Существуют ли пределы познания? 2 страница

2.В ЕслиВ говорить точнее,В ЭйнштейнВ осознал,В что принцип эквивалентности сохраняется РґРѕ тех РїРѕСЂ, пока наблюдения ограничены достаточно малой областью пространства, С‚. Рµ. РґРѕ тех РїРѕСЂ, РїРѕРєР° ваше «купе» достаточно мало. Причина этого состоит РІ следующем. Интенсивность (Рё направление) гравитационных полей РјРѕРіСѓС‚ изменяться РѕС‚ точки Рє точке. Однако РјС‹ считаем, что РєСѓРїРµ РІ целом ускоряется как единое тело Рё, следовательно, это ускорение имитирует действие РѕРґРЅРѕСЂРѕРґРЅРѕРіРѕ гравитационного поля. Чем меньше будет РєСѓРїРµ, тем меньше пространство, РІ котором гравитационное поле может изменяться Рё, следовательно, тем более применимым станет принцип эквивалентности. Разность между однородным гравитационным полем, имитируемым ускорением, Рё возможно неоднородным «реальным» гравитационным полем, созданным совокупностью массивных тел, РЅРѕСЃРёС‚ название «приливного» гравитационного поля (поскольку РёРј объясняется влияние тяготения Луны РЅР° приливы РЅР° Земле). Подытоживая данное примечание, можно сказать, что уменьшая размер РєСѓРїРµ, можно сделать приливные гравитационные поля менее заметными Рё добиться того, что ускоренное движение Рё «реальное» гравитационное поле Р±СѓРґСѓС‚ неразличимы.

3.В Цитируется РїРѕ РєРЅРёРіРµ: Albrecht Folsing, Albert Einstein. New York: Viking, 1997, p. 315.

4.ВВ John Stachel, Einstein and the Rigidly Rotating Disk. Опубликовано РІ General Relativity and Gravitation, ed. A. Held. New York: Plenum, 1980, p. I.

5.В Анализ аттракциона Верхом РЅР° торнадо или «жесткого вращающегося диска», как он называется на более профессиональномВ языке, может легко привести к недоразумениям. Так, например, Рё РїРѕ сей день нет общего согласия РїРѕ СЂСЏРґСѓ деталей этого примера. Р’ тексте РјС‹ следовали РґСѓС…Сѓ анализа, выполненного самим Эйнштейном; РІ примечании РјС‹, оставаясь РЅР° той же точке зрения, постараемся пояснить некоторые особенности, которые РјРѕРіСѓС‚ привести Рє недоразумениям. Р’Рѕ-первых, может показаться непонятным, почему длина окружности колеса РЅРµ испытает лоренцевского сокращения РІ той же мере, что Рё линейка: РІ этом случае результат, полученный Слимом, совпадал Р±С‹ СЃ первоначальным. Здесь следует иметь РІ РІРёРґСѓ, что РјС‹ РІСЃРµ время считали, что колесо непрерывно вращается Рё РЅРёРєРѕРіРґР° РЅРµ рассматривали его РІ состоянии РїРѕРєРѕСЏ. Таким образом, СЃ точки зрения неподвижных наблюдателей, единственное различие между измерениями длины окружности Рё измерениями Слима будет состоять РІ том, что линейка Слима испытала лоренцевское сокращение; колесо вращалось Рё РІРѕ время наших измерений, Рё тогда, РєРѕРіРґР° РјС‹

наблюдали за измерениями Слима. Видя, что линейка Слима испытала сокращение, мы понимали, что ему придется приложить ее большее число раз, чтобы пройти по всей длине окружности и, следовательно, он получит большее значение, чем мы. Лоренцевское сокращение окружности колеса можно установить, только сравнив результаты измерений на покоящемся и вращаюшемся колесе, однако такое сравнение нас не интересовало. Во-вторых, хотя нам и не требовалось анализировать аттракцион в состоянии покоя, у вас может остаться вопрос, а что случится с колесом, когда оно замедлит свое движение и остановится? Может показаться, что в этом случае следует учитывать изменение длины окружности при изменении скорости вращения, вызванное сокращением Лоренца. Но как можно согласовать это с неизменным радиусом? Это тонкая проблема, решение которой опирается на тот факт, что в реальном мире не существует абсолютно жестких тел. Тела могут растягиваться и изгибаться в ответ на испытываемое ими растяжение или сжатие. Если этого не произойдет, то, как указал Эйнштейн, диск, изготовленный путем охлаждения вращающейся отливки, может разрушиться при изменении скорости вращения. Более подробно история с жестким вращающимся диском описана в работе Стахеля4).

