Десятичные логарифмы от 1 до10

Наиболее информативной графической формой частот является специальный график, называемы гистограммой частот.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь i-го частичного прямоугольника равна - сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь i-го частичного прямоугольника равна - относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Пример 4.Постройте гистограмму частот и относительных частот по данным примера 3.

Выборочная медиана – это середина вариационного ряда, значение, расположенное на одинаковом расстоянии от левой и правой границы выборки.

Выборочная мода– это наиболее вероятное, т.е. чаще всего встречающееся, значение в выборке.

Статистические оценки параметров

Распределения

Статистической оценкой неизвестного параметра q^* теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин .

Несмещеннойназывают статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е. .

Смещеннойназывают оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки п) имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема (п велико!) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Генеральная средняя

Определение. Генеральной средней называют среднее арифметическое значение признака генеральной совокупности:

,

где N - объем совокупности.

Выборочная средняя

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема п.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности:

,

или

.

х_i – варианта выборки, п_i – частота варианты х_i, - объем выборки.

Пример 6.Найти выборочную среднюю по данным примера 1.

Решение.Используядискретный статистический ряд распределения и табл. составленный в примере 1 найдем среднюю выборочную:

Пример 7.Найти выборочную среднюю по данным примера 3.

Решение.Используястатистический интервальный ряд распределения и табл. составленный в примере 4 найдем среднюю выборочную:

Рассмотрим некоторую совокупность, значений количественного признака Х объема п:

Значение признака х₁ х₂ … х_к

Частота п₁ n₂ … п_к

причем .

Отклонением называют разность между значением признака и общей средней.

Теорема.Сумма произведений отклонений на соответствующие частоты равна нулю

.

Пример 8.Дано распределение количественного признака Х:

х_i

n_i

Убедимся, что сумма произведений отклонений на соответствующие частоты равна нулю.

Решение:Найдем общую среднюю

Найдем сумму произведений отклонений на соответствующие частоты:

.

Генеральная дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику – генеральную дисперсию.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия:

Более удобна формула:

Теорема. Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

.

Кроме дисперсии, для характеристики рассеяния значений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом)называют квадратный корень из выброчной дисперсии:

.

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом)называют квадратный корень из генеральной дисперсии:

.

Пример 9. Найти выборочную дисперсию и средние квадратичное отклонение по данным примера 1.

Решение.Используя статистический ряд, составленный в примере 1, а также значение средней выборочной , найденное в примере 6, найдем выборочную дисперсию:

.

Тогда значение Х_норма оценивается интервалом:

.

72,1 - 1,22 < Х_норма < 72,1 + 1,22.