Тербелістер мен толындар

Тербелмелі озалыстар.Табиатта те жиі кездесетін озалыстарды атарына тербелістерді жатызуа болады. Тербелмелі озалыс немесе жай тербеліс деп уаытты туіне байланысты айталанып отыратын озалыстарды айтады. Тербелісті трі сан алуан боланымен, оларды барлыы да жалпы задылыпен згереді. Оларды е арапайым трі гармониялы тербелістер. Синус немесе косинус заы бойынша уаыта туелді згеретін тербелісті гармониялы тербеліс дейді. Ол келесі формуламен рнектеледі:

( 8.1 )

мндаы -тербеліп тран денені (жйені) ыысуы, А – жйені тепе – тедік кйден е лкен ауытуы тербеліс амплитудасы, - уаыт мезетіндегі тербеліс фазасы, - бастапы фазасы деп аталады. Фаза радиан немесе градус бірліктерінде лшенеді, - циклдік жиілік, ол Т (бір период) уаыт ішіндегі болатын толы тербеліс санына те шама.

Уаыт ткен сайын жйені озалысы дл айталанып отырса, онда мндай тербелісті периодты деп атайды. Толы бір тербеліске кететін уаыт период (Т) деп аталады. Тербелуші жйеге йкеліс кштері сер етпесе, онда ол еркін тербеледі, оны амплитудасы, периоды згермейді. Егер жйе уаыт ішінде рет тербелсе, онда ішінде тербеліс жасайды, ал мны тербеліс жиілігі деп атайды, ол периода кері шама

(8.2)

Период пен циклдік жиілік арасындаы байланыс

(8.3)

Жиілік лшенеді. Бір секундта бір тербеліс жасалатын болса, онда тербеліс жиілігі берге те, оны лшем бірлігі герц (Гц) деп аталады.

Тербелмелі озалыс тек пен ана емес, сонымен бірге жылдамды жне деумен сипатталады. Оларды мндері (8.1) рнегінен аныталады. (8.1) рнегін уаыт арылы дифференциалдап жылдамды тедеуін аламыз:

(8.4)

(8.4) рнегі бойынша жылдамды та гармониялы заа баынады, -- жылдамды амплитудасы. (8.1) мен (8.4) рнекетрін салыстырса, жылдамды ыысудан фаза бойынша - ге озып отырады. (8.4) таы да уаыт бойынша дифференциалдап, деу рнегін табамыз:

(8.5 )

(8.5) мен (8.3)-ді салыстырса, онда деу мен ыысу арама-арсы фазада болатындыы шыады, яни жылдамды зіні е лкен о мніне жеткенде, деу зіні е лкен теріс мніне жетеді жне керісінше болады.

Гармониялы тербелістерді векторлы диаграмма жрдемімен крсету.Гармониялы тербелістерді сипаттайтын тедеуін айналушы векторлы амплитуда кмегімен крсетуге болады, осындай діспен алынан кестені векторлы диаграмма деп атайды. Алынан осьті рпімен белгілейік (8.1-сурет)

 

Осьтен алынан нктесіні осьпен брышын жасайтын, зындыы А – амплитудаа те векторын салайы. Егер бл векторды саат тіліні баытына арама-арсы баытта брышты жылдамдыпен айналдырса, онда бл векторды шыны проекциясы осі бойынша +А-дан –А-а дейін згеріп отырады. Бл векторды згеруі гармониялы тербеліс задылыына баынады, оны брышты жылдамдыы циклдік жиілігіне те, ал брышын бастапы фаза деп абылдауа болады. Гармониялы тербелістердегі векторлы диаграмма дісі тербелістерді осу кезінде ке олданылады.

