Существуют ли пределы познания? 4 страница

17.В Интервью СЃ Джоном Шварцем, 23 декабря 1997 Рі.

18.В Для читателя, имеющего математическую подготовку, заметим, что РјС‹ ставим РІ соответствие многообразию Калаби—Яу конечную нетривиальную фундаментальную РіСЂСѓРїРїСѓ, РїРѕСЂСЏРґРѕРє которой РІ некоторых случаях определяет знаменатель РґСЂРѕР±РЅРѕРіРѕ заряда.

19.В Интервью СЃ Эдвардом Виттеном, 4 марта 1998 Рі.

20.В Для читателей, хорошо знакомых СЃ рассматриваемыми вопросами, заметим, что некоторые РёР· этих процессов нарушают закон сохранения лептонного числа, Р° также РЎРРў-симметрию (инвариантность относительно изменения знака заряда, четности Рё направления времени).

Глава 10

1.В Отметим для Вполноты, что хотя большая часть приведенных выше аргументов РІ равной степени справедлива как для открытых струн (струн СЃРѕ свободными концами), так Рё для замкнутых струн (которым РјС‹ уделяли РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕРµ внимание), РІ рассматриваемом РІРѕРїСЂРѕСЃРµ РґРІР° типа струн РјРѕРіСѓС‚, кажется, проявлять различные свойства. Действительно, открытая струна РЅРµ может быть «насажена» РЅР° циклическое измерение. Тем РЅРµ менее, РІ результате исследований, сыгравших РІ конце концов ключевую роль РІРѕ второй революции суперструн, Джо Польчински РёР· Калифорнийского университета РІ РіРѕСЂРѕРґРµ Санта-Барбара Рё РґРІРѕРµ его студентов, Джиан-РҐСЋРё Дай Рё Роберт Лей, РІ 1989 Рі. продемонстрировали, что открытые струны прекрасно вписываются РІ схему, которая будет описана РІ данной главе.

2.В Чтобы ответить РЅР° РІРѕРїСЂРѕСЃ Рѕ том, почему возможные энергии однородных колебаний равны целым кратнымВВ 1/R, достаточно лишь вспомнить обсуждение квантовой механики (РІ частности, примера СЃ ангаром) РІ главе 4. Там РјС‹ узнали Рѕ том, что согласно квантовой механике энергия, как Рё деньги, существуют РІ РІРёРґРµ дискретных порций, С‚. Рµ. РІ РІРёРґРµ целых кратных различных энергетических единиц. Р’ случае РѕРґРЅРѕСЂРѕРґРЅРѕРіРѕ колебательного

движения струны во вселенной Садового шланга эта энергетическая единица в точности равна 1/R, как объясняется в основном тексте на основе соотношения неопределенностей. Таким образом, энергия однородных колебаний равна произведению целых чисел на 1/R.

3.В Математически равенство энергий струн РІРѕ вселенной с радиусом циклического измеренияВВ R илиВВ 1/RВ есть следствие формулы для энергии v/R+wR, РіРґРµ v — колебательное число, Р°w- топологическое число. Данное уравнение инвариантно относительно одновременных взаимных замен v РЅР° w Рё R РЅР° 1/R, С‚. Рµ. РїСЂРё перестановке колебательных Рё топологических чисел СЃ одновременной инверсией радиуса. РњС‹ используем планковские единицы, РЅРѕ можно работать Рё РІ более привычных единицах, если переписать формулу для энергии через так называемую струнную шкалу , значение которого примерно равно планковской длине, С‚.Рµ. 10~³³ сантиметра. Р’ результате энергия записывается РІ РІРёРґРµ выражения v/R + wR/пЃЎ', инвариантного относительно взаимной замены v РЅР° w Рё R РЅР° пЃЎ'/R, РіРґРµ последние РґРІРµ величины выражены РІ стандартных единицах расстояния.

