Решение систем линейных уравнений итерационными методами

Нахождение корней нелинейных уравнений

В таблице 1 даны варианты заданий алгебраических уравнений вида f(x)=0 (уравнение 1) и трансцендентных уравнений (уравнение 2).

Таблица 1

№ варианта	Уравнение 1	Уравнение 2
	х³ – 3х² + 9х – 8=0	x – sin x=0,25
	х³ –6х – 8=0	tg(0,58x + 0,1)=x²
	х³ – 3х² + 6х +3=0	Öx – cos(0,387x)=0
	х³ – 0,1х² + 0,4х – 1,5=0	tg(0,4x + 0,4)=x²
	х³ – 3х² + 9х +2=0	lg x – 7/(2x+6)=0
	х³ + х – 5=0	tg(0,5x + 0,2)=x²
	х³ +0,2х² + 0,5х – 1,2=0	3x-cosx – 1=0
	х³ + 3х + 1=0	x + lg x= 0,5
	х³ +0,2х² + 0,5х – 2=0	tg(0,5x + 0,1)=x²
	х³ – 3х² + 12х – 9 =0	x²+4sin x = 0
	х³ – 0,2х² + 0,3х – 1,2=0	ctg 1,05x – x²=0
	х³ – 3х² + 6х – 2=0	tg(0,4x + 0,3)=x²
	х³ – 0,1х² + 0,4х – 1,5=0	xlg x – 1,2=0
	х³ + 3х² + 6х – 1=0	1,8x² – sin 10x – 0,1=0
	х³ +0,1х² + 0,4х – 1,2=0	ctg x – x/4=0
	х³ +4х – 6=0	tg(0,3x + 0,4)=x²
	х³ + 0,2х² + 0,5х +0,8=0	x² – 20sin x + 1=0
	х³ – 3х² + 12х – 12=0	ctg x – x/3=0
	х³ – 0,2х² + 0,3х +1,2=0	tg(0,47x + 0,2)=x²
	х³ –2х +5=0	x² +4sin x =0

Требуется:

- Построить на ЭВМ графики функций y=f(x) для локализации корней (в Excel или Mathcad)

- Выбрать любой корень в каждом из уравнений (1) и (2)

- Самостоятельно определить промежуток для уточнения корня

- Вычислить выбранные корни разными методами

- Выяснить вид сходимости в методе итераций (монотонное или двухстороннее приближение к корню).

Рекомендация: если в методе итераций получается расхождение (не выполняется условие сходимости), выразите из уравнения f(x)=0 другое Х, например:

Пример выполнения.

Решить уравнения:

(1)

(2)

=19,07267; =86,59282; =-237,0059; =-1697,081;

с помощью методов: комбинированного, деления пополам, секущих, итераций.

Решение.

Построим графики исходных функций для определения интервалов нахождения корней.

Составим программу на языке Pascal в среде Delphi 7 для нахождения корней уравнений.

unit sss111;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, ExtCtrls;

type

TForm1 = class(TForm)

Image1: TImage;

procedure Image1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

const a1=19.07267; a2=86.59282;

a3=-237.0059; a4=-1697.081;

a=10; b=12;

var

Form1: TForm1;

x,x2,l,p,f,f2:real;

i:integer;

st:string;

implementation

{$R *.dfm}

function y(k:real):real;

begin

y:=2*ln(abs(k))-(k/2)+1;

end;

function yp(k:real):real;

begin

yp:=2/abs(k)-1/2;

end;

function yn(k:real):real;

begin

yn:=k*k*k*k+a1*k*k*k+a2*

sqr(k)+a3*k+a4;

end;

function ynp(k:real):real;

begin

ynp:=4*k*k*k+3*a1*sqr(k)+2*a2*k+a3;

end;

function w(k:real):real;

begin

w:=4*ln(abs(k))+2;

end;

function wn(k:real):real;

begin

wn:=(k*k*k*k+a1*k*k*k+a2*sqr(k)+a4)/-a3;

end;

procedure TForm1.Image1Click(Sender: TObject);

begin

with Image1.Canvas do

begin

x:=a;

x2:=b;

repeat

x:=x-(y(x)/(y(x2)-y(x)))*(x2-x);

x2:=x2-y(x2)/yp(x2);

until x2=x;

str(x:30:20,st);

textout(10,10,'Комбинированный метод:'+st);

x:=a;

x2:=b;

