Лаймен, Бальмер жне Пашен формулалары

Егер Ридберг тратысы екенін ескерсек, онда былай жазуа болады: (1.9)

Егер , десек, онда: .

Осы рнек Лаймен формуласы деп аталады. Сутегі атомыны электрондары екінші, шінші жне тртінші орбитадан бірінші орбитаа кшкенде атомны шыаратын фотоныны спектрлік сызытары осы Лаймен формуласымен аныталады. Ал , десек, онда , бл Бальмер сериясы деп аталады. Бл формула шінші, тртінші, бесінші жне т.с.с. орбиталардан екеінші орбитаа электрон келіп тскенде атомны шыаратын фотоныны жиіліктерін анытап береді. Сол сияты , боланда . Бны Пашен сериясы деп атайды.

Квантты сандар.Біріншіден,сутегі атомыны шыаратын спектрі сызыты екенін анытаанмен Бор теориясы р трлі жиіліктегі сулеленуді интенсивтігі неге р трлі болатынын жне баса да былыстарды тсіндіре алмады. Сондытан Бор теориясы жетілдіре тсті. Атомдаы электронны кйі трт квантты санмен аныталады. Оны біреуімен біз таныспыз. Ол бас квант саны, ол электронны ядромен серлесуінен пайда болан энергияны анытайды, . Екінші сан азимутты немесе орбиталы квант саны деп аталады. Электрон эллипс бойымен озалуы ммкін. Сонда бас квант саны эллипсті лкен осіні зындыын анытап береді. Сонда эллипсті кіші жне лкен жартылай осьтерін анытайтын осымша квант санын енгізу ажет. Ол сан осы азимутты немесе орбиталы квант саны еді. Оны енгізген А.Зоммерфельд болатын-ды. Орбиталы квант саны мына мндерге ие бола алады; жне . Кбінесе натурал сандарды ріппен белгілейді, яни Орбиталы квант саны мен электронны механикалы импульсіні арасында мынандай байланыс бар:

(1.10)

шіншісін магниттік квант саны деп атайды, ол ; ; ; ...... -ге те. Бл сан электрон орбиталарыны «кеістіктегі квантталуын» крсетеді. Атома сырттан магнит рісі сер еткенде механикалы импульс моментіні индукция рісіні баытына проекциясы -осіне) мынаан те

(1.11)

Басаша айтанда магниттік квант саны орбитаны баытын крсетеді.

Тртіншісі спиндік квант саны деп аталады. Ол , ол екі мнге ие болады. Спин – электронны меншікті озалыс млшеріні моменті. Спин саны бір орбитада жататын электронны екі жадайда болатынын сипаттайтын сан:

(1.12)

Электронны атомдаы жадайын сипаттауа осы трт квант саны жеткілікті.

Кп электронды атомдар, Паули принципі. Кп электронды атомдарды спектрін зерттей келгенде, оларды сутегі атомдары трізді, энергетикалы дискритті дегейлерге ие болатыны аныталды. Дегейлерді дискриттігі атомда бірнеше электронды абаттарды бар болуымен тсіндіріледі. рбір электронды абатты бірнеше стационар орбиталарды жиынтыы деп арастыруа болады. Бір электронды абата кіретін орбиталар бірінен-бірі орбиталарды тріне (формуласын) немесе кеістіктегі орналасуына байланысты згеше болуы ммкін. Сондытан бір электронды абатта озалып жрген электрондар бірінен-бірі згеше кйде болады. Электрондар р трлі орбиталармен, ал бір орбитада тек екі электрон ана озалуы ммкін. Яни екі электронны спиндік сандары р трлі. Электрондар орбиталарда, электронды абаттарда андай задылытара сйеніп орналасан деген сра туады. Бан жауап беру шін Паули принципін арастырайы.

Атома (молекулаа, кристала) кіретін электрондар бірдей энергетикалы кйде бола алмайды. Басаша айтанда квант сандары бірдей болатын екі электронды табу ммкін емес.

Олай болса, атомда анша электрон болса да, оларды кйлері біріне-бірі самайды.