6.ВВ Искушенный читатель поймет, что РІ примере СЃ аттракционом Верхом РЅР° торнадо, С‚. Рµ. РІ случае равномерно вращающейся системы отсчета, искривленные трехмерные пространственные сечения, РЅР° которых РјС‹ сконцентрировали наше внимание, объединятся РІ четырехмерное пространство-время СЃ нулевой РєСЂРёРІРёР·РЅРѕР№.

7.В Цитата Германа Минковского взята из работы: Albrecht Folsing, Albert Einstein. New York: Viking, 1997, p. 189.

8.ВВ Интервью СЃ Джоном Уилером, 27 января 1998 Рі.

9.В Точность существующих атомных часов достаточна для того, чтобы обнаружить столь малые Рё даже еще меньшие искривления времени. Например, РІ 1976 Рі. Робер Вессо Рё Мартин Левин РёР· Смитсонианской астрофизической обсерватории Гарвардского университета совместно СЃРѕ СЃРІРѕРёРјРё коллегами РёР· Национального управления РїРѕ аэронавтике Рё космическим исследованиям РЎРЁРђ (NASA) установили РЅР° ракете Scout D, стартовавшей СЃ Рѕ, Уоллопс РІ штате Вирджиния, атомные часы, точность которых составляет РѕРґРЅСѓ триллионную долю секунды РІ час. РћРЅРё надеялись продемонстрировать, что РєРѕРіРґР° ракета достигнет достаточной высоты (РІ результате чего уменьшится влияние гравитационного притяжения Земли), идентичные часы, расположенные РЅР° Земле (которые Р±СѓРґСѓС‚ РІ полной мере подвергаться действию земного тяготения) Р±СѓРґСѓС‚ идти медленнее. Благодаря двустороннему обмену микроволновыми сигналами исследователи смогли сравнить показания РґРІСѓС… атомных часов Рё установить, что действительно, РЅР° достигнутой ракетой максимальной высоте 10000 РєРј установленные РЅР° ней атомные часы обогнали РЅР° 4 миллиардных доли секунды часы, оставшиеся РЅР° Земле. Расхо-


ПримечанияВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ 253

ждение экспериментальных данных с результатами теоретических расчетов составило менее 0,01 %.

10.ВВ Р’ середине XIX РІ. французский ученый Урбен Жан-Жозеф Леверье установил, что орбита планеты Меркурий немного отклоняется РѕС‚ орбиты, РїРѕ которой РѕРЅР° должна прашаться РІРѕРєСЂСѓРі Солнца РІ соответствии СЃ ньютоновским законом всемирного тяготения. Р’ течение более чем полувека предлагались самые разные объяснения так называемой аномальной прецессии перигелия (РЅР° обычном языке, РІ крайних точках своей орбиты Меркурий оказывался РЅРµ РІ том месте, РІ котором РѕРЅ должен был находиться согласно теории Ньютона). Р’ качестве возможных причин рассматривалось гравитационное влияние неизвестной планеты или РїРѕСЏСЃР° астероидов, влияние неизвестного спутника, воздействие межзвездной пыли, сплюснутость Солнца, однако РЅРё РѕРґРЅРѕ РёР· этих объяснений РЅРµ получило общего признания. Р’ 1915 Рі. Эйнштейн рассчитал прецессию перигелия Меркурия СЃ помощью уравнений только что открытой РёРј общей теории относительности. РћРЅ получил результат, который РїРѕ его собственному свидетельству заставил его сердце учащенно биться: значение, полученное СЃ помощью обшей теории относительности, РІ точности совпадало СЃ экспериментальными данными. Этот успех, несомненно, был РѕРґРЅРѕР№ РёР· важных причин, заставивших Эйнштейна поверить РІ СЃРІРѕСЋ теорию, РЅРѕ большинство РґСЂСѓРіРёС… исследователей ожидало предсказания новых явлений, Р° РЅРµ объяснения уже известных аномалий. Более РїРѕРґСЂРѕР±РЅРѕ эта история описана РІ РєРЅРёРіРµ: Abraham Pais. Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. New York: Oxford University Press, 1982. (РСѓСЃ. пер.: Пайс Рђ. Научная деятельность Рё жизнь Альберта Эйнштейна, Рњ.: Наука, Физматлит, 1989.)