 

Бір баыттаы жне бірдей гармониялы тербелістерді осу.Бірдей баыттардаы жне бірдей жиіліктердегі екі гармониялы тербелістерді осуды арастырайы. Тербелуші денені ыысуы келесі трде жазылатын жне ыысуларды осындысына те болады:

(8.6 )

Осы екі тербелісті диаграммада жне векторларыны кмегімен крсетейік (8.2-сурет)

 

 

орыты векторын векторларды осу ережесі бойынша анытаймыз. Сонда бл векторды осіндегі проекциясы осылан векторларды проекцияларыны жне осындысына те екендігі суреттен оай крінеді: . Сондытан, векторы орыты тербеліс болып табылады. Бл вектор жне векторлары сияты брышты жылдамдыпен айналады, олай болса орыты вектор сипатталатын рнек , трде болады, мндаы А –орыты тербелісті амплитудасы, ал -оны бастапы фазасы. 8.2. – суреттен А амплитудасыны квадраты мынаан те:

(8.7 )

ал бастапы фаза тмендегі тедеу арылы аныталады

(8.7 ) рнегінен, орыты тербелісті амплитудасы осылан тербелістерді бастапы фазаларыны айырылымына туелді екені шыады. Дербес жадайларды арстырайы:

1. Фаза айырымы ноль немесе -ге еселенген болсын. , онда жне , яни орыты тербелісті амплитудасы мен -ні осындысына те.

2. осылан тербелістерді фаза айырымы -ді та санына те , онда и , яни орыты тербелісті амплитудасы мен -ні айырымына те.

зара перпендикуляр тербелістерді осу.зара перпендикуляр баыттардаы тербелістерді осуды арастырайы (8.3-сурет). Оларды дгелектік (циклдік) жиіліктері жне фазалары бірдей, ал амплитудалары ртрлі болсын:

, .

Екінші тедеуді біріншіге блгеннен кейін (8.8 )

8.3-сурет болады, яни (8.8) рнегі, осындай екі тербелістерді осу нтижесінде алынан орыты тербеліс тзу бойымен жасалады жне оны осіне клбеулік брышы мына рнекпен аныталады:

(8.9)

ал осы тзу бойлап ыысу

(8.10)

Бл тербелісті сызыты – поляризацияланан деп атайды.

Егер екі тербеліс арасындаы фазалар айырымы -ге те болса осылатын тербелістерді мынадай трде жазуа болады

(8.11)

Оларды мынадай трге келтіруге болады

, (8.12)

Егер тедеулерді квадраттап, осатын болса, онда

(8.13)

(8.13) рнегі – эллипс тедеуі, яни нкте озалысы эллипстік траектория бойынша болады (8.4-сурет). Келтірілген жадайда эллипс бойынша озалыс саат тілі баытымен болады. болан жадайда (8.13) тедеуі шебер тедеуіне айналады : (8.14)

Серіппелі, физикалы жне математикалы маятниктер.Серпімді кшті серінен болатын тербелістерді, мысалы серіппелі маятникті тербелісін арастырайы. Серіппелі маятник ретінде абсолют серпімді серіппеге ілінген массасы жкті алуа болады. серпімді кшті серінен серіппелі маятник гармоникалы тербеліс жасайды. Серпімділік коэффициент берілген жадайда аттылы деп аталады.

Тепе-тедік кйден шыарылан тербелістегі жйеге сырттан ешандай сер болмаан кездегі жйені онан ары тербелісі еркін тербеліс деп аталады. Ньютонны екінші заына серпімді (немесе квазисерпімді) кш шін рнекті ойса:

(8.15)

немесе (8.16)

мндаы , , -тербелмелі жйені меншікті жиілігі деп аталатын шама. Сонымен, йкеліс кші болмаан кезде, серпімді (немесе квазисерпімді) кш серінен болатын озалыс (8.16) дифференциалды тедеуімен сипатталады, оны шешімі

(8.17)

Олай болса, тріндегі кш серінде тран жйе озалысы гармоникалы тенрбеліс болып табылады. Серіппелі маятникті тербеліс периоды

(8.18)

Бл рнек, серіппе массасы дене массасымен салыстыранда аз болан кезде орынды.

Квазисерпімді кштерді серінен (серпімді кштерден табиаты блек, біра ыысуа пропорционал, яни шартын анааттандыратын кш) гармониялы тербеліс жасайтын денелерге физикалы жне математикалы маятниктер жатады. Бл маятниктер те маызды практикалы мнге ие.