Паули принципін пайдалана отырып электронды абатта е кп дегенде анша электрон орналаса алады деген сраа жауап беруге болады. Бір электронды абатта е кп дегенде - электрон орналаса алады, мндаы бас квант саны, ол электронды абаттарды нмірін де крсетеді. Мысалы, мнда абат, , мнда абат, боланда абат, боланда абат, , абат, боланда абат, болса абат бар. Сонымен абатта е кп дегенде электрон болады, ал абатта е кп дегенде электрон болады, абатта 32 электрон, абатта 50 электрон болады.

Шредингер тедеуін сутек атомына олдану. Квантты механика теориясыны негізгі тедеуі – Шредингер тедеуі болып табылады. Енді осы тедеуді пайдаланып, сутек атомыны энергия дегейлерін есеп табайы. Сутегі атомыны ядросыны рісіндегі электронны потенциалы энергиясы Кулон заы бойынша мына формула арылы рнектеледі.

(1.13)

мндаы -ядродаы о зарядтарды саны (сутек шін ) - электронны ядродан ашытыы. Енді осы потенциалы энергияны мнін Шредингер тедеуіні орнына ойса, онда тедеу мына трге келеді.

(1.14)

Бл тедеуді шешуі те крделі боландытан , оны шешуін келтірмей-а, тек физикалы мнін ана тсіндірейік.

Бл тедеуді шешуде - функциясы рбір нктеде бір мнді, шектеулі жне здіксіз болсын жне шексіз ашытыта нолге айналады деген шарттар ойылса, онда энергияны ондай мндері мына формула арылы аныталады.

(1.15)

мнда бтін бас квантты сандар. Осы формула Бор теориясы бойынша алынан, сутек атомны стационар кйінлегі энергиясы мен бірдей екенін креміз.

Квантты механиканы бір артышылыы (1.15) формуланы шыаранда ешбір осымша гипотезалар мен болжаулар пайдаланылмайды. Сйтіп атом энергиясыны дискретті мндері, толынды тедеуді меншікті мндері ретінде табылады.

Шредингерді тедеуіні шешімінен энергияны дискретті рбір мніне ( негізгі кйінен баса) функцияны бірнеше мндері сйкес келеді. Мысалы , атомны негізгі кйі ана , - функциясыны мндері сйкес келеді. Айталы, квантты сан болса, онда функцияны 9 мні , яни функцияны рбір жаа мніне атомдаы электронны белгілі бір кйлері сйкес келіп отырады.

 

Квантты статистика элементтері

 

Квантты статистика. Фазалы кенестік.Таралу функциясы.

Квантты жйе бірдей блшектерден, мысалы электрондардан трады. Электрондарды брі бірдей физиалы асиетке ие, яни оларды массасы, электр зарядтары, спиндері жне ішкі сипаттамалары (мысалы, квантты сандары) брі бірдей. Бндай блшектер «сас блшектер» немесе «тебе-те» блшектер деп аталады. сас блшекті асиеті: сас блшекті ажыратылмау принципі.

Микроблшектерді озалыс зандары - бл «квантты механика» зандары, ал жеке блшектерді озалысын зерттеуден, те кп болшектен тратын жйені озалысына келетін діс «статистикалы» деп аталады. Бдан, осындай жйеде тетін процестерді арастыратын теория «квантты статистика» деп аталады.

Осыан дейін біздер денелердегі тіп жататын процестерді термодинамиалы суреттемесін арастырды. Классиалы статистика макроскопиялы дене озалысын зерттеді. Макроскопиялы дене – ыдыстаы газ, м, темірді блігі, т.б., яни те лкен блшектерді санынан тратын кез келген дене. Макроскопиялы денелерді озалыс задары Ньютонны задарымен сипатталады.

Жылулык процесстерді арастырса, денелер ызанда, суыанда оларды температуралары згереді. Температура - дене кйіні негізгі сипаттамасы. Оны згерісі денеде лкен згерістерді туызады. Газ сйыа, сйы атты денеге немесе керісінше айналуы ммкін. Бндай процестерді классикалы механикадан кейін пайда болан ылым - термодинамика зерттейді.