11.ВВ Robert P. Crease and Charles C.Mann, The Second Creation. New Brunswick. N. J.: Rutgers University Press, 1996, p. 39.

12.ВВ Рљ большому удивлению ученых, недавние тщательные исследования скорости расширения Вселенной показали, что РІ нее может давать вклад очень небольшая, РЅРѕ ненулевая космологическая постоянная.

Глава 4

1.ВВ Richard Feynman, The Character of Physical Lain. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1965, p. 129, (РСѓСЃ. пер.: Феинман P. Характер физических законов. Рњ.: РњРёСЂ, 1968.)

2.В Хотя работа Планка разрешила загадку бесконечной энергии, РїРѕ всей видимости, РЅРµ эта загадка была непосредственной причиной, побудившей его Рє этому исследованию. Планк пытался решить РґСЂСѓРіСѓСЋ, очень близкую проблему, связанную СЃ экспериментальными данными, описывающими распределение энергии РІ РґСѓС…РѕРІРєРµ (или. если быть более точным,В РІ «черном теле»)В РїРѕ длинам волн. Дополнительные сведения РїРѕ истории этих работ интересующийся читатель может найти РІ РєРЅРёРіРµ Thomas S. Kuhn, Black-Body Theory and the Quan-

tum Discontinuity, 1894-1912. Oxford. Eng.: Clarendon, 1978.

3.В Более точно, Планк показал, что волны, минимальная энергия которых превышает РёС… ожидаемый средний энергетический вклад (согласно термодинамике девятнадцатого века), подавляются РїРѕ экспоненциальному закону. Степень подавления резко увеличивается СЃ увеличением частоты.

4.ВВ Постоянная Планка равна 1,05 С… 10"2' (Рі-СЃРј2)/СЃ.

5.ВВ Timothy Ferris, Coming of Age in the Milky Way. New York: Anchor, 1989, p. 286.

6.В Стивен РҐРѕРєРёРЅРі. Доклад РЅР° Амстердамском СЃРёРјРїРѕР·РёСѓРјРµ РїРѕ гравитации, черным дырам Рё теории струн, 21 РёСЋРЅСЏ 1997 Рі.

7.В Следует отметить, что СЃ помошью фейнмановского РїРѕРґС…РѕРґР° Рє квантовой механике можно вывести РїРѕРґС…РѕРґ, основанный РЅР° волновых функциях, Рё наоборот; следовательно, эти РґРІР° РїРѕРґС…РѕРґР° полностью эквивалентны. Однако концепции, терминология Рё интерпретация, даваемая каждым РёР· этих РїРѕРґС…РѕРґРѕРІ, различаются очень сильно, несмотря РЅР° то, что решения, которые РѕРЅРё дают, тождественны.

8.ВВ Richard Feynman, QED: The Strange Theory of Light and Matter. Princeton: Princeton University Press, 1988. (РСѓСЃ. пер.: Феинман Р. Квантовая электродинамика: странная теория света Рё материи. Рњ.: Наука, 1988 (Библиотечка «Квант». Вып. 66).)

Глава 5

1.ВВ Stephen Hawking, A Brief History of Time. New York: Bantam Books, 1988, p. 175. (РСѓСЃ. пер.: РҐРѕРєРёРЅРі РЎ. РћС‚ Большого взрыва РґРѕ черных дыр. Рњ.: РњРёСЂ, 1998.)

2.ВВ Цитируется РїРѕ РєРЅРёРіРµ: Timolhy Ferris,В TheВ Whole Shebang. New York: Simon & Schuster, 1997, p. 97.

