Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции.
О статистической взаимосвязи говорят, что она существует или отсутствует, имеет направление и характеризуется силой.
Если в результате исследования нулевая гипотеза не отвергается, то «взаимосвязи нет» . В случае, когда нулевая гипотеза отклоняется говорят о существовании связи исследуемых случайных величин.
1. Сформулируем гипотезы H0 и H1:
H0: r =0 (корреляции нет),
H1: r 0.
2. 
Зададим уровень значимости .
3. Статистика критерия
Где t-статистика, имеющая распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы.
5. При t t,n-2 , H0 отвергается. Это значит, что между параметрами существует значимая корреляция.
При t< t,n-2 , H0 принимается.
Пример 1.Результаты измерения величин 
и 
даны в таблице
| -2 | ||||
| 0,5 | 1,5 |
Предполагая, что между и существует линейная зависимость 
, способом наименьших квадратов определить коэффициенты 
и 
.
Решение.Здесь n=5
и нормальная система (*) имеет вид 
Решая эту систему, получим: 
.
Поэтому 
.
Пример 2.Имеется выборка из 10 наблюдений роста в см. отцов ( ) и их взрослых сыновей ( ).
|
| ||||||||||
|
|
Требуется найти выборочное уравнение регрессии на . Построить выборочную линию регрессии на .
Решение.1. Проведем упорядочивание данных по значениям и 
. Получаем новую таблицу:
|
| ||||||||||
|
|
2. Для упрощения вычислений составим расчетную таблицу, в которую занесем необходимые численные значения.
|
|
| 
| 
|
| 27 889 | 28 223 | ||
| 28 561 | 28 899 | ||
| 28 900 | 28 220 | ||
| 28 900 | 29 240 | ||
| 29 584 | 30 960 | ||
| 29 929 | 30 448 | ||
| 30 276 | 30 798 | ||
| 30 625 | 31 850 | ||
| 32 041 | 32 578 | ||
| 32 400 | 33 480 | ||
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
Согласно формуле (2), вычисляем коэффициента регрессии,
,
апо формуле (3)
.
Таким образом, выборочное уравнение регрессии имеет вид
.
 |
Нанесем на координатной плоскости точки (
) и отметим прямую регрессии.
|
На рис.4 видно, как располагаются наблюдаемые значения относительно линии регрессии. Для численной оценки отклонений от 
, где 
наблюдаемые, а 
определяемые регрессией значения, составим таблицу:
|
|
| 
| -
|
| 168,055 | -0,945 | ||
| 170,778 | -0,222 | ||
| 172,140 | 6,140 | ||
| 172,140 | 0,140 | ||
| 174,863 | -5,137 | ||
| 176,225 | 0,225 | ||
| 177,587 | 0,587 | ||
| 178,949 | -3,051 | ||
| 184,395 | 2,395 | ||
| 185,757 | -0,243 |
Значения вычислены согласно уравнению регрессии.
Заметное отклонение некоторых наблюдаемых значений от линии регрессии объясняется малым числом наблюдений. При исследовании степени линейной зависимости от число наблюдений учитывается. Сила зависимости определяется величиной коэффициента корреляции.
Пример 3.Вычислить коэффициент корреляции между показателями охвата населения прививками Х (%) и заболеваемостью брюшным тифом (в %). Проверить значимость полученного результата при уровне значимости 
.
| Районы | A | B | C | D | E | F | G | H | I |
| X | 14,7 | 13,4 | 9,6 | 8,1 | 5,5 | 5,2 | 4,4 | 4,4 | 4,0 |
| Y | 1,4 | 1,4 | 2,3 | 2,1 | 6,2 | 6,9 | 8,6 | 10,8 | 11,0 |
Решение.
Итак,
.
Проверим значимость полученного результата:
По формуле (6) найдем экспериментальное значение критерия
По таблице приложения 2 при уровне значимости и числе степеней свободы 
находим соответствующее критическое значение 
.
Мы получили значение 
, оно больше критического 
, следовательно, мы отвергаем гипотезу о незначимости коэффициента корреляции, следовательно, между показателями охвата населения прививками и заболеваемости брюшным тифом существует значимая корреляционная связь. Причем поскольку 
мы можем утверждать, что между этими показателями существует сильная обратная корреляция, т.е., чем больше население охвачено прививками, тем меньше показатель заболеваемости брюшным тифом.
Задания.
1. У окуня озера Баторино измерены длина головы Х и длина грудного плавника У:
Х 66 61 67 73 51 59 48 47 58 44 41 54 52 47 51 45
У 38 31 36 43 29 33 28 25 36 26 21 30 28 27 28 26
Проведите корреляционно-регрессионный анализ полученных данных.
2. Надо было установить, есть ли корреляция между высотой головы Х
и длиной 3-го членика усика У у Drosophila funebris. Для этого с ромощью окуляр-микрометра получены следующие данные по Х и У (в делениях окуляр-микрометра):
Х 15 16 15 16 17 18 17 17 15 16 15 17 13 14 17 16 15 16 16 15 18 17 14 15
У 29 31 33 32 33 36 35 35 35 33 31 35 30 31 35 33 32 33 33 30 34 34 31 33
Проведите корреляционно-регрессионный анализ полученных данных.
Литература.
1. Ю.В. Морозов. Основы высшей математики и статистики, М., «Медицина», 2001г.
2. И.В. Павлушков и др. Основы высшей математики и математической статистики, М., Издательский дом ГЭОТАР-МЕД, 2003г.
3. В.Е. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика М., «Высшая школа», 2003г.
4. В.Е. Гмурман Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики, М., «Высшая школа», 2003г.