Термодинамика - макроскопиялы жйені микроскопиялы рылысына нілмей, сол жйені жылулы асиеттерін зерттейді.

Жйе N блшектен трады. Жйе блшектеріні барлы координаттары мен импульстарыны кп лшемді кеністігін арастырайы. Мндай кеістікті рбір нктесіне 6N блшек сйкес келеді. рбір блшекті кйі ш х,у,z координаталарымен жне рх , ру , р z сйкес импульсты проекцияларымен аныталады. Соан сйкес берілген кеістіктегі зара перпендикуляр координатты осьтерді саны - 6N. Бндай 6N-лшемді кеістік «фазалы кеістік» деп аталады. Фазалы кеістіктегі нкте жйені блшектеріні координаталары мен импульстары арылы аныталады. Фазалы кеістікті кішкене 6N -лшемді элементар яшытара блеміз. яшы клемі:

dq dp=dq1, dq2, ..., dq3n dP1 , d P2, ..., dP3n.

q - барлы блшектерді координаталарыны жиынтыы, р – оларды импульс проекцияларыны жиынтыы. Зат блшектеріні корпускула-толынды дуализм асиеті жне Гейзенбергті аныталмаанды атыстары мынаан келеді: элементар яшыты клемі (фазалы клем) Планк тратысыны куб ( h3-тен) мнінен кем болмауы тиіс. Берілген жйені ытималдыын dW таралу функциясыны кмегімен беруге болады f (q, p):

dW=f (q,р) dq dp (1.1)

dW – берілген q, p нктеге жаын орналасан dq dp фазалы клем элементіне фазалы кеістектегі нктені тсу ытималдыы. Баса сзбен айтанда, dW – координатасы мен импульсы q, q+dq жне р, р+dр интервалындаы жйені болу кйіні ытималдыы. (1.1) формула, яни таралу функциясы - ол жйені белгілі бір кйіні ытималдыыны тыыздыы, сондытан ол 1-ге дейін нормаланады:

Таралу функциясын біле отырып, f(q,p) квантты статистиканы негізі есебін шешуге болады, арастырылатын жйені сипаттайтын шамалардын орташа мндерін ашытауа болады. Кез келген функцияны орташа мні:

(1.2)

Егер блшекті озалысын, координаталарын, импульстарын арастырмай кванталаттын энергия арылы арастырса, онда жйе кйі зіліссіз емес, дискретті таралу функциясымен сипатталады. Американ физигі Д.Гиббс таралу функциясыны жалпы трін крсетті. Ол «Гиббсті канонды таралуы»деп аталады. Ол былай жазылады:

(1,3)

А-нормалау шартынан аныталан траты.

n - берілген кйді ытималдыы, яни берілген энергияа тек біреу емес,бірнеше ртрлі кйлер сйкес келеді.

2. Бозе-Эйнштейн жне Ферми-Диракты квантты статистикалары.

Классиалы физикадаыдай, квантты статистиканы зерттеу объектісі -идеал газ. Себебі кбіне реал жйені жуытап идеал газ трінде арастырамыз. зара серлеспейті блшектер жйесіні кйі толтыру саны Ni деп аталатын шамамен сипатталады. Ni - кп сас блшектерден тратын блшектер жйесіні квантты сандарыны жиынымен сипатталатын, квантты кйлерді толтыру дрежесін крсететін сан.

Нольдік немесе бтін спинді болшектер бозондар деп аталады. Мысалы: -мезон,фотон.

Бозондардан рылан блшектер жйесі шін, толтыру саны кез келген мнді абылдауы ммкін: 0,1,2,......

Жартылай бтін спинді блшектер фермиондар деп аталады. Мысалы: электрон,протон,нейтрон.

Фермиондардан рылан блшектер жйесі шін толтыру саны тек ана 2 мнді абылдайды:

0-еркін кйлер шін.

1-бос емес кй шін.

Толтыру саныны барлы осындысы жйе блшектеріні санына те болуы керек.

