Критерий положительной определённости квадратичной формы

Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры её матрицы были положительны.


1. «Необходимо.» Имеется положительно определённая квадратичная форма. j-ый диагональный элемент положителен, так как k(x)>0 в том числе и для вектора со всеми нулевыми координатами, кроме j-ой. При приведении матрицы к каноническому виду не будет нужно переставлять строки, и знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях), у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

2. «Достаточно.» Имеется положительность миноров. Первый минор определяет знак первого диагонального элемента в каноническом виде. Знак отношения Mi+1/Mi определяет знак i+1-ого элемента в диагональном виде. Так получим, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.[1]

 

Лямбда-матрица (-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени , и нет элементов матрицы степени большей чем , то — степень -матрицы.

Используя обычные операции над матрицами любую -матрицу можно представить в виде:

В случае если определитель матрицы отличен от нуля, -матрица называется регулярной.

Аннулирующий многочлен для матрицы — многочлен, значение которого для данной квадратной матрицы равно нулевой матрице. Теорема Гамильтона-Кэли утверждает, что значение характеристического многочлена для квадратной матрицы равно нулевой матрице, а значит для каждой квадратной матрицы существует, по крайней мере, один аннулирующий многочлен степени, совпадающей с порядком матрицы.

Теорема Гамильтона — Кэли — известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли.

  Теорема Гамильтона — Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Если — квадратная матрица и её характеристический многочлен, то .  

Непосредственная проверка оправдывает это утверждение для матрицы порядка 2:

Характеристический многочлен

тогда

  • Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена.
  • Теорема Гамильтона — Кэли эквивалентна утверждению, что характеристический многочлен делится без остатка на минимальный многочлен.

 

Рассмотрим присоединённую (союзную) -матрицу , где — единичная матрица, тогда согласно определению присоединённой матрицы

Это означает, что -матрица делится без остатка на , а значит, согласно следствию из теоремы Безу для -матриц , и следовательно .