repeat

x2:=x;

x:=w(x);

until x2=x;

str(x:30:20,st);

textout(10,25,'Метод итераций:'+st);

x:=a;

x2:=b;

repeat

l:=(x+x2)/2;

p:=y(l);

if p=0 then

begin

str(l:30:20,st);

textout(10,40,'Метод половинного деления:'+st);

i:=1;

break;

end else

f:=y(x);

f2:=y(x2);

if f*p<0 then x2:=l

else x:=l;

until x2-x<=0.00000000001;

if i<>1 then begin

str(l:30:20,st);

textout(10,40,'Метод половинного деления:'+st); end;

x2:=b;

x:=x2-y(x2)/yp(x2);

i:=0;

repeat

if frac(i/2)=0 then begin if i=0 then

p:=x2 else p:=x; end;

x:=x-y(x)*(x-p)/(y(x)-y(p));

i:=i+1;

until x-x=0;

str(l:30:20,st);

textout(10,55,'Метод секущих:'+st);

end;

end.

Протокол.

Для уравнения (1) для первого и второго интервалов соответственно:

Для уравнения (2) для первого и второго интервалов соответственно:

Содержание отчета:

1. Графики функций,

2. увеличенный фрагмент графика для пояснения метода решения,

3. таблицы промежуточных значений (в таблицы заносятся изменение интервала [a;b], значения корней, функций и производных в нужных точках, абсолютные погрешности);

4. Относительные погрешности найденных корней Х и абсолютные погрешности функции (отличие от 0) в найденных точках;

5. Выводы.

Контрольные вопросы:

1. Перечислите методы отделения корней.

2. Метод половинного деления.

3. Метод хорд.

4. Метод касательных.

5. Упрощенный метод касательных.

6. Комбинированный метод хорд и касательных.

7. Метод секущих.

8. Метод итерации.

9. Что такое функция сжатия?

10. Скорость достижения требуемой точности в разных методах.

11. Надежность методов.

Лабораторная работа №2

Решение систем линейных уравнений итерационными методами

Решить СЛАУ методом итераций. Варианты заданий приведены в таблице 2:

