Существуют ли пределы познания? 3 страница

ПримечанияВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ 255

из университета штата Пенсильвания, и получил название метода новых переменных. Мы не будем рассматривать эти подходы в данной книге, однако появляются все более обоснованные предположения о том, что они могут иметь глубокую связь с теорией струн, и, возможно, все три подхода ведут к одному и тому же решению проблемы объединения общей теории относительности и квантовой механики.

Глава 6

1.В Знающий читатель поймет, что РІ данной главе рассматривается только пертурбативная теория струн; выходящие Р·Р° рамки теории возмущений аспекты обсуждаются РІ главах 12 Рё 13.

2.В Интервью СЃ Джоном Шварцем, 23 декабря 1997 Рі.

3.В Схожие предположения были независимо высказаны Тамиаки Йонея, Р° также Коркутом Бардакчи Рё Мартином Гальперном. Значительный вклад РІ разработку теории струн РЅР° ранних этапах ее существования был также сделан шведским физиком Ларсом Бринком.

4.В Интервью СЃ Джоном Шварцем. 23 декабря 1997 Рі.

5.В Интервью СЃ Майклом Грином, 20 декабря 1997 Рі.

6.В Стандартная модель предлагает механизм, дающий частицам массу, так называемый механизм РҐРёРіРіСЃР°, получивший СЃРІРѕРµ РёРјСЏ РІ честь шотландского физика Питера РҐРёРіРіСЃР°. Однако СЃ точки зрения объяснения значений масс частиц, задача здесь просто перекладывается РЅР° гипотетическую «частицу, дающую массу» — С…РёРіРіСЃРѕРІСЃРєРёР№ Р±РѕР·РѕРЅ. Р’ настоящее время ведутся РїРѕРёСЃРєРё этой частицы, РЅРѕ, опять же, даже если удастся обнаружить ее Рё определить ее свойства, РѕРЅРё Р±СѓРґСѓС‚ представлять СЃРѕР±РѕР№ входные данные для стандартной модели,В РЅРµ имеющие никакого теоретического объяснения.

7.В Для читателей, имеющих математическую подготовку, укажем, что СЃРІСЏР·СЊ между модами колебаний струны Рё константами взаимодействия может быть более точно описана следующим образом. РџСЂРё квантовании струны ее возможные состояния, как Рё состояния любой квантово-механической системы, РјРѕРіСѓС‚ быть представлены векторами РІ гильбертовом пространстве. Эти векторы РјРѕРіСѓС‚ быть разложены РїРѕ собственным значениям некоторого набора коммутирующих эрмитовых операторов. Среди этих операторов имеется гамильтониан, собственное значение которого дает энергию Рё, следовательно, массу этой колебательной РјРѕРґС‹, Р° также операторы, генерирующие различные калибровочные симметрии этой теории. Собственные значения этих последних операторов Рё дают константы взаимодействия, которые несут соответствующие колебательные РјРѕРґС‹ струны.

8.В Основываясь РЅР° догадках, сделанных РІ С…РѕРґРµ второй революции РІ теории суперструн (обсуждаемой РІ главе 12), Виттен Рё Джо Ликкен (РёР· Национальной лаборатории высокоэнергетических исследований) нашли маленькую, РЅРѕ возможную лазейку

