Выбор функциональной зависимости
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Имени Н. Э. Баумана
Лабораторная работа №1
по курсу:
«Математические методы в литейном производстве».
Построение и анализэмпирической математической модели
Вариант №17
Студентка: Широкова Н. В.
Группа: МТ5-102
Преподаватель: Вербицкий В.И.
г. Москва
2010 г.
1. Теоретическая часть- 3
2. Практическая часть- 4
2.1. Выбор функциональной зависимости- 5
2.2. Определение параметров модели- 6
2.3. Статический анализ эмпирической модели- 7
3. Выводы. 8
Цель работы- овладение методами выбора, построения и анализа эмпирических математических моделей литейных процессов; закрепление навыков работы с ЭВМ.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Теоретическая часть
Геометрически задача построения эмпирической формулы состоит в проведении кривой возможно "ближе" примыкающей к системе точек (xi,yi) (рис.1.1). В такой постановке задача весьма неопределенна: ведь класс возможных функций f(x) весьма велик. Поэтому на практике обычно ограничиваются достаточно узким классом функций, например, линейными, степенными, показательными и т.д.
Построение эмпирической модели слагается из следующих этапов:
· выбора формы функциональной зависимости;
· определения ее наилучших параметров;
· статистического анализа полученной математической модели
Выбор вида эмпирической модели производят следующим образом:
Используя данные эксперимента для крайних точек (x1,y1) и (xn,yn), по таблице 1 определяют xs и ys для всех семи зависимостей.
Особенностью моделей 1—7 является то, что с помощью элементарных преобразований все они могут быть сведены к линейной зависимости.
После выбора типа эмпирической модели определяют ее параметры. В нашем случае коэффициенты a и b. Мощным методом, позволяющим: получить наилучшие значения коэффициентов а и b, является метод наименьших квадратов. Поскольку все модели типа 1-7 с помощью соответствующих преобразований могут быть сведены к линейной модели (см. табл.1), то метод наименьших квадратов рассмотрим на примере получения линейной зависимости:
Y=Ax+B
Таблица 1
| Тип модели | xs | ys | Уравнение | Преобразование к линейной модели Y=AX+B |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
|
|
| 
| 
| |
|
| 
| 
| |
|
| 
| 
| 
| |
|
|
| 
| 
| |
|
|
| 
| 
|
Практическая часть
Вариант 17
В данной работе необходимо провести эмпирическое построение формулы для определения зависимости плотности песчаной смеси от ее газопроницаемости:
=f(Г), [Г]=ед., []=кг/м3.
В ходе проведения эксперимента были получены следующие значения:
| i | Г | |||
Для обработки полученных значений используются следующие прогаммы:
§ ONIPRO.
§ MS Office2007 (Excel).
Выбор функциональной зависимости
После ввода данных в программу ONIPRO:
где Р – число измерений переменной Y при фиксированном значении X=Xi,
а среднее значение переменной Y в серии параллельных опытов,
.
Пользуясь таблицей 1 и уравнением 
определим критерий для выбора эмпирической модели.
| Тип модели | xS | yS | yÙS | 
|
| 1404,16667 | 1336,66667 | 67,5 | ||
| 1389,97002 | 1423,33333 | 33,3633097 | ||
| 1389,97002 | 1336,66667 | 53,303357 | ||
| 1404,16667 | 1531,33333 | 127,166667 | ||
| 1375,91691 | 1336,66667 | 39,2502473 | ||
| 1375,91691 | 1531,33333 | 155,416419 | ||
| 1404,16667 | 1423,33333 | 19,1666667 |
По результатам сравнения выбирается такая эмпирическая модель, для которой величинаминимальна.
Минимальное значение =19,1666667 для седьмого типа модели, описываемого уравнением: y = a*lgx+b . Преобразуем данную модель к линейной, вводя новые переменные (см. табл.1). В этих переменных модель будет линейной:
– связь между параметрами.
В результате получим преобразованные исходные данные:
