Анализ нтижелеріні дрыстыы, жинатылыы, айталанымдылыы, длдігі, орта мн жне стандартты ауыту

Дрысты – анализ лшеулеріні сапасы, оларды нтиже­леріндегі жйелі атені нлге жаындыын бейнелейді. Дрыстыты санды баалануы ретінде D = – х_аи есептеледі, немесе, жеке нтиже шін:

 

D = х_і – х_аи

х_аи (аиат мн) дегеніміз, «айсы-бір шаманы сапалы жне санды жаынан млтіксіз сипаттайтын мн». Шартты аиат мн дегеніміз, «лшенетін шаманы эксперименттік жолмен алынан жне аиат мнге соншалыты жаын боландытан, ала ойылан лшеу масатында аиат мн орнына олданыла алатын наты мні».

лшеу нтижелеріні жинатылыы (састыы) дегеніміз – бірдей жадайда (бір ана аналитикті орындауында, бір ана аспапты, реактивті, матрицаны, ортаны кмегімен ана, уаытты аз аралыында) жасалан лшеулер нтижелеріні бір-біріне жаындыын крсететін лшеу сапасы.

лшеулерді айталанымдылыы дегеніміз – ртрлі жадайда (ртрлі уаытта, ртрлі орындарда, ртрлі дістер мен ралдардарды кмегімен) орындалан лшеулерді нтижелеріні бір-біріне жаындыын крсететін лшеулер сапасы.

лшеулерді длдігі деп лшеулер нтижелеріні аны­талатын шамасыны аиат мніне жаындыын крсететін лшеулерді сапасын айтады. Длдік жоары болса, оан сйкес ате де, яни жйелік атеде, кездейсо атеде аз болады. Длдік термині, детте, жалпылаушы термин ретінде олданылады, ол жйелі ателерді жойылуын немесе есепке алынуын жне кездейсо ателерді азаюын бейнелейді: нерлым жалпы ате аз болса, сорлым длдік жоары болады.

Анализді компонентті аиат мніне те жаын болатын жне оны алмастыра алатын нтижесін шынайы дл млшер деп атайды.

лшелінген шаманы математикалы статистика бойынша нерлым дрыс жне мейлінше ммкін болатын (ытимал) мнін оны математикалы ктімі береді. Математикалы ктім n дискретті лшемдер сериясы шін мына тедеумен лшенеді:

(2.1)

бндаы, x_{i –} i- ші лшеу нтижесі; P_i – оны ытималдыы.

Те нктелік (длдігі бірдей) лшемдер жадайында

жне (2.1) мынадай тедікке кшеді:

.

 

Демек те нктелік лшемдер кезінде математикалы кту арифметикалы орташа ымымен сйкес келеді.

x_i мндеріні арифметикалы орташа шамадан ауытулары квадраттарыны осындысы, x_i мндеріні кез келген баса шамадан ауытулары квадраттарыны осындысынан кіші болады, яни мына шексіздік орындалады:

 

бндаы a .

Орташа арифметикалы шама мен математикалы болжамны бір-бірімен сйкес келуі гипотетикалы бас жиынтыа жатады, яни осы жадайдаы ммкін болатын лшемдер жиынтыын райды. Осы лшемдерді арифме­тикалы орта мні басты орташа мн деп аталады. Аналитикалы химияда параллельді анытаулар детте кп болмайды жне алынан нтижелерді жиынтыы тадалан жиынты немесе кездейсо жиынты деп, ал кездейсо тадалан нтижені орташа мні – тадалан орташа деп аталады.

Кездейсо тадау кезінде лшемдер саныны згеруінен орташа арифметикалы шаманы згеруі де ммкін екендігі белгілі. Біра ол математикалы болжамнан кп згере оймайды, соан жуы болады. Тадау клемі ке болан сайын орташа арифметикалы шаманы мні математикалы болжама жаындай тседі.