в этом заключении. Используя ее, Ликкен предположил, что струны могут находиться под гораздо меньшим натяжением, и, следовательно, иметь гораздо больший размер, чем считалось первоначально. В действительности они могут оказаться столь большими, что могут быть обнаружены с помощью ускорителей частиц следующего поколения. Если эта маловероятная возможность окажется реальностью, открываются волнующие перспективы того, что многие замечательные следствия теории струн, обсуждаемые в этой и в последующих главах, смогут быть экспериментально проверены в течение ближайшего десятилетия. Но, как мы увидим в главе 9, даже в случае более «традиционного» сценария, разделяемого специалистами по теории струн, согласно которому струны обычно имеют длину порядка I0^{--33 см, остаются косвенные методы экспериментальной проверки. 9. Знающий читатель поймет}, что фотон, образовавшийся при столкновении электрона и позитрона, является виртуальным и, следовательно, должен быстро высвободить свою энергию путем образования пары частица-античастица. 10. Конечно, камера работает, улавливая отражающиеся от интересующих нас объектов фотоны и регистрируя их на фотопленке. Использование камеры в этом примере является символическим, поскольку мы не представляем себе фотонов, отражающихся от сталкивающихся струн. Мы просто хотим зарегистрировать на рис. 6.7 в всю историю взаимодействия. Сказав это, мы должны обратить ваше внимание на один тонкий момент, о котором умалчивает обсуждение в основном тексте. В главе 4 мы узнали, что квантовая механика может быть сформулирована с использованием фейнмановского метода суммирования по траекториям, в котором движение объектов анализируется путем суммирования вклада всех возможных траекторий, ведущих от выбранной начальной точки к некоторой конечной (каждой траектории в методе Фейнмана сопоставляется статистический вес). На рис. 6.6 и 6.7 мы показали вклад бесконечного числа возможных траекторий, по которым точечные частицы (рис. 6.6) или струны (рис. 6.7) следуют от начальной точки к пункту назначения. Однако приводимое в разделе обсуждение в равной мере применимо и к любой другой возможной траектории, а значит и ко всему квантово-механическому процессу в целом. (Фейнмановская формулировка квантовой механики точечных частиц с использованием подхода, основанного на суммировании по траекториям, была обобщена на случай теории струн в работах Стэнли Мандельстама из университета штата Калифорния в Беркли и Александра Полякова, в настоящее время работающего на физическом факультете Принстонского университета.)

Глава 7

1.В Цитируется РїРѕ РєРЅРёРіРµ R. Clark, Einstein: The Life and Times. New York: Avon Books, 1984, p. 287.

256ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ Примечания

2.В Если говорить более точно, СЃРїРёРЅ, равный 1/2, означает, что момент импульса электрона, связанный СЃ его СЃРїРёРЅРѕРј, составляет

3.В ОткрытиеВВ РёВ развитиеВ понятияВ суперсимметрии имеет непростую историю.В Р’ дополнение Рє тем, кто указанВ в тексте,В ВосновополагающийВ вклад внесли Р. Хааг, Рњ. РЎРѕРЅРёСѓСЃ, Дж. Рў. Лопушанский, Р®. Рђ. Гольфанд,ВВ Р•. Рџ. Лихтман,В Дж.ВВ Р›. Шервэ, Р‘.Сакита, Р’. Рџ. Акулов, Р”. Р’. Волков Рё Р’. Рђ. РЎРѕСЂРѕРєР°. Некоторые РёР· РёС… работ вошли РІ РѕР±Р·РѕСЂ Rosanne Di Stefano,В Notes on the Conceptual Development of Supersymmetry. Institute for Theoretical Physics, State University of New York at Stony Brook, preprint ITP-SB-887S.

4.В Для читателя, имеющего математическую подготовку, заметим, что это расширение включает дополнение обычных декартовых координат РІ пространстве-времени новыми, квантовыми координатами, скажем и и v, которые антикоммутируют: Рё С… v — —v x Рё. Это позволяет рассматривать суперсимметрию как симметрию относительно трансляций РІ кванюво-механическом расширении пространства-времени.

5.В Для читателя, интересующегося деталями этого технического РІРѕРїСЂРѕСЃР°, заметим следующее. Р’ примечании 6 Рє главе 6 РјС‹ упоминали, что стандартная модель РІРІРѕРґРёС‚ «частицу, даюшую массу», С…РёРіРіСЃРѕРІСЃРєРёР№ Р±РѕР·РѕРЅ, которая генерирует измеряемые экспериментально массы элементарных частиц, перечисленных РІ табл. 1.1 Рё 1.2. Для того чтобы эта процедура работала, хиггеовская частица сама РїРѕ себе РЅРµ должна быть слишком тяжелой: проведенные исследования показывают, что ее масса, РІРѕ РІСЃСЏРєРѕРј случае, РЅРµ должна превышать примерно I 000 масс протона. Однако окаилось, что квантовые флуктуации РјРѕРіСѓС‚ вносить значительный вклад РІ массу хиггеовской частицы: это, РІ принципе, может приводить Рє массам, близким Рє планковской. Тем РЅРµ менее теоретикам удалось установить, что можно избежать этого результата, указывающего РЅР° серьезный дефект стандартной модели, путем тонкой настройки некоторых параметров стандартной модели (прежде всего так называемой голой массы хиггеовской частицы) СЃ точностью РїРѕСЂСЏРґРєР° 10^--15. что позволяет нейтрализовать влияние квантовых флуктуации РїР° массу С…РёРіРіСЃРѕРІСЃРєРѕР№ частицы.