4.ВВ РЈ читателя может возникнуть РІРѕРїСЂРѕСЃ, каким образом СЃ помощью струны, намотанной РІРѕРєСЂСѓРі циклического измерения радиусом РЇ, можно измерить значение радиуса 1/R. Хотя этот РІРѕРїСЂРѕСЃ совершенно правомерен, ответ РЅР° него, РІ действительности, заключается РІ том, что сам РІРѕРїСЂРѕСЃ сформулирован некорректно. РљРѕРіРґР° РјС‹ РіРѕРІРѕСЂРёРј, что струна намотана РЅР° окружность радиуса R, РјС‹ СЃ необходимостью используем определение расстояния (чтобы фраза «радиус RВ» имела смысл). Однако это определение расстояния относится Рє модам ненамотанной струны, С‚. Рµ. Рє колебательным модам. РЎ точки зрения этого определения расстояния (Рё только этого!) конфигурация намотанной струны выглядит так, что струна обернута РІРѕРєСЂСѓРі циклической компоненты пространства. Однако СЃ точки зрения РґСЂСѓРіРѕРіРѕ определения расстояния, соответствующего конфигурациям намотанных струн, топологические РјРѕРґС‹ точно так же локализованы РІ пространстве, как Рё колебательные РјРѕРґС‹ СЃ точки зрения первого определения, Рё радиус, который РѕРЅРё «видят», равен 1/R, что Рё отмечено РІ тексте.

Эти пояснения дают некоторое представление Рѕ том, почему расстояния, измеренные СЃ помощью намотанных Рё ненамотанных струн, обратно пропорциональны РґСЂСѓРі РґСЂСѓРіСѓ. Однако, так как данный момент достаточно тонкий, возможно, имеет смысл привести технические подробности для читателя, склонного Рє математическому образу мышления. Р’ обычной квантовой механике точечных частиц расстояние Рё импульс (РїРѕ существу, энергия) связаны преобразованием Фурье. Иными словами, собственный вектор оператора координаты \С…) РЅР° окружности радиусом R можно определить как В, РіРґРµ СЂ = v/R, Р° \СЂ) есть собственный вектор оператора импульса (РїСЂСЏРјРѕР№ аналог того, что РјС‹ называли общей колебательной РјРѕРґРѕР№ струны — движение без изменения формы). Р’ теории струн, однако, есть еще РѕРґРёРЅ собственный

ПримечанияВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ ВВВВВ259

вектор оператора координаты , определяемый состояниями намотанной струны: ,

РіРґРµ В— собственный вектор для намотанной струны СЃ . Из этих определений немед-

ленно следует, что С… периодична СЃ периодом 2пЃ°R, Р° С… периодична СЃ периодом 2пЃ°/R, так что С… есть координата РЅР° окружности радиусом R, Р° В— координата РЅР° окружности радиусом 1/R. Более конкретно, можно рассмотреть РґРІР° волновых пакета , распространяющихся РёР· начала координат Рё эволюционирующих РІРѕ времени, СЃ помощью которых можно дать практическое определение расстояния. Радиус окружности, измеренный СЃ помощью каждого РёР· пакетов, будет пропорционален времени возвращения пакета РІ РёСЃС…РѕРґРЅСѓСЋ точку. Так как состояние СЃ энергией Р• эволюционирует СЃ фазовым множителем, пропорциональным Et, РІРёРґРЅРѕ, что время, Р°, следовательно Рё радиус, равны t ~ 1/Р• ~ R для колебательных РјРѕРґ Рё t ~ 1/Р• ~ 1/R для топологических РјРѕРґ.

5.В Для читателя, сведущего РІ математике, отметим, что число семейств колебательных РјРѕРґ струны равно половине абсолютного значения эйлеровой характеристики многообразия Калаби—Яу, как указано РІ примечании 16 Рє главе 9. Эта величина равна абсолютному значению разности

где Вобозначает число Ходжа (p,q). РЎ точностью РґРѕ константы эти значения равны числу нетривиальных гомологий 3-циклов (трехмерных отверстий) Рё числу гомологии 2-циклов (двумерных отверстий). Таким образом, хотя РІ РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕРј содержании говорится Рѕ полном числе отверстий, более точный анализ показывает, что число семейств зависит РѕС‚ абсолютного значения разности между числами четномерных Рё нечетномерных отверстий. Выводы, однако, те же самые. Например, если РґРІР° пространства Калаби—Яу отличаются перестановкой соответствующих чисел Ходжа ВРё , то число семейств частиц — полное число отверстий — РЅРµ изменится.