Физикалы маятник деп оны ауырлы ценрі арылы тпейтін кез-келген нктесі арылы осіні тірегінде тербеліске келетін атты денені айтамыз (8.5-сурет). -а те ашытыы физикалы маятникті зындыы деп аталады. Маятникті тепе-тедік алпынан брыша бран кезде, маятникті алашы алыпа алып келуге тырысатын айналдырушы момент пайда болады. кшіні айналдырушы моменті

(8.19)

Шексіз аз брыш кезінде екенін ескеріп, момент болады. Маятникті айналу брышыны уаыта туелділігін алу шін, озалмайтын оське атысты айналатын дене динамикасыны негізгі заын пайдаланамыз:

(8.20)

(8.19) жне (8.20) тедеулерді теестіріп, келесі рнекті аламыз:

 

 

8.5-сурет

 

(8.21)

немесе

мндаы осіне атысты маятникті инерция моменті, - брышты деу, ал деп белгіейік, сонда

(8.22)

Алынан (8.22) рнекті шешімі (8.16) рнек шешіміне сас болады:

(8.23)

Сондытан, аз тербелістер кезінде физикалы маятникті ауытуы уаыт бойынша гармониялы за арылы згереді. Олай болса, физикалы маятникті аз тербелістер кезіндегі периоды

(8.24)

Бл рнекті техникада денені инерция моментін оларды тербелістеріні периоды бойынша тжірибелік анытау кезінде жиі пайдаланады.

Математикалы маятник. Созылмайтын жне салмасыз жіпке ілінген, барлы массасы бір нктеге жинаталан материалды нктені математикалы маятник деп атайды. Тжірибеде зындыы денені сызыты млшерінен кптеген есе лкен болатын, жеіл жіпке ілінген ауыр денені математикалы маятник деп есептеуге болады. Егер жіпті вертикалымен жасайтын аса лкен емес брышына маятникті тепе-тедік алпынан ауытытып, содан оны еркін жіберсек, онда ол вертикал жазытыта зіні меншікті салма рушысыны серінен тербеле бастайды. Берілген жадайда денені инерция моменті болады, мндаы -математикалы маятник зындыы. Математикалы маятник физикалы маятникті дербес трі деп есептеп, (8.24) рнегінен алатынымыз

(8.25)

(8.25)-тен: математикалы маятникті тербеліс периоды тек маятник зындыына жне ауырлы кші деуіне туелді, массасына туелсіз екені крінеді. (8.24) жне (8.25) рнектерін салыстырса

(8.26)

мндаы - физикалы маятникті келтірілген зындыы.

Келтірілген зынды деп тербеліс периоды физикалы маятникті периодымен сйкес келетін математикалы маятникті айтамыз.

Гюйгенс-Штейнер теоремасы бойынша

(8.27)

мндаы - массалар центрі арылы тетін оське атысты инерция моменті.

Сондытан, физикалы маятниктегі ОС тзу бойлап зындыы тзу кесіндісін алайы. нкте айналу центрі деп аталады. Бл нктені математикалы нкте ретінде абылдаса, жне осы нктеге физикалы маятникті барлы массасы жинаталан деп есепетесек, оны тербеліс периоды згермейді. Демек, маятникті іліну нктесі мен айналу центрі массалар центрі С нктені екі жаында жатады жне массалар центрінен бірдей ашытыта жатан барлы іліну нктелері шін маятникті келтірілген зындытары жне тербеліс периодтары Т бірдей болады. Бл жадайда іліну нктесі О мен айналу центрі бір-бірімен орын алмасуы ммкін.

(8.28)

Егер маятникті айналу центрі нктесіне ілсек, оны тербеліс периоды згермейді, брыны іліну нктесі жаа айналу центрі болады. Бл тжырым Гюйгенс теоремасы деп аталады.