Статистикалы анализ дісі бойынша кездейсо тадаулар нтижесіне сйене отырып, бас жиынты параметрін баалауа жне сол арылы сынамадаы компонентті мейлінше ытималды мнін табуа болады.

Егер сынамадаы компонентті бір діспен параллельді анытаулар нтижесі x₁,x₂, …,x_n – болса, онда оларды орташа арифметикалы мні мынаан те болады:

(2.2)

Мысалы, алайыны оладаы млшерін оны тиомочевинамен комплексі трінде фотометриялы діспен трт параллельді анытау бойынша нтижесі мынадай болса (_Sn%):4,80; 4,65; 4,84; 4,61. (2.2) тедеуіне сйкес арифметикалы орташаны мні тмендегідей болады:

 

.

Есептеу олайлы болу шін детте санаты бастамасын ммкін болатын мнге ыыстырады жне есептеуде мына тедеуді олданады:

,

бндаы А – еркін тадалан мн, санаты бастамасы осы мнге ыыстырылады.

Мысал шін А=4,60 те деп алып, есептейміз:

 

 

Геометриялы орташа мн арифметикалы мннен тмен болады. Бл тсіл дгелектеуге байланысты пайда болатын атені болдырмау масатында олданылады. Кейбір жадайларда студенттер компьютер немесе микрокалькулятор­лар кмегімен есептеу барысында тірден кейінгі сандарды тгел жазып алады. Алайда олай істеуге болмайды. йткені тірден кейінгі сандар анализді длдігін сипаттамайды. Орташа мнді есептеу барысында жне аралы есептеулерде тірден кейін бастапыда слынан нтижелерден бір ана табаа арты болатын сандарды ескерген дрыс. Соы нтижені ана дгелектеп алуа болады. Дгелектеуді арнайы ережеге сйкес жзеге асырады.

Анализді жекелеген нтижелері x₁, x₂, , ..., x_і x_min - нан x_max – а дейінгі белгілі бір аралыына таралады.

Бл аралыты рсат етілген айырмашылы (лаш – R) деп атайды. Рсат етілген айырмышылы та аналитикалы баылауды немесе оны сатыларыны дрыстыын тексеруге арналан негізгі метрологиялы сипаттамаларды атарына жатады.

Жеке нтиже мен орташа мнні арасындаы айырма­шылыты кездейсо ауыту немесе жеке ауыту не болмаса жй ауыту d деп атайды:

.

 

Кездейсо шаманы орташа мнмен салыстырандаы таралуы дисперсиямен сипатталады:

 

(2.3)

 

бндаы f=n-1 бос дреже саны, ол туелсіз лшеулер санымен аныталады.

Дисперсияны ателер теориясы шін маызды асиеттеріні бірін мына тедеу крсетеді:

 

, (2.4)

 

яни, кездейсо шамаларды дисперсиясы оларды райсысыны дисперсиясыны осындысына те болады. Бл, айталы, кездейсо шамаларды осындысындаы ателерді есептегенде оларды дисперсиясын ескерген дрыс деген сз.

Алайда нтижелерді таралуыны санды сипаттамалары шін дисперсияны олдану ммкін емес, йткені оларды лшемдері анализ нтижесіні лшемдерімен сйкес келмейді. Таралуды сипаттау шін стандартты ауытуды олданады:

 

. (2.5)

Бл мнді орташа квадратты (немесе квадратты) ауыту немесе жеке нтижені орташа квадратты атесі деп атайды. Оны мына тедеумен есептеуге болады:

 

.(2.6)

 

Осылайша, анализ нтижесін деу кезінде детте басты орташаны -ді емес, орташа тадамалыны , тадамалы стандартты ауытуды емес тадамалы дисперсияны, ² –ты емес басты жинатылыты сипаттайтын –ны анытайды. Дегенмен кездейсо тадауларды нтижесі басты жинатылыты параметрін анытауа ммкіндік береді.