Квантты статистика берілген квантты кйдегі блшектерді орташа санын санауа ммкіндік береді, яни < Ni >толтыру саныны орташа мнін анытайды.

Бозондардан тратын идеал газ –«бозе газ» –«Бозе-Эйнштейнні» квантты статистикасымен сипатталады.

Бозондарды энергия бойынша таралуы Гиббсті лкен канонды таралуынан шыады. Берілген квантты кйдегі сас бозондарды саны кез кезлген болуы ммкін:

(1.4)

Бл таралу «Бозе-Эйнштейн» таралуы деп аталады.

<Ni > - энергиясы Ei кйдегі бозондарды орташа саны.

к - Больцман тратысы, Т – термодинамикалы температура, - химиялы потенциал. Ол жйені ішкі энергиясыны згерісін анытайды.

 

Фермиондардан туратын идеал газ - ферми газ - Ферми-Диракты квантты статистикасымен сипатталады.

Фермиондарды энергия бойынша таралуы:

(1.5)

<Ni > -энергиясы Еі кйдегі фермиондарды орташа саны.

-химиялы потенциал.

Бл таралу (1.5) Ферми-Дирак таралуы болып саналады.

Егер болса, онда Бозе -Эйнштейн жне Ферми-Дирак таралулары классикалы Максвелл таралуына ауысады.

(1.6)

те жоары температурада екі квантты газдарда (бозе-газ жне ферми-газ) классиалы газге айналады. Егер блшектер жйесіні асиеттері классикалы статистикаа баынатын жйе асиеттерінен айтарлытай згеше болатын болса, онда бл жйе азындалан жйе.

Бозе-газ жне ферми-газды озалысы классикалы газге араанда згеше. Газды азындалуы те тмен температурада жне лкен тыыздыта білінеді.

«Азындалу параметрі» - .

, яни азындалу дрежесіні те кіші мнінде Бозе-Эйнштейн жне Ферми-Диракты таралуы классикалы Максвелл-Больцман таралуына ауысады.

 

 

3. Металдаы азындалан электронды газ.

Электрондарды ртрлі квантты кйлер бойынша таралуы Паули принципіне баынады, яни бір кйде бірдей екі электронны (квант сандары бірдей) болуы ммкін емес, олар андай да бір сипаттамасымен згешеленуі керек. Сонымен атар, квантты теория бойынша, электрондар металда е тменгі энергетикалы денгейде 0 Кельвинде орналаса алмайды. Паули принципі электрондарды «энергетикалы баспалдатармен» жоары шыуа мжбрлейді. Металдаы ткізгіштік электрондарын идеал газ деп арастыруа болады. Ол Ферми-Дирак таралуына (1.4) баынады. Егер - температурасы 0 Кельвиндегі электронды газды химиялы потенциалы болса, онда (1.4) формуладаы энергиясы энергетикалы денгейдегі квантты кйде электрондарды орташа саны:

= (1.7)

Егер E<0 болса, осы (1.7)) формуладан T=0K-де таралу функциясы:

=1

егер E>0 болса, таралу функциясы:

=0

Бл функцияны графигі 1- суретте крсетілген.

a) б)

1 1 T=0K

T=0K T>0K

0 E= E 0 EF= E

1- сурет

0-ден 0 –ге дейінгі энергия аймаында <N (E)>=1. Е=0 аймаында функция нольге дейін секірмелі згереді. Температурасы 0 Кельвинде барлы тменгі квантты кйлер, Е=0 кйге дейін электронмен толтырылады. Ал энергиясы Е>0 кйлерді брі электроннан бос. 0 - 0Кельвин температурада металдаы ткізгіштік электрондарыны максимал энергиясы. Бл максимум энергия «Ферми энергия» деп аталады, белгіленуі EF.

EF= 0 болса, Ферми-Дирак таралуы былай жазылады:

= (1.8)

Электрондармен толтырылан е жоары энергетикалы дегей «Ферми дегейі» деп аталады. Ферми дегейіне осы дегейде электрондары бар Ферми энергия сйкес келеді. Ферми дегейі электронды газды тыыздыы кп болан сайын, жоары орналасады.