6.В Один тонкийВ момент,В относящийсяВВ РєВ СЂРёСЃ. 7.1, состоит в том, что на этом рисунке интенсивность слабого взаимодействия занимает промежуточное положение между интенсивностью сильного Рё электромагнитного взаимодействия, хотя ранее говорилось, что РѕРЅР° слабее всех. Объяснение этому можно найти РІ табл. 1.2, РёР· которой РІРёРґРЅРѕ, что частицы-переносчики слабого взаимодействия являются достаточно массивными, тогда как частицы, передающие сильное Рё электромагнитное взаимодействие, являются безмассовыми. Р’ действительности интенсивность слабого взаимодействия (определяемаяВ соответствующейВ константойВ — идея, СЃ которой РјС‹ столкнемся РІ главе 12) является такой, как показано РЅР° СЂРёСЃ. 7.1, РЅРѕ массивная частица, передающая это взаимодействие, довольно пассивно выполняет СЃРІРѕРё функции, что РїСЂРёРІРѕРґРёС‚

к уменьшению интенсивности этого вида взаимодействия. В главе 14 мы увидим, как вписывается в картину рис. 7.1 гравитационное взаимодействие.

7.В Эдвард Виттен, РёР· цикла лекций РІ память Хайнца Пагельса. Рі. Аспен, Колорадо, 1997 РіРѕРґ.

8.В Углубленное обсуждение этой Рё СЂСЏРґР° РґСЂСѓРіРёС… смежных идей приведено РІ РєРЅРёРіРµ Steven Weinberg, Dreams of a Final Theory.В (РСѓСЃ. пер.: Вайнберг РЎ. Мечты РѕР± окончательной теории. Рњ.: РЈРРЎРЎ. 2004.)

Глава 8

1.ВВ Р­РіРѕ простая идея, однако, поскольку несовершенство нашего обычного языка РїСЂРёРІРѕРґРёС‚ РёРЅРѕРіРґР° Рє недопониманию, приведем РґРІР° пояснения.В Р’Рѕ-первых, РјС‹ считаем, что муравей живет РЅР° поверхности Садового шланга. Если Р±С‹ муравей РјРѕРі зарываться вглубь шланга, С‚. Рµ. если Р±С‹ РѕРЅ РјРѕРі проникать внутрь резины, РёР· которой сделан шланг, нам Р±С‹ потребовалось три числа, чтобы указать его местоположение, поскольку нужно было Р±С‹ указать, как глубоко РѕРЅ закопался. Однако если муравей живет только на поверхности шланга, то чтобы указать его положение, достаточно РґРІСѓС… чисел. Отсюда следует необходимость второго пояснения. Даже тогда, РєРѕРіРґР° муравей живет РЅР° поверхности шланга, РјС‹ можем, если захотим, указывать его положение СЃ помощью трех чисел: обычных положений РІ направлениях влево-вправо, вперед-назад Рё вверх-РІРЅРёР· РІ нашем привычном трехмерном пространстве. Однако РєРѕРіРґР° известно, что муравей живет РЅР° поверхности шланга, РґРІР° числа, упомянутые РІ тексте, представляют СЃРѕР±РѕР№ минимальный набор величин, однозначно определяющих положение муравья. Именно это имелось РІ РІРёРґСѓ, РєРѕРіРґР° РјС‹ говорили, что поверхность шланга двумерна.

2.ВВ Как РЅРё удивительно, физики Савас Димопулос, РќРёРјР° Аркани-Хамед иВ Гия Двали, основываясь РЅР° более ранних догадках Игнатиоса Антониадиса Рё Джозефа Ликкена, смогли показать, что даже если Р±С‹ свернутые дополнительные измерения были столь велики, что достигали размера РІ РѕРґРёРЅ миллиметр, РѕРЅРё могли Р±С‹ оставаться необнаруженными экспериментально. Причина состоит РІ том, что ускорители частиц исследуют РјРёРєСЂРѕРјРёСЂ СЃ помощью сильного, слабого Рё электромагнитного взаимодействий. Гравитационное взаимодействие, которое РїСЂРё технологически достижимых энергиях остается чрезвычайно слабым, обычно игнорируется. Однако Димопулос с коллегами показали, что свернутые измерения оказывают влияние преимущественно РЅР° гравитационное взаимодействие (что выглядит вполнеВ правдоподобно в теории струн); этот эффект вполне РјРѕРі быть пропущен РІРѕ всех экспериментах, выполненных РґРѕ настоящего времени. Р’ ближайшем будущем СЃ использованием высокоточной аппаратуры Р±СѓРґСѓС‚ проведены новые эксперименты РїРѕ изучению гравитационных эффектов, предназначенные для РїРѕРёСЃРєР° таких «крупных» свернутых измерений. Положительный результат будет означать РѕРґРЅРѕ РёР· величайших открытий РІ истории человечества.

ПримечанияВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ 257

3.ВВ Edwin Abbott, Flatland, Princeton: Princeton University Press, 1991. (РСѓСЃ. пер.: Р­Р±Р±РѕС‚ Р­. Флатляндия. Рњ.: Амфора, 2001.)

4.ВВ РџРёСЃСЊРјРѕ Рђ. Эйнштейна Рє Рў. Калуце. Цитируется РїРѕ РєРЅРёРіРµ: Abraham Pais, Subtle Is the Lord. New York: Oxford University Press, 1982, p. 330. (РСѓСЃ. пер.: Пайс Рђ. Научная деятельность Рё жизнь Альберта Эйнштейна. Рњ.: Наука, Физматлит, 1989.)

5.ВВ РџРёСЃСЊРјРѕ Рђ.Эйнштейна Рє Рў. Калуце. Цитируется РїРѕ статье: D. Freedman and P. van Nieuwenhuizen, The Hidden Dimensions of Spacetime, Scientific American, 252(1985), 62.

6.В Там же.

7.В Физики установили, что РІ многомерную формулировку труднее всего включить такое понятие стандартной модели как киральность. Поэтому, чтобы РЅРµ перегружать обсуждение, РјС‹ РЅРµ стали рассматривать это понятие РІ РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕРј тексте. Для читателей, интересующихся этим РІРѕРїСЂРѕСЃРѕРј, дадим здесь его краткое описание. Представьте, что кто-то показывает вам фильм, демонстрирующий некоторый научный эксперимент, Рё предлагает необычное задание — определить, показывает ли фильм сам эксперимент или его отражение РІ зеркале. Поскольку оператор был очень опытным, никаких признаков наличия зеркала РЅР° ленте РЅРµ РІРёРґРЅРѕ. Можете ли РІС‹ решить эту задачу? Р’ середине 1950-С… РіРі. теоретические работы Рў. Р”. Ли Рё Р§. Рќ.РЇРЅРіР°, Р° также экспериментальные результаты Р¦. РЎ. By Рё ее коллег показали, что РІС‹ можете решить эту задачу, если РЅР° пленке СЃРЅСЏС‚ подходящий эксперимент. Рђ именно, РёС… работы доказали, что законы мироздания РЅРµ обладают полной зеркальной симметрией РІ том смысле, что зеркальные аналоги некоторых процессов, определяемых слабым взаимодействием, РЅРµ РјРѕРіСѓС‚ существовать РІ нашем РјРёСЂРµ, даже если исходные процессы существуют. Таким образом, если, просматривая фильм, РІС‹ увидите, что РѕРЅ демонстрирует РѕРґРёРЅ РёР· таких запрещенных процессов, РІС‹ будете знать, что наблюдаете зеркальное отражение, Р° РЅРµ сам эксперимент. Поскольку зеркальное отражение меняет местами левое Рё правое, работы Ли, РЇРЅРіР° Рё By показали, что Вселенная РЅРµ обладает полной симметрией левого Рё правого, или, используя специальную терминологию, что Вселенная является киральной. Именно это свойство стандартной модели (РІ частности, слабого взаимодействия) физики считали почти невозможным включить РІ теорию супергравитации высших размерностей. Чтобы избежать недоразумений, отметим, что РІ главе 10 РјС‹ будем обсуждать концепцию теории струн, известную РїРѕРґ названием «зеркальной симметрии», РЅРѕ там слово «зеркальная» будет использоваться РІ совершенно РёРЅРѕРј смысле.

8.В Для читателя, имеющего математическую подготовку, отметим, что многообразие Калаби—Яу представляет СЃРѕР±РѕР№ комплексное кэлерово многообразие СЃ нулевым первым классом Черна. Р’ 1957 Рі. Калаби высказал предположение, что каждое такое многообразие допускает Риччи-плоскую метрику, Р° РІ 1977 Рі. РЇСѓ доказал справедливость этого предположения.