Гармониялы тербелістер жасайтын денелер кинетикалы жне потенциалы энергиялара ие болады. Егер тербеліс рнекпен сипатталса, онда жкті жылдамдыы а те. Олай болса, денені кинетикалы энергиясы

(8.29)

тріндегі кшті серінде тран жйені потенциалды энергиясы немесе екендігін ескерсек, онда

(8.30)

Тербелістегі механикалы жйені толы энергиясы

(8.31)

Кинетикалы жне потенциалды энергия уаыт бойынша згереді, жйе тепе-тедік кйден ткен кезде денені жылдамдыы е лкен болады, сондытан кинетикалы энергия максимал болады. Бл мезетте квазисерпімді кш болмайды, сондытан потенциалды энергия нольге те. Тербелістегі рі арай озалу жадайында квазисерпімді кштер теріс жмыс жасайды, соны есебінен кинетикалы энергия кемиді, ал потенциалды энергия артады. Тербеліс процесі кезінде кинетикалы энергия здіксіз потенциалы энергияа ауысу жне керісінше жадайлар болып трады. Еркін тербеліс жасайтын тербелмелі жйелерді ерекшелігі осында. (8.31) рнек жйені толы энергиясы траты болады.

Егер йкеліс есепке алса, онда уаытты туіне арай жйені толы энергиясы кемиді. Меншікті тербеліс бл жадайда шетін тербеліс болып табылады.

шетін тербелістер. Ттыр ортада тепе-тедік нктесі айналасында тербелген денеге, серпімді (немесе квазисерпімді) кшінен баса озалыс жылдамдыына пропорционал кедергі кші сер етеді, мндаы - кедергі коэффициенті, минус табасы мен векторларыны арама-арсы баытта екенін крсетеді. Бл задылы озалыс жылдамдыы аз болан жадайда орындалады.

кшін ескерсек, онда озалыс тедеуі

(8.32)

тріне келеді, мндаы дене массасы, - оны деуі, - айтарушы кш. деу жне жылдамды екенін ескерсек, рнектеріні негізінде (8.32) тедеуді мына трде жазуа болады.

(8.33)

(8.33) тедеуді барлы мшелерін -ге бліп жне бдан кейін

(8.34)

белгілеулерін енгізсек, (8.33) тедеу тмендегі кріністе болады

(8.35)

1Сонымен, ттыр ортадаы денені тербелісін біртекті екінші дифференциалды тедеумен сипаттауа болады, оны траты шамалары жйе параметрлерін туелді болады.

Диференциалды тедеу теорияларында , шарты кезінде (8.35) тедеуіні шешуі мынадай трде болады:

(8.36)

мндаы - натурал логарифмні негізі. (8.36) рнегінен тербеліс амплитудасы

(8.37)

екені шыады, яни тербеліс амплитудасы уаыт бойынша экспонент бойынша азаяды, сондытан бл тербеліс шетін тербеліс деп аталады (8.6-сурет)

шетін тербелістер жиілігі , ал оны периоды

(8.38)

екеніне кз жеткізу иын емес, мндаы -еркін тербелістер периоды, яни кезіндегі болатын тербеліс.

Тербелістерді ту дрежесіні крсеткіші ретінде шу декременті деп аталатын шама енгізілген. Ол жне уаыт мезеттеріне сйкес келетін амплитудалар атынасына те, яни

(8.39)

Берілген рнекті натурал логарифмі шуді логарифмді декременті деп аталады:

(8.40)

физикалы мні келесі жадайда ашылуы ммкін. Айталы уаыт аралыы ткен кезде амплитуда рет кемиді делік. Бл деген сз , сондытан .

Сонда логарифмдік декремент мына трде крсетуге болады .

Егер реалаксация уаыты деп аталатын уаыт кезінде тербеліс жасалса, яни болса, онда .

Сонымен, логарифмдік декремент - тербеліс санына кері шама, амплитудасы рет кемиді (шамамен 3 рет кемиді, йткені ). Егер болса, онда болады. шамасы арылы тербелмелі жйені сапалылы деп аталатын таы да бір сипаттамасы аныталады: тедеуінен, амплитудасы есе азайтана дейін нерлым кп тербеліс жасалса, тербелмелі жйе сорлым сапалы болып табылады.