4. Жылу сыйымдылыты квантты теориясы туралы тсінік. Фонондар.

Квантты статистика газдарды (кбінесе, екі атомды) жылусыйымдылыыны температураа туелділігін тсіндірудегі иыншылытарды жойды. Квантты механикаа сйкес, молекулаларды айналмалы озалысыны энергиясы мен молекуладаы атомны тербеліс энергиясы дискретті мндерге ие болады. Егер жылулы озалысыны энергиясы кршілес энергия дегейлеріні энергия айрымынан айтарлытай аз болса (кТ=Е), онда молекулаларды сотыысуы кезінде айналмалы жне тербелмелі еркіндік дрежелері іс жзінде озбайды. Сондытан тмен температурада екі атомды газды озалысы бір атомдыа сас.

Кршілес айналмалы энергия дегейлеріні арасындаы айырым, тербелмелі энергия айырымдарына араанда айтарлытай кіші, яни , онда температураны артуымен басында айналмалы еркіндік дрежесі озады, нтижесінде жылусыйымдылы артады; рі арай температура артуымен тербелмелі еркіндік дрежесі артады жне жылусыйымдылыты одан рі артуы жреді.

Ферми-Диракты таралу функциясы Т=0 жне Т>0 температуралар шін энергияны жіішке аймаында (кТ) бір бірінен кдімгідей айырмашылыы болады. Демек, металды ыздыру процесінде ткізгіштік электрондарыны болмашы блігі атысады. Металл мен диэлектрикті жылу сыйымдылытарыны арасындаы айтарлытай айырмашылыты болмауын квантты механика осылай тсіндіреді.

Классикалы теория атты денені жылу сыйымдылыыны температураа туелділігін тсіндіре алмады, ал квантты статистика бл мселені шешті. А.Эйнштейн, кристалды тордаы атомдарды тербелісі туелсіз деп жуытап есептеп, кристалды торды жылусыйымдылыыны сапалы квантты теориясын жасады, оны рі арай Дебай дамытты. Дебай осциллятор жиілігіні зіліссіз спектрін арастыра отырып, квантты осцилляторды орташа энергиясына негізгі лесті серпімді толындара сйкес келетін тмен жиілікті тербелістер енгізеді деп крсетті. Сондытан, атты денені жылулы озуын кристалда таралатын серпімді толындар трінде сипаттауа болады. Заттарды корпускула-толынды асиетіне сйкес, кристалдаы серпімді толындара энергиясы бар, фонондарды сйкестендіреді. Фонон дегеніміз дыбыс толындарыны энергия кванты (дыбыс толындары-серпімді толындар). Фонондар здерін микроблшектер трізді крсететін элементар толулар (возбуждения). Электромагниттік толындарды квантталуы фотондар жніндегі тсінікке келсе, серпімді толындарды квантталуы фонондар жніндегі тсінікке келді.

Квазиблшектер, соны ішінде фонондар кдімгі блшектерден (электрон, протон, фотон) атты айырмашылыы бар, себебі олар жйені кп блшектеріні жымды озалысымен (коллективное движение) байланысты. Квазиблшектер вакуумде пайда бола алмайды, олар тек кристалл ішінде бар болады. Фононны импульсыны зіндік асиеті бар: кристалл ішінде фонондарды сотыысуы кезінде оларды импульсы кристалды тора дискретті порция трінде беріледі – ол зі бл кезде саталмайды. Сондытан, фонондар жадайында квазиимпульс жнінде сз болады.

Кристалды торды энергиясы Бозе-Эйнштейн статистикасына баынатын фононды газ энергиясы трінде арастырылады, йткені фонондар бозондар болып есептеледі, оларды спині нольге те. Фонондар шаылады жне жтылады, біра оларды саны траты саталмайды, сондытан (1.4) формуладаы =0.

Квазиблшектерді моделі – фонондар – П.Л.Капица ашан сйы гелийді асын аышты былысын тсіндіру шін тиімді болды. Бл былысты теориясы рі арай асын ткізгіштік былысын тсіндіруде олданылды.