Таблица 2

1). 3,5x₁ - 1,7x₂ + 2,8x₃ = 1,7 5,7x₁ + 3,3x₂ + 1,3x₃ = 2,1 2,1x₁ + 5,8x₂ + 2,8x₃ = 0,8	2). 2,1x₁ + 4,4x₂ + 1,8x₃ = 1,1 0,7x₁ - 2,8x₂ + 3,9x₃ = 0,7 4,2x₁ - 1,7x₂ + 1,3x₃ = 2,8
3). 3,1x₁ + 2,8x₂ + 1,9x₃ = 0, 1,9x₁ + 3,1x₂ + 2,1x₃ = 2,1 7,5x₁ + 3,8x₂ + 4,8x₃ = 5,6	4). 4,1x₁ + 5,7x₂ + 1,2x₃ = 5,8 0,8x₁ + 1,1x₂ - 2,8x₃ = 6,7 9,1x₁ - 3,6x₂ + 2,8x₃ = 9,8
5). 2,7x₁ - 0,8x₂ + 4,1x₃ = 3,2 1,1x₁ + 3,7x₂ + 1,8x₃ = 5,7 3,3x₁ + 2,1x₂ - 2,8x₃ = 0,8	6). 1,9x₁ + 1,1x₂ + 3,8x₃ = 7,8 7,6x₁ + 5,8x₂ - 4,7x₃ = 10,1 1,8x₁ - 4,1x₂ + 2,1x₃ = 9,7
7) 3,2x₁ - 8,5x₂ + 3,7x₃ = 6,5 0,5x₁ + 0,34x₂ +3,7x₃ = -0,24 4,6x₁ + 2,3x₂ - 1,5x₃ = 4,3.	8). 4,2x₁ + 6,7x₂ - 2,3x₃ = 2,7; 5,4x₁ - 2,3x₂ + 1,4x₃ = - 3,5; 3,4x₁ + 2,4x₂ + 7,4x₃ = 1,9.
9). 1,5x₁ + 4,5x₂ + 1,3x₃ = -1,7 2,7x₁ - 3,6x₂ + 6,9x₃ = 0,4 6,6x₁ + 1,8x₂ - 4,7x₃ = 3,8	10). 3,4x₁ - 3,6x₂ - 7,7x₃ = -2,4 5,6x₁ + 2,7x₂ - 1,7x₃ = 1,9 -3,8x₁ + 1,3x₂ +3,7x₃ = 1,2
11). -2,7x₁ + 0,9x₂ - 1,5x₃ = 3,5 3,5x₁ - 1,8x₂ + 6,7x₃ = 2,6 5,1x₁ + 2,7x₂ + 1,4x₃ = -0,1	12). 0,8x₁ + 7,4x₂ - 0,5x₃ = 6,4. 3,1x₁ - 0,6x₂ - 5,3x₃ = -1,5; 4,5x₁ - 2,5x₂ + 1,4x₃ = 2,5;
13). 5,4x₁ - 6,2x₂ - 0,5x₃ = 0,52 3,4x₁ + 2,3x₂ + 0,8x₃ = -0,8 2,4x₁ - 1,1x₂ + 3,8x₃ = 1,8	14). 3,8x₁ + 6,7x₂ + 2,2x₃ = 5,2 6,4x₁ + 1,3x₂ - 2,7x₃ = 3,8 -2,4x₁ - 4,5x₂ + 3,5x₃ = -0,6
15). -3,3x₁ + 1,1x₂ + 5,8x₃ = 2,3 7,8x₁ + 5,3x₂ + 1,8x₃ = 1,8 4,5x₁ + 3,3x₂ - 3,8x₃ = 3,4	16). 3,8x₁ + 7,1x₂ - 2,3x₃ = 4,8 -2,1x₁ + 3,9x₂ - 6,8x₃ = 3,3 8,8x₁ + 1,1x₂ - 2,1x₃ = 5,8
17). 1,7x₁ - 2,2x₂ - 4,0x₃ = 1,8 2,1x₁ + 1,9x₂ - 2,3x₃ = 2,8 4,2x₁ + 1,9x₂ - 0,1x₃ = 5,1	18). 2,8x₁ + 3,8x₂ – 8,2x₃ = 4,5 2,5x₁ - 7,8x₂ + 3,3x₃ = 7,1 6,5x₁ - 1,1x₂ + 4,8x₃ = 6,3
19). 2,3x₁ + 0,7x₂ + 4,2x₃ = 5,8 -2,7x₁ + 2,3x₂ - 2,9x₃ = 6,1 9,1x₁ + 4,8x₂ - 5,0x₃ = 7,0	20). 3,1x₁ + 6,8x₂ + 2,1x₃ = 7,0 -5,0x₁ - 4,8x₂ + 5,3x₃ = 6,1 8,2x₁ + 1,8x₂ + 5,1x₃ = 5,8

Пример выполнения

Дана СЛАУ:

-93х1-18х2-74х3=5

-14х1-96х2-72х3=-79

-73х1-83х2-92х3=-73

Решить СЛАУ методом итераций.

Решение.

Приведем систему к виду:

-93х1-18х2-74х3=5

-14х1-96х2-72х3=-79

-0.8125х1+12.1843х2+18.4205х3=-7.4535

Составим программу для решения СЛАУ.

uses crt;

label m1;

var

i,j,n,k,r:integer; s:real;

a:array [1..10,1..10] of real;

xc,xn,x:array [1..10] of real;

procedure q;

begin

for i:=1 to n do

begin

s:=0;

begin

for j:=1 to n do

begin

if j=i then continue;

s:=s-a[i,j]*x[j];

end;

x[i]:=(a[i,n+1]+s)/a[i,i];

xn[i]:=x[i];

x[i]:=xc[i];

end;

begin

clrscr;

write('Vvedi kol-vo ur-ij:');

readln(n);

writeln('Vvedi matricj A and B:');

for i:=1 to n+1 do

begin

if i=n+1 then writeln(' B') else

write('A',i:1,' ');

end;

for i:=1 to n do

begin

gotoxy(1,i+3);

for j:=1 to n+1 do

begin

readln(a[i,j]);

gotoxy(7*j,i+3);

end;

writeln;

k:=0; r:=0;

m1: k:=k+1;

repeat

begin

for i:=1 to n do

x[i]:=xc[i];

for i:=1 to n do

xc[i]:=xn[i];

for i:=1 to n do

writeln('x',i:1,'=',x[i]:8:4);

writeln(k:5);

writeln('For exit press "probel"');

if readkey=#13 then

goto m1 else break;

end;

until r=0;

end.

Лабораторная работа №3