Еріксіз тербелістер. Жалпы аланда сырты кштерді серінен озатын тербелістерді еріксіз тербелістер деп атайды. Сырты кштер сер еткен жадайда жйе сол кшті жиілігімен тербеледі. Денеге серпімді кш жне кедергі кшінен баса гармониялы замен згеретін айнымалы кші сер еткен жадайды арастырайы мндаы -оны амплитудалы мні, -жиілігі. Бл кезде Ньютонны екінші заы мына трге келеді:

(8.41)

Тедік мшелерін -ге бліп жне осымша белгілеуін енгізсек, тедеу мына трге келеді

(8.42)

Бл еріксіз тербелістерді тедеуі деп аталады. Жйені тербелісі гармониялы болып траты коэффициенттері бір жне екінші ретті біртекті емес дифференциалды тедеу арылы рнектеледі. Бл тедеуді жалпы шешімі:

(8.43)

(8.43) тедеуінен

Енді мндерін (8.42)-ке ойса, онда

(8.44)

(8.44) рнегі, ш гармониялы тербелістерді осуды нтижесі тедікті о жаымен сипатталтын тртінші рнек болатындыын длелдейді. Тербелісі осу суреті крнекті болар еді, егер диаграмма дісін пайдаланса.

Ол шін тіреу осі ОХ-ті (8.7-сурет) осылатын тербелістерді амплитудалы векорлары уаыты мезетінде тіреу сызытарымен:

, жне брыштарын жасайтындай етіп тадап аламыз:

осіне сондай брыштармен жне саламыз. Оларды осындысы -ге те, яни

(8.45)

8.7-сурет бойынша еріксіз тербелістерді амплитудасы

(8.46)

ал жйені еріксіз кші мен ыысуыны арасындаы фаза айырымы

(8.47)

(8.46) тедеуінен, еріксіз тербелістерді амплитудасы еріксіз кшті жиілігінен туелді болатынын крсетеді. Ол максимум мніне шарты кезінде жетеді

 

(8.48)

Бл кездегі жиілікті резонансты жиілік деп атайды, ал былысты зін резонанс деп атайды. Егер болса, яни тербелісті шуі жо, онда , ал амплитуда бл кезде шексіз лкен болады. Реалды (наты) жйелерде боландытан, амплитуда зіні максимал мндеріне жетеді жне шекті болып алады.

Толындар. Толынны серпімді ортада таралуы. Егер зара байланысан блшектерден тратын орта берілсе, онда оны бір блшегі озалса, соны нтижесінде баса болшектерде озала бастайды. Осындай ортаны бір блшегіні тербелісіні нтижесінде сол арада толын тарайды. Мысалы, су бетіні тас тскен жеріні аймаы тербеледі. Бл тербеліс осы айматан жан-жаа тарала бастайды да, суды бетіне толын пайда болады. Тербеліс тараан кезде тербелуші блшектер тербеліс процесімен бірге орын ауыстырмай, зіні тепе-тедік маында тербеледі. Егер блшектер тербеліс таралатын тзуді бойымен тербелетін болса онда мндай толынды ума толын дейміз. Ал блшектерді тербелісі тербелістерді тарау баытына перпендикуляр болса, онда мндай толын клдене толын деп аталады.

Мысалы сйытар мен газдарда тек ума толындар тарайды. атты денелерде клдене толындармен атар ума толындар да тарай алады. Белгілі бір уаыт кезеінде тербеліс жеткен нктелеріні геометриялы орнын толын фронты деп атайды. Толын фронтыны барлы нктелері бірдей фазада тербеледі. Толын фронтыны рбір нктесі жаа толын кзі бола алады. Бны Гюйгенс принципі деп атайды.