айталанымдылыты баалау шін орта мнні тадамалы дисперсиясын

(2.7)

 

жне стандартты ауытуды немесе орташа нтижені орташа квадратты атесін есептейді:

 

(2.8)

 

2.5 – тедеуіндегі квадраттар осындысын былайша трлен­діруге болады:

 

Осыан 2.2 атынасын ойса, онда:

 

.(2.9)

Немесе ысартып жазса:

 

(2.10)

 

2.10 – тедігі арапайым жне алашында практикалы есептеулер шін олайлы сияты крінеді. Алайда бл тедеу бойынша есептегенде екі лкен мнні арасындаы айырмашылы аз сияты крінеді де, сйтіп анализді длдігі брмаланады. Бл сіресе арапайым дгелектеу жолымен алынан табасы бірнеше сана ысаран мндерін олдананда байалады. 2.9 тедеуінде дгелектенетін мндер жо, сондытан екі лкен мнні арасындаы айырмашылы эффектісі оншалыты байалмайды. Сондытан да практикалы есептеулерде 2.9 тедеуін олданан тиімді болады. Бл кезде дисперсияны есептеуге арналан тедік мынадай трге ие болады

(2.11)

жне стандартты ауытуды келесі тедеумен есептеуге болады:

(2.12)

Орташа мнді, дисперсияны жне орташа нтижені стандартты ауытуын есептесек (йманы рамындаы Pb-ды анытаандаы (%)): 14,50; 14,43; 14,54; 14,45; 14,44; 14,52; 14,58; 14,40; 14,49.

2.3 – тедігі бойынша А=14,50 боланда

 

2.5 – тедігіне сйкес дисперсия мынаан те болады:

 

2.11 – тедігі бойынша S² – санды мні мынаан те:

Бл бан дейін есептелген нтижелермен сйкес келеді жне квадратты алмай трып, ( ) табуды ажет етпейді.

2.10 – тедеуін олдананда S² орташа арифметикалы мні дгелектеуге байланысты згереді:

; ( =14,483 боланда);

( =14,4833 боланда);

( =14,48333 боланда);

 

( =14,483333 боланда).

 

Келтірілген нтижелерден дисперсияны осы жадайдаы шынайы мні тек орташа арифметикалы мнді, яни тірден кейін 6 санды аланда ана дрыс болатынын круге болады, сондытан 2.10 тедігін олданып жргізілетін есептеулерге араанда 2.9 тедігін олданан дрыс сияты. Стандартты ауытуды (квадратты атені) 2.5 – тедігі арылы есептейді:

 

жне 2.8 – тедігі бойынша орташа нтижені стандартты ауытуын аныталады:

Микрокалькуляторларды айсыбірінде, мысалы «Электроника МК-51» статистикалы есептеу режимі арастырылан. Олар x_i², , S жне x_i шамасын енгізу арылы алынатын баса да мндерді алуа болады.

 

Алыпты таралу

Экспериментальды нтижелерді талдай отырып, кіші ателермен салыстыранда мні лкен болатын ателерді аз болатындыын байауа болады. Сонымен атар, байаулар санын арттыран сайын табалары ртрлі жне мндері бірдей ателер жиі кездеседі. Осы жне бдан да баса кездейсо ателерді асиеттері алыпты таралумен немесе Гаусс тедігімен рнектеледі:

(2.13)

бндаы – ытималдылы жиілігі;

x – кездейсо шаманы мні;

– басты орташа (математикалы ктім);

– дисперсия.

2.4 – суретте аудандары бірдей болатын алыпты таралу исыы берілген. Суреттен стандартты ауыту (дисперсия) лкен болан сайын, исыты жалпа десті болатынын круге болады. жне шамалары таралу параметрлері деп аталады. Ытималдылы жиілігі (2.13) тедеуімен рнектеледі.

 

 

Y(x)           x

 

 

2.4-сурет. ртрлі орташа

квадратты ателіктер

кезіндегі алыпты таралу

исытары

 

 

коэффициентін тадаанда кездейсо x мніні интервалына тсу ытималдыы бірге те болатындай мнін алады.