6.В Название объясняется тем, что «ромбы Ходжа», математические выражения чисел отверстий различных размерностей для пространств Калаби—Яу, являются зеркальными отражениями РґСЂСѓРі РґСЂСѓРіР° для каждой зеркальной пары.

7.В Термин зеркальная симметрия используется РІ физике Рё РІ РґСЂСѓРіРёС… контекстах, совершенно РЅРµ связанных СЃ данным, например, РІ СЃРІСЏР·Рё СЃ понятием киральности, С‚. Рµ. РІ СЃРІСЏР·Рё СЃ РІРѕРїСЂРѕСЃРѕРј Рѕ том, является ли Вселенная инвариантной относительно замены правого РЅР° левое (СЃРј. примечание 7 Рє главе 8).

Глава 11

1. Для читателя, склонного к математической строгости рассуждений, будет понятно, что вопрос состоит в том, является ли топология пространства динамической, т. е. может ли она меняться во времени. Отметим, что хотя представление о динамических изменениях топологии часто используется в этой книге, на практике обычно рассматривается

однопараметрическое семейство пространственно-временных многообразий, чья топология меняется при изменении параметра семейства. Формально этот параметр не является временем, но в определенном контексте может с ним отождествляться.

2.В Для математически подкованного читателя отметим, что процедура включает сдутие рациональных кривых на многообразииВ Калаби—Яу. Далее используется тот факт, что при определенных условиях образовавшаяся сингулярность может быть устранена серией последовательных раздутий.

3.ВВ Рљ. РЎ. Cole, New YorkВ Times Magazine, OctoberВ 18, 1987, p. 20.

Глава 12

1.В Цитируется РїРѕ РєРЅРёРіРµ: John D. Barrow,В Theories of Everything. New York: Fawcett-Columbine, 1992, p. 13. (Р’ СЂСѓСЃ. пер. цитата есть РІ РєРЅРёРіРµ: Кузнецов Р‘. Р“. Эйнштейн: Р–РёР·РЅСЊ. Смерть. Бессмертие. Рњ: Наука, 1980, СЃ. 363.)

2.В Кратко РїРѕСЏСЃРЅРёРј различия между пятью теориями струн. Для этого отметим, что колебательные возбуждения вдоль струнной петли РјРѕРіСѓС‚ распространяться РїРѕ часовой стрелке Рё против нее. Теории струн типов IIРђ Рё IIB отличаются тем, что РІ последней теории колебания РІ РѕР±РѕРёС… направлениях идентичны, Р° РІ первой теории противоположны РїРѕ форме. Противоположность РІ данном контексте имеет точный математический смысл, РЅРѕ нагляднее всего ее можно представлять РІ терминах вращений колебательных РјРѕРґ РІ каждой теории. Р’ теории типа IIР’ оказывается, что РІСЃРµ частицы вращаются РІ РѕРґРЅРѕРј направлении (Сѓ РЅРёС… РѕРґРЅР° Рё та же киральность), Р° РІ теории типа IIРђ — в разных направлениях (Сѓ РЅРёС… разная киральность). Тем РЅРµ менее, РІ каждой теории реализуется суперсимметрия. Две гетеротические теории имеют аналогичные, РЅРѕ более эффектные отличия. Р’СЃРµ РјРѕРґС‹ колебаний РїРѕ часовой стрелке выглядят так же, как Рё РјРѕРґС‹ струн типа II (если рассматривать только колебания РїРѕ часовой стрелке, то теории струн типов РџРђ Рё IIB идентичны), РЅРѕ колебания против часовой стрелки совпадают СЃ колебаниями РёСЃС…РѕРґРЅРѕР№ теории бозонных струн. Хотя РІ бозонных струнах возникают неразрешимые проблемы, если рассматривать РёС… колебания РІ РѕР±РѕРёС… направлениях, РІ 1985 Рі. Дэвид РРѕСЃСЃ, Джеффри Харви, Эмиль Мартинек Рё Райан РРѕРј (РІСЃРµ РѕРЅРё РІ то время работали РІ Принстонском университете Рё РёС… прозвали «Принстонский струнный квартет») показали, что РїСЂРё использовании этих струн РІ комбинации СЃРѕ струнами типа II получается вполне согласованная теория. Однако РІ этом СЃРѕСЋР·Рµ была странная особенность, известная СЃРѕ времен работ Клода Лавлейса РёР· университета Ратчерса 1971 Рі. Рё Ричарда Броуэра РёР· Бостонского университета, Питера Годдарда РёР· Кембриджского университета Рё Чарльза РўРѕСЂРЅР° РёР· Гейнсвилльского университета (штат Флорида) 1972 Рі. Рђ именно, для

260ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ Примечания

бозонной струны требовалось 26 пространственно-временных измерений, а для суперструны, как обсуждалось, требовалось 10. Так что гетеротические струны (от греческого , т. е. разный)

являются странными гибридами, в которых колебательные моды против часовой стрелки живут в 26 измерениях, а колебательные моды по часовой стрелке — в 10! Пока читатель окончательно не запутался, пытаясь понять этот странный союз, сообщим ему о работе Гросса и его коллег, в которой было показано, что 16 лишних бозонных измерений должны скручиваться в одно из двух торообразных многообразий очень специального вида, приводя к теориям О- и Е-гетеротических струн. Так как 16 добавочных бозонных измерений компактифицированы, каждая из этих теорий ведет себя так, как если бы в ней было 10 измерений, т.е. как теории струн типа II. В гетеротических теориях также реализован свой вариант суперсимметрии. И, наконец, теория типа I аналогична теории ИВ, за исключением того, что помимо замкнутых струн, рассмотренных в предыдущих главах, в ней имеются струны со свободными концами, называемые открытыми струнами.

3.В Понятие «точный» РІ смысле данной главы (например, «точное» уравнение движения Земли) РІ действительности относится Рє точному предсказанию некоторой физической величины РІ рамках выбранного теоретического формализма. До тех РїРѕСЂ, РїРѕРєР° Сѓ нас РЅРµ будет истинной окончательной теории (возможно, РѕРЅР° уже есть, Р° возможно, ее вообще РЅРµ будет) РІСЃРµ наши теории сами являются приближениями реальности. РќРѕ это понятие приближения РЅРµ имеет никакого отношения Рє приближениям, рассматриваемым РІ данной главе. Здесь нас интересует тот факт, что РІ рамках выбранной теории часто сложно или невозможно сделать точные предсказания. Вместо этого приходится искать эти предсказания СЃ помощью приближенных методов РІ рамках теории возмущений.

4.В Эти диаграммы являются струйными вариантами так называемых диаграмм Фейнмана, предложенных Ричардом Фейнманом для вычислений РїРѕ теории возмущений РІ квантовой теории поля точечных частиц.

5.В Точнее, каждая пара виртуальных струн, С‚. Рµ. каждая петля конкретной диаграммы, РїСЂРёРІРѕРґРёС‚ (наряду СЃ РґСЂСѓРіРёРјРё более сложными слагаемыми) Рє мультипликативному вкладу, пропорциональному константе СЃРІСЏР·Рё струны. Чем больше петель, тем выше показатель степени константы СЃРІСЏР·Рё струны РІ ответе. Если константа СЃРІСЏР·Рё струны меньше 1, повторные умножения сделают вклад следующих петель меньше, РІ противном случае эти вклады Р±СѓРґСѓС‚ того же РїРѕСЂСЏРґРєР° или Р±СѓРґСѓС‚ растут СЃ числом петель.