9. Эта иллюстрация была любезно предоставлена Эндрю Хэнсоном из университета штата Индиана, она была создана с использованием графического пакета Mathematica 3-D.

10. Для читателя, имеющего математическую подготовку, заметим, что это конкретное пространство Калаби—Яу представляет собой действительное трехмерное сечение гиперповерхности пятого порядка в комплексном проективном четырехмерном пространстве.

Глава 9

1.ВВ Edward Witten, Reflections on the Fate of Spacetime, Physics Today, April 1996, p. 24.

2.В Интервью СЃ Эдвардом Виттеном, 11 мая 1998 Рі.

3.ВВ Sheldon Glashow and Paul Ginsparg, Desperately Seeking Superstrings? Physics Today, May 1986, p. 7.

4.ВВ Sheldon Glashow. Опубликовано РІ The Supervorld I, ed. A. Zichichi, New York: Plenum, 1990, p. 250.

5.ВВ SheldonВВ Glashow,ВВ Interactions,ВВ NewВ York:ВВ Warner Books, 1988, p. 335.

6.ВВ RichardВВ Feynman.В ОпубликованоВВ РІВВ Superstrings: A Theory of Everything? ed. Paul Davies and Julian Brown, Cambridge, Eng: Cambridge University Press, 1988.

7.ВВ Howard Georgi. Опубликовано РІ The New Physics, ed. Paul Davies, Cambridge: Cambridge University Press 1989, p. 446.

8.В Интервью СЃ Эдвардом Виттеном, 4 мая 1998 Рі.

9.В Интервью СЃ РљСѓРјСЂСѓРЅРѕРј Вафой, 12 января 1998 Рі.

10.В Цитируется РїРѕ РєРЅРёРіРµ: Robert P. Crease and Charles РЎ. Mann,В The Second Creation. New Brunswick, N. J.: Rutgers University Press, 1996, p. 414.

11.В Интервью СЃ Шелдоном Глэшоу, 28 декабря 1997 Рі.

12.В Там же.

13.В Интервью СЃ Говардом Джорджи, 28 декабря 1997 Рі. Р’Рѕ время интервью Джорджи также отметил, что экспериментальное опровержение предсказанного распада протонов, которое следовало РёР· предложенной РёРј Рё Глэшоу первой теории великого объединения (СЃРј. главу 7), сыграло существенную роль РІ его нежелании принять теорию суперструн. РћРЅ РіРѕСЂСЊРєРѕ заметил, что его теория великого объединения требует намного больших энергий, чем любая другая теория, РєРѕРіРґР°-либо выносившаяся РЅР° СЃСѓРґ, Рё РєРѕРіРґР° его предсказание оказалось неверным, РєРѕРіРґР° «он был нокаутирован РїСЂРёСЂРѕРґРѕР№В», его отношение Рє изучению физики чрезвычайно высоких энергий резко изменилось. РљРѕРіРґР° СЏ СЃРїСЂРѕСЃРёР» его, РЅРµ будет ли для него экспериментальное подтверждение теории великого объединения стимулом включиться РІ наступление РЅР° область планковских масштабов, РѕРЅ ответил: «Да, очень может быть»,

14.ВВ David Gross, Superstrings and Unification. Опубликовано РІ Proceedings of the XXIV International Conference on High Energy Physics, ed. R. Kotthaus and J. Kuhn. Berlin: Springer-Verlag, 1988, p. 329.

258ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ Примечания

15.В Сказав это, следует помнить Рѕ возможности, указанной РІ примечании 8 Рє главе 6, что струны РјРѕРіСѓС‚ иметь значительно больший размер, чем считалось первоначально, Рё, следовательно, РјРѕРіСѓС‚ стать объектом прямого экспериментального изучения РЅР° ускорителях РІ течение ближайших десятилетий.

16.В Для читателя, имеющего математическую подготовку, заметим, что согласно более точной математической формулировке число семейств равно половине абсолютного значения числа Эйлера для пространства Калаби—Яу. Число Эйлера представляет СЃРѕР±РѕР№ СЃСѓРјРјСѓ размерностей РіСЂСѓРїРї гомологий многообразия, РіРґРµ РіСЂСѓРїРїС‹ гомологии это то, что РјС‹ РЅР° нашем нестрогом языке назвали многомерными отверстиями. Таким образом, количество семейств, равное трем, следует РёР· того, что число Эйлера для этих пространств Калаби—Яу равно В±6.