилиндрді кішкене бліктерге блеміз, алыдыы те. Оны ішкі радиусы r, ал сырты радиусы те. рбір кішкене цилиндірді инерция моменті , мндаы цилиндрды барлы нктесіні осьтен араашытыы рі ескереміз, ал -барлы элементар цилиндрді массасы.

4.2-сурет

арастырылып отыран элементар цилиндрді клемі: , егер - материалды тыыздыы болса, онда яни оны массасы, ал элементар инерция моменті болады.

Сонда ттас цилиндрді инерция моменті:

бдан -цилиндрді клемі, ал оны массасы болады. Сонда цилиндрді инерция моменті:

(4.2)

Бдан баса кейбір денелерді иерция моменттері:

1. Радиусы болатын шарды центрі арылы тетін оське атысты инерция моменті:

(4.3)

2. зындыы стерженге перпендикуляр рі оны ортасы арылы тетін оське атысты инерция моменті:

(4.4)

3. зындыы стерженге перпендикуляр жне оны бір шы арылы тетін оське атысты инерция моменті:

(4.5)

Егер айналатын атты денені ауырлы центрі арылы тетін оське айланысты инерция моменті белгілі болса, онда оны кез-келген осы оське параллель осьтен айналандаы инерция моменті Штейнер теоремасы арылы аныталады: кез-келген оське атысты инерция моменті – берілген оське параллель жне дене инерциясыны центрі арылы тетін оське атысты инерция моменті мен денені массасыны осьтер арасындаы араашытыыны квадратына кбейтіндісіні осындысына те:

(4.6)

Айналысты кинетикалы энегиясы. Абсолют атты денені озалмайтын осьтен айналысын арастырайы. Осы денені ойша кішкене клемшелерге блейік, оны массалары айналмайтын осьтен ашыта болсын. атты денелерді оське атысты айналысында массалары р трлі радиусты шеберлер сыза озалып, сызыты жылдамдыа ие болады.

Біра бізді арастырып отыранымыз абсолют атты дене боландытан, оны озалысыны брышты жылдамдыы бірдей болады:

(4.7)

Денені айналмалы озалысыны кинетикалы энергиясы оны жеке бліктеріні кинетикалы энергиясынан ралады:

немесе

бан енді _i=r_i рнегін пайдаланса:

(4.8)

Сонымен, озалмайтын остьтен айналатын денені кинетикалы энергиясы деп, осы оськеатысты инерция моменті мен брышты жылдамдыты квадратыны кбейтіндісіні жартысына те шаманы айтады.

Бл рнек ілгерімелі озалатын денені кинетикалы энергиясына сас келеді. Айналмалы озалыс кезінде массасыны рлін инерция моменті, ал сызыты жылдамды рлін брышты жылдамды атарады. Клбеу жазытытан домалап келе жатан денені, мысалы цилиндрді, кинетикалы энергиясы ілгерімелі озалыс энергиясы мен айналмалы озалыс энергиясыны осындысынан трады:

(4.9)

мндаы: – денені массалар центріні сызыты жылдамдыы, -денені брышты жылдамдыы, -массалар центрі арылы тетін осіне атысты денеі инерция моменті, m-домалап келе жатан денеі массасы.

атты денені кш моменті. озалмайтын 0 нктесіне байланысты кш моменті деп, 0 нктесінен нктесіне жргізілген радиус-вектор векторы мен оан тскен кшіні кбейтіндісіне те физикалы шаманы айтады:

4.3-сурет

Мндаы псевдовектор, 4.3-суретте оны баыты - ден -ке арай браандаы о бранданы ілгерімелі озалыс баытымен баыттас. Кш моментіні модулі:

(4.10)

мндаы брышы мен арасындаы брыш, r – бл 0 нктесі мен сер етуші кш сызыыны арасындаы е ыса араашыты кш иіні деп аталады. Сонда кш моменті айналдырушы кш пен айналу осіне дейінгі е ыса араашыты, иінні кбейтіндісіне те.