3.В Если РІС‹ РІСЃРµ еще озабочены тем, как вообще что-либо может происходить РІ пустом пространстве, РІС‹ должны понять, что соотношение неопределенностей накладывает ограничения РЅР° то, насколько «пустой» может РІ действительности быть область РІ пространстве; оно изменяет наше понимание пустого пространства. Например, применительно Рє волновым возмущениям поля (таким, как электромагнитные волны, распространяющиеся РІ электромагнитном поле) соотношение неопределенностей утверждает, что амплитуда волны Рё скорость изменения амплитуды связаны тем же самым отношением обратной пропорциональности, которое выполняется для положения частицы Рё ее скорости. Чем точнее указана амплитуда, тем менее точно РјС‹ знаем скорость, СЃ которой РѕРЅР° изменяется. РљРѕРіРґР° РјС‹ РіРѕРІРѕСЂРёРј, что область РІ пространстве является пустой, РјС‹ обычно имеем РІ РІРёРґСѓ, что, РїРѕРјРёРјРѕ всего прочего, РІ ней РЅРµ распространяются волны Рё что РІСЃРµ поля имеют нулевую интенсивность. Пользуясь грубым, РЅРѕ очень наглядным языком, можно перефразировать данное выражение, сказав, что амплитуды всех волн, проходящих через данную область, РІ точности равны нулю. Однако если амплитуды точно известны, то согласно соотношению неопре-


254ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ Примечания

деленностей это означает, что скорость изменения амплитуды является совершенно неопределенной и может принимать любое значение. Но если амплитуда изменяется, это означает, что в следующий момент она уже не может быть нулевой, даже несмотря на то, что область пространства по-прежнему остается «пустой». Опять же, в среднем поле будет нулевым, поскольку в одних областях оно будет принимать положительные значения, а в других — отрицательные; средняя суммарная энергия области не изменится. Но это верно только в среднем. Квантовая неопределенность предполагает, что энергия поля (даже в пустой области пространства) флуктуирует от больших значений к меньшим. При этом амплитуда флуктуации увеличивается по мере уменьшения расстояний и промежутков времени, и которых исследуется эта область. Согласно формуле Е = тс2 энергия, заключенная в таких кратковременных флуктуациях, может быть преобразована в массу путем мгновенного образования пары, состоящей из частицы и соответствующей античастицы, которые затем быстро аннигилируют, чтобы сохранить средний баланс энергии.

4.В Даже несмотря РЅР° то. что первоначальное уравнение Шредингера (то, РІ котором учитывалась специальная теория относительности) РЅРµ давало точного описания квантово-механических характеристик электронов РІ атомах РІРѕРґРѕСЂРѕРґР°, ученые РІСЃРєРѕСЂРµ поняли, что это ценный инструмент РїСЂРё использовании РІ надлежащем контексте, который Рё сегодня еще РЅРµ вышел РёР· употребления. Однако Рє тому времени, как Шредингер опубликовал СЃРІРѕРµ уравнение, его опередили Оскар Клейн Рё Уолтер Гордон, поэтому его релятивистское уравнение РЅРѕСЃРёС‚ название уравнения «Клейна—Гордона».

5.В Для математически подготовленного читателя заметим, что принципы симметрии, используемые РІ физике элементарных частиц, обычно основаны РЅР° группах, чаще всего РЅР° группах Ли. Элементарные частицы систематизируются по представлениям различных РіСЂСѓРїРї; уравнения, описывающие эволюцию частиц РІРѕ времени, должны удовлетворять соответствующим преобразованиям симметрии. Для сильного взаимодействия такой РіСЂСѓРїРїРѕР№ симметрии является РіСЂСѓРїРїР° SU(3) (аналог обычных трехмерных вращений, РЅРѕ РІ комплексном пространстве), РїСЂРё этом три цветовых заряда кварка заданного типа преобразуются РїРѕ трехмерному представлению. Смещение (РѕС‚ красного, зеленого, синего Рє желтому, РёРЅРґРёРіРѕ Рё фиолетовому), которое упомянуто РІ тексте, если быть более точным, представляет СЃРѕР±РѕР№ SU(3) преобразование, примененное Рє «цветовым координатам» кварка. ВКалибровочной является симметрия, РІ которой групповые преобразования РјРѕРіСѓС‚ зависеть РѕС‚ точек пространства-времени: РІ этом случае «вращение» цветов кварка будет происходить РїРѕ-разному РІ различных точках пространства Рё РІ различные моменты времени.