 

(2.14)

 

мен – ны кез-келген мнінде 2.13 тедеуі исыымен жне абсцисса сімен шектелетін аудан бірге те болады. Егер x₁ жне x₂ мндерін ордината сіне салса, онда кездейсо x шамасыны x₁<x<x₂ интервалына тсу ытималдыы тмендегідей

.

Есептеулер нтижесі (2.14) тедеуі бойынша – – дан + – а дейінгі интегралы 68,3% – ауданын райды, 2 аралыында ол 95%, ал 3 аралыында интеграл таралу исыы жне абсцисса сімен шектелетін ауданды тгел алады (99,7%). (2.14) тедеуі бойынша интеграл х_{і –} нтижесіні пайда болу ытималдыы Р-ны xk (x – k – дан x + k – а дейінгі) ауданда болатынын крсетеді. Ытималдылыты бл аралы­ын сенімді ытималдылы немесе статистикалы сенімділік деп атайды, – k- дан + k-а дейінгі интервалды сенімді интервал, ал интервал шекарасын – сенімді шекара дейді. Осылайша, – – дан + – а дейінгі аралытаы нтижені алуды сенімді ытималдыы 68,3% болады, яни бл аралыта барлы нтижелерді 2/3 орналасады. 2 аралыында мндерді 95% орналасады, ал 3 ауданында 99,7%, яни нтижелерді барлыы дерлік осы аралыта болады. Интегралдау аралыынан тыс болатын нтиже алу ытималдыы -мен аныталады:

Бл шаманы мндер ытималдыыны дегейі деп атайды. алыпты таралуа негізделген ателерді классикалы теориясы астрономияда, геодезияда жне т.б. бір мнні кп нтижесі алынатын есептеулерде ке трде олданылады. Алайда бл тсіл заттар анализіні нтижесін деуде тиімді болмай шыты, йткені ол нтижені тмендеуіне келіп соты. Сондытан атені анытауды е тиімді жне дрыс тсілі ретінде t- таралу, яни Стьюдент таралу тсілін айтуа болады. Бл аз шамаларды статистикалы деу болып табылады.

T- таралу

Тадалан дисперсияны басты дисперсияа жаындатылу дрежесі бос дреже санына f байланысты болады, оны мына тедікпен анытайды:

f=n-1

бндаы n – лшеулер саны, ол параллельді сынамалара те болады.

Бос дрежелер саны нерлым кіші болан сайын, сорлым тадамалы дисперсияны S² басты дисперсияны ² сенімді сипаттамасы болу ммкіндігі тмен. алыпты таралу кезінде кіші ателерге араанда лкен ателерді пайда болу ытималдыы тмен. Сондытан параллельді сынамалар санын азайтанда лкен ателерді пайда болу ытималдыы да тмендейді. Бны ескермеген жадайда атені мні тмендеп, наты дрыс мн алу ммкін болмайды. Анытаулар (параллельді сынамалар) санымен байланысты сенімсіздік Стьюдентті t-таралуы арылы ескеріледі. алыпты таралуа араанда Стьюдентті t-таралуында кіші ателерден грі лкен ателерді пайда болу ммкіндігі кбірек деп арастырылады.

алыпты таралу сияты t-таралуда симметриялы жне оны да максимумы абсциссаны алыпты таралудаыдай мнінде болады. Алайда t-таралудаы биіктігі мен ені сияты сипаттамалары бос дреже санына, яни лшемдер санына байланысты болады (2.5-сурет).

Y(х)

x

 

 

2.5-сурет. Таралу исыы.

1- ; 2- 3-

 

 

2.5- суреттен бос дреже саны азайан сайын исыты аласарып, абсцисса осіне жаындай тсетінін круге болады.t-таралу алыпты таралуа ауысады. Бл айырмашылы боланда азайып, білінбей кетеді.