6.В Для читателя, осведомленного РІ математике, отметим, что РІ силу этого уравнения пространство-время должно иметь Риччи-плоскую метрику. Если разбить пространство-время РЅР° РїСЂСЏРјРѕРµ произведение четырехмерного пространства РњРёРЅРєРѕРІСЃРєРѕРіРѕ Рё шестимерного компактного кэлерова РјРЅРѕРіРѕРѕР±СЂР°-

Р·РёСЏ, то обращение РІ нуль РєСЂРёРІРёР·РЅС‹ Риччи будет эквивалентно требованию того, что кэлерово многообразие должно быть многообразием Калаби— РЇСѓ. Р’РѕС‚ почему многообразия Калаби—Яу так важны РІ теории струн.

7.ВВВ Разумеется, ничто РЅРµ гарантирует правомочность таких косвенных РїРѕРґС…РѕРґРѕРІ. Например, некоторые лица несимметричны, Р° РІ физике РјРѕРіСѓС‚ быть законы, разные РІ далеко удаленных частях Вселенной (это вкратце обсуждается РІ главе 14).

8.В Для знающего читателя должно быть СЏСЃРЅРѕ, что для справедливости этих утверждений потребуется так называемая N = 2 суперсимметрия.

9.В Более точно, если обозначить константу СЃРІСЏР·Рё Рћ-гетеротической струны символом , Р° константу СЃРІСЏР·Рё струны типа I символом , то соотношение между константами, для которых состояния РІ данных физических теориях эквивалентны, имеет РІРёРґ . Если РѕРґРЅР° РёР· констант СЃРІСЏР·Рё мала, то другая константа велика, Рё наоборот.

10.В Это близкий аналог рассмотренной выше (R, 1/R) дуальности. Если обозначить константу СЃРІСЏР·Рё струны типа IIР’ через , то кажется правдоподобной гипотеза, что значения констант ВРїСЂРёРІРѕРґСЏС‚ Рє одинаковым физическим результатам. Если

Вмало, Рё наоборот.

11.В Если свернуты РІСЃРµ измерения, РєСЂРѕРјРµ четырех, то РІ теории СЃ двенадцатью измерениями Рё более обязательно РІРѕР·РЅРёРєРЅСѓС‚ безмассовые частицы СЃРѕ СЃРїРёРёРѕРј, большим 2, что неприемлемо РЅРё СЃ теоретической, РЅРё СЃ экспериментальной точек зрения.

12.В Заметным исключением явилась важная работа 1987 Рі. Даффа, Поля РҐРѕСѓРІР°, Такео Ииами Рё Келлога Стелле, РІ которой более ранние наблюдения Р­СЂРёРєР° Бергшоеффа, Р­СЂРіРёРЅР° Сезгина Рё Таунсенда использовались для обоснования того, что десятимерная теория струн может иметь глубокую СЃРІСЏР·СЊ СЃ 11-мерной теорией.

13.В Более точно, эту диаграмму следует интерпретировать РІ том смысле, что Сѓ нас есть единственная теория, которая зависит РѕС‚ нескольких параметров. Р’ число этих параметров РІС…РѕРґСЏС‚ константы СЃРІСЏР·Рё, Р° также геометрические размеры Рё форма. Р’ принципе теорию можно использовать для вычисления определенных значений всех этих параметров, РЅРѕ РІ настоящий момент неясно, как выполнить такие расчеты. Поэтому, чтобы лучше разобраться РІ этой теории, физики исследуют ее свойства РїСЂРё всевозможных значениях параметров. Если параметры выбираются РІ любой РёР· шести полуостровных частей СЂРёСЃ.12.11, свойства теории Р±СѓРґСѓС‚ наследоваться РѕРґРЅРѕР№ РёР· пяти теорий струи или 11 -мерной супергравитацией, как отмечено РЅР° СЂРёСЃСѓРЅРєРµ. Если параметры выбираются РІ центральной части, физическими законами будет управлять РІСЃРµ еще мистическая Рњ-теория.

14.В Следует отметить, однако, что даже РІ полуостровных областях существует СЂСЏРґ экзотических типов влияния бран РЅР° обычную физику. Например, высказывалось предположение, что три наших протяженных измерения могут сами быть РєСЂСѓРїРЅРѕР№