6.ВВ РџСЂРё разработке квантовых теорий трех негравитационных взаимодействий физики также столкнулись СЃ вычислениями, которые приводили Рє бесконечным результатам. Однако СЃРѕ временем ученые осознали, что РѕС‚ бесконечностей можно РёР·-

бавиться с помощью процедуры, известной как перенормировка. Бесконечности, возникающие при попытках объединить общую теорию относительности и квантовую механику, являются гораздо более серьезными, от них нельзя избавиться с помощью перенормировки. Позднее стало ясно, что бесконечные результаты сигнализируют о том, что теория используется за пределами области своей применимости. Поскольку цель исследований — «окончательная» или «последняя» теория, область применимости которой в принципе не ограничена, физики ищут теорию, в ответах которой не появлялись бы бесконечные величины, независимо от того, насколько экстремальной является анализируемая физическая система.

7.В Величину планковской длины можно получить СЃ использованием простых рассуждений, основанных РЅР° том, что физики называют размерным анализом. Идея состоит РІ следующем. РљРѕРіРґР° та или иная теория формулируется РІ РІРёРґРµ набора уравнений, то чтобы теория приобрела СЃРІСЏР·СЊ СЃ действительностью, абстрактным символам должны быть поставлены РІ соответствие физические характеристики реального РјРёСЂР°. Р’ частности, нужно ввести систему единиц измерения. Например, если мы обозначим некоторую длину символом Р°, то Сѓ нас должна быть шкала для интерпретации этого значения. Р’ конце концов, если уравнение РіРѕРІРѕСЂРёС‚ нам, что искомая длина равна 5, РјС‹ должны знать, означает ли это 5 СЃРј, 5 РєРј или 5 световых лет Рё С‚. Рї. Р’ теории, которая включает РІ себя обшую теорию относительности Рё квантовую механику, естественный выбор единиц измерения выглядит следующим образом. Р’ РїСЂРёСЂРѕРґРµ есть РґРІРµ константы, которые РІС…РѕРґСЏС‚ РІ уравнения общей теории относительности: скорость света СЃ Рё ньютоновская гравитационная постоянная РЎ Квантовая механика определяется постоянной Планка . Исследуя единицы, РІ которых выражены эти константы (например, СЃ представляет СЃРѕР±РѕР№ скорость Рё поэтому выражается как расстояние, деленное РЅР° время, Рё С‚.Рї.), можно заметить, что величина имеет размерность длины; ее значение составляет 1,616 С… 10--33 СЃРј. Это Рё есть планковская длина. Поскольку РѕРЅР° содержит гравитационный Рё пространственно-временной параметры (G Рё СЃ), Р° также квантово-механическую константу ( ), РѕРЅР° устанавливает шкалу для измерений (естественную единицу длины) для любой теории, которая пытается объединить обшую теорию относительности Рё квантовую механику. РљРѕРіРґР° РјС‹ используем РІ тексте выражение «планковская длина», РјС‹ часто имеем РІ РІРёРґСѓ приближенное значение, отличающееся от 10--33В СЃРј РЅРµ более чем РЅР° несколько РїРѕСЂСЏРґРєРѕРІ.

8.ВВВ Р’ настоящее время, РїРѕРјРёРјРѕ теории струн, активно развиваются РґРІР° РґСЂСѓРіРёС… РїРѕРґС…РѕРґР° Рє объединению общей теории относительности Рё квантовой механики. РћРґРёРЅ РёР· РЅРёС…, возглавляемый Роджером Пенроузом РёР· Оксфордского университета, известен РїРѕРґ названием теории твисторов. Другой РїРѕРґС…РѕРґ, появление которого отчасти было инициировано работами Пенроуза, развивается Абхаем Аштекаром