Егер алыпты таралу жадайында лшемдер саны кп боланда 2 сенімді аралыында сенімді ытималды 95% болса, онда лшемдер саны аз боланда сенімді ытималдыты берілген мні мынадай сенімді аралыта іске асады: . Бндаы -Стьюдент коэффициенті, ол алыпты таралудаы, t-таралудаы жне берілген Р-даы айырмашылыты ескереді.

t- ны индексі Р бос дрежені белгілі f мніндегі ытималдыты крсетеді. 2.4- кестеде Р мен f -ті ртрлі мндеріндегі Стьюдент коэффициенттері берілген.

 

2.4- кесте

Стьюдент коэффициенттері (t _{p, f})

f	P
0,75	0,90	0,95	0,98	0,99
	2,41	6,31	12,71	31,82	63,66
	1,60	2,92	4,30	6,97	9,92
	1,42	2,35	3,18	4,54	5,84
	1,34	2,13	2,78	3,75	4,60
	1,30	2,01	2,57	3,37	4,03
	1,27	1,94	2,45	3,14	3,71
	1,25	1,89	2,36	3,00	3,50
	1,24	1,86	2,31	2,90	3,36
	1,23	1,83	2,26	2,82	3,25
	1,22	1,81	2,23	2,76	3,17
	1,21	1,80	2,20	2,72	3,11
	1,21	1,78	2,18	2,68	3,05
	1,20	1,77	2,16	2,65	3,01
	1,20	1,76	2,14	2,62	2,98
	1,20	1,75	2,13	2,60	2,95
	1,19	1,75	2,12	2,58	2,92
	1,19	1,74	2,11	2,57	2,90
	1,19	1,73	2,10	2,55	2,88
	1,19	1,73	2,09	2,54	2,86
	1,18	1,73	2,09	2,53	2,85
	1,17	1,70	2,04	2,46	2,75
	1,17	1,68	2,02	2,42	2,70
	1,16	1,67	2,00	2,39	2,66
	1,16	1,66	1,98	2,36	2,62
¥	1,15	1,64	1,96	2,33	2,58

 

f – тіаз мнінде алыпты таралу мен t-таралуды арасындаы айырмашылы айтарлытай болады, мысалы, f=3 жне Р=95% t_p,f =3,18, ал оны алыпты таралудаы мні 2 болады. Орташа арифметикалы шаманы ммкін болатын салыстырмалы атесін (салыстырмалы ауытуды) мына тедеумен анытайды:

 

Берілген сенімді Р ытималдытаы сенімді аралы мынаан те:

(2.15)

егер

(2.16)

бндаы берілген сенімді Р ытималдытаы жне бос дрежені f санындаы анализді мейлінше ытимал атесі.

Наты мн, немесе басты орташа, пен арасында орналасады, бл аралы сенімді шекара деп аталады. Бл аралытан тыс нтиже алу ытималдыыны аупі бірден згеше (1-Р), сенімді аралыты сенімді ытималдыпен сипаттайды жне оны да бос дреже саны сияты крсету міндетті. Анализ нтижесіні сенімді интервалын детте 95% – ды сенімді ытималдыпен есептейді.

(2.15) тедеуінен анытаулар саны n нерлым кп болан сайын, сорлым берілген сенімді ытималдытаы сенімді аралы кішкентай болады, яни анализді длдігі де сорлым жоары болады. Мысалы, 95% – ды сенімді ытималдыта екі параллельді анытаулар шін сенімді арлы (2.16) тедеуіне сйкес , ш анытау шін , трт анытау шінжне бес анытау шін

Осыдан, сенімді аралыа жне атені азайтуа мейлінше тиімді сер ететін параллельді анытаулар саны 4-5 –ке дейін ана, параллельді анытаулар санын одан рі сіруді оншалыты сері байалмайды. Сондытан трттен кп параллельді анытауларды тек арнайы жадайларда ана, мысалы, кейбір арбитражды анализдерде ана жзеге асырады.