 

8.8-сурет

Толын тедеуі. Бір шы байлаулы тран жіпті бойымен тараан толынды арастырайы. А – тербеліс кзі. Тербеліс кзіні тедеуін былай жазуа болады:

(8.49)

Енді А нктесінен ара ашытыта тран В нктесінен алайы. Тербелістер В нктесіне бір уаытта жетіп, В нтесінде тербеліске келеді. В нктесіні тербеліс тедеуі мынадай болады:

(8.50)

В нктесі тербеле бастаан кезден бастап есептелетін уаыт, яни , осындаы - ты мнін (8.49) тедікке ойса:

(8.51)

Жалпы трде толынны тедеуі былай жазылады:

Мнда: А – тербелісті амплитудасы, - дгелектік жылдамды, - толынны фазасы, - толынны бастапы фазасы.

Толындарды суперпозициясы. Толынны топты жылдамдыы. Бір ортада бірнеше толын кездессе, олар зара абаттасады. Осындай екі, немесе бірнеше толындарды абаттасуын толынны суперпозиция принципі дейді. Жиіліктерінде азантай айырмашылытары бар толындар суперпозициясы толынды пакет дейді. Мысалы, бір баытта тараан, жиіліктеріні айырымы те аз ( жне ) екі гармониялы тербелісті осындысын арастырайы:

Гармониялы емес толынны тарау жылдамдыы шін оны максимум амплитудасыны ыысу жылдамдыын алады. Максимум амплитудасы болу шарты ; , мндаы - топты жылдамды.

Топты жылдамды пен фазалы жылдамдыты арасында мынадай байланыс бар:

(8.52)

Толынды сипаттау шін толынды сан деген ым пайдалынады.

(8.53)

Осыны ескеріп толынны тедеуін былай жазуа болады:

(8.54)

Толынны фазасын траты деп алса, ; ; -фазалы жылдамды. (8.53) формуланы пайдаланып фазалы жылдамдыты былай жазуа болады: .

Жалпы біртекті изотопты ортада тараан толынны тедеуі былай жазылады

 

немесе

мндаы - Лаплас операторы.

Акустикадаы Доплер эффектісі. Дыбыс кзі мен дыбыс абылдаушыны ара ашытытары згергенде, дыбыс абылдаушыа келетін дыбыс толыныны жиілігіні згеруін Доплер былысы дейді.

1.Дыбыс кзі мен дыбыс абылдаушыны аралары згермей траты болса, ; ( - дыбыс кзіні, - дыбыс абылдаушыны жылдамдытары) ортада дыбысты таралу жылдамдыы болса, онда дыбыс толыны зындыы болады. Сонда абылдаушыа жеткен дыбыс толыныны жиілігі ; Осыдан, арастырылып отыран жадайда абылдаушыа жеткен дыбыс толынны жиілігі ( ) дыбыс кзіні шыаран толынны жиілігіне те болатынын креміз. ( )

 

2.Дыбыс кзі траты, абылдаушы дыбыс кзіне арай озалады. , . Бл жадайда абылдаушымен салыстыранда дыбыс толынны жылдамдыы ( ) болады. Сонда ; Осыдан абылдаушыа жеткен дыбыс толынны жиілігі, дыбыс кзіні шыаран толынны жиілігінен есе кп болатынын креміз.

3.абылдаушы тыныштыа, ал дыбыс кзі абылдаушыа арай озалады. , . Бл жадайда бір период кезінде дыбыс кзінен шыан толын жол жреді, ал толын зындыынан те болады. Осы уаыт ішінде дыбыс кзі дыбыс толынны тарау баытымен жол жреді. Сондытан, дыбыс толынын ысартып болады. осыдан абылдаушыа жеткен дыбыс толынны жиілігі есе артады.

4. абылдаушы мен дыбыс кзі бір-бірімен салыстыранда озалыста болса, 2 жне 3 жадайларды орытындысын пайдаланып, абылдаушыны абылдайтын толыныны жиілігін былай жазамыз: ; Мндаы (+) табасы абылдаушы мен дыбыс кз бір-біріне жаын да, ал (-) табасы олар бір-бірінен алыстаандаы жадайлара сйкес келеді.

МОДУЛЬ