Енді осы денені айналдыран кездегі жмысты рнегін анытайы (4.4-сурет). Айналмайтын 0 осьтен ашытыы нктесіне кші сер етсін. Кшті баыты мен векторыны арасындаы брыш -а те.

4.4-сурет

Денеміз абсолют атты дене боландытан, осы айналдырушы кш жмысы осы денені тгел брылуына жмсалан жмысына те. Дене те азантай d брыша брылан кезде, В нктесі dS жол жреді: dS=rd. Брылан кездегі істелген жмыс брылу баытына тсірілген кш проекциясы мен брылу шамасыны кбейтіндісіне те: , мндаы , сонда . Бізге брыннан r sin = l иінді береді, ал кш моментін береді. Сондытан

(4.11)

яни денені айналдырандаы істелінген жмыс сер етуші кш моменті мен брылу брышыны кбейтіндісіне те. Денені айналдыранда істелінген жмыс оны кинетикалы энергиясыны суіне жмсалады: ,

біра , сондытан немесе ескере отырып, мына рнекті аламыз:

; (4.12)

Денеге сер етуші кш моменті денені инерция моменті мен брышты деуіні кбейтіндісіне те: – озалмайтын оське атысты атты денені айналмалы озалысыны динамикалы тедеуін береді.

атты денені импульс моменті жне оны саталуы. Айналмалы озалыс пен ілгерімелі озалысты салыстырайы, яни денені импульсіні аналогы андай шама болатынын арастырайы.

0 озалмайтын оське атысты А материалды нктені импульс моменті жне векторларды кбейтіндісімен аныталатын физикалы шама болып табылады:

мндаы - 0 нктесінен нктесіне жргізілген радиус – вектор, - материалды нктені импульсі немесе озалыс млшері.

- псевдовектор, оны баытын о бранда ережесімен -дан -а айналдыра бранда ілгерімелі озалысыны баытымен баыттас болады. Импульс моментіні модулі:

мндаы r sin = l – 0 нктесіне атысты векторыны иіні, ал - мен векторларыны арасындаы брыш. Импульс моменті иін мен материалды нктені импульсіні кбейтіндісіне те.

Енді кез-келген і нктесіні немесе m_i дене блшегіні массасыны озалмайтын оське атысты импульс моментін анытаймыз. Абсолют атты денені озалмайтын оське атысты айналдыра осса, онда осы денені рбір жеке нктесі осы оське атысты траты r_i радиуспен жне _i сызыты жылдамдыпен шебер сыза озалады. жылдамдыы мен m_і импульсі осы радиуса перпендикуляр баытталан, яни радиус осы векторыны иіні болып табылады. Сондытан рбір жеке блшекті импульс моментін былай жазамыз:

(4.13)

Ал озалмайтын оське атысты абсолют атты денені импульс моменті рбір жеке блшектеріні импульс моменттеріні суммасына те:

Бізге брыннан белгілі пайдалана отырып, былай жазамыз:

яни (4.14)

Сонымен, озалмайтын оське атысты атты денені импульс моменті осы оське атысты денені инерция моменті мен брышты жылдамдыты кбейтіндісіне те. Соы рнекті уаыт бойынша дифференциалдаса:

яни (4.15)

Бл рнек атты денені айналмалы озалыс динамикасыны таы бір трін береді. озалмайтын оське атысты атты денені импульс моментіні уаыт мезетіндегі згерісі осы оське атысты кш моментіне те болады. Егер біз тйы жйе алса, онда сырты кш моменті =0 бдан

, олай болса (4.16)

Соы рнек импульс моментіні саталу заын береді: тйы жйені импульс моменті саталады, яни уаыт туімен згермейді. Импульс моментіні саталу заы табиатты фундаменталды заы. Ол кеістікті белгілі бір симметриялы асиетімен байланысты, кеістікті изотроптыымен байланысты, яни координаталар сана жйесінде тадап алынан ось баытына атысты физикалы задылытарды инварианттылыына байланысты.

Импульс моментіні саталуын йкеліссіз вертикаль осьтен айналатын Жуковский орындыына адамды трызып крсетуге болады (4.5-сурет).

кбейсе, азаяды немесе азайса, кбейеді.

4.5-сурет