Интерполяция функций многочленами

 

Задание.

 

По заданным точкам составить интерполяционный многочлен Лагранжа и преобразовать его в форму простого полинома.

Выполнить расчет промежуточных точек по полученной формуле с шагом (b-a)/25,

где а и b – крайние точки интервала.

Построить в Mathcad графики:

Заданной табличной функции (большие маркеры без линий);

Ломаной, соответствующей многочлену Лагранжа в вычисленных точках;

Плавной кривой полинома Лагранжа (строится на интервале по аналитической формуле без конкретных точек).

 

 

1.

х	0,99	3,69	4,13	6,07	7,35
у	22,48	26,25	44,67	8,83	56,18

2.

х	-5	-3
у	-4	-3	-2

3.

х
у	7,79	6,06	3,84	3,04	0,67	3,59

4.

х	6,22	7,71	9,05	18,59	22,21
у	14,79	8,18	17,49	21,89	23,28

5.

х	-100,00	-83,42	-80,51	-74,01	-72,27
у	98,68	148,68	180,23	59,63	68,72

6.

х	1,00	18,16	46,51	47,09	74,98
у	28,02	216,87	196,49	198,92	180,22

7.

х	-1,00	-0,53	0,39	0,86	1,86
у	28,02	216,87	405,72	594,57	783,43

8.

х	-5,00	-2,80	-1,09	-0,23	0,30
у	20,00	15,00	18,00	15,67	14,67

9.

х	2,29	3,05	5,70	6,67	7,66
у	3,27	8,52	12,07	31,04	20,47

10.

х	4,70	5,00	7,08	8,91	10,87
у	-2,22	-5,31	-22,93	-1,01	-75,57

11.

х	8,20	14,90	20,40	53,10	53,29
у	3,10	0,00	-2,30	6,90	14,70

12.

х	34,00	43,00	49,00	59,00	68,00	74,00
у	0,14	0,11	0,10	0,08	0,07	0,07

13.

х	1,00	5,00	11,00	16,00	21,00	27,00
у	6,59	1,68	14,51	16,59	11,61	37,62

14.

х	14,00	21,00	30,00	40,00	50,00	55,00
у	1,37	5,35	4,70	4,97	6,93	5,26

15.

х	0,10	1,05	1,55	2,43	2,81
у	0,31	22,84	12,66	30,30	25,07

16.

х
у	1,39	2,24	5,28	7,22	13,98	19,73

17.

х
у	1,39	3,90	10,00	84,45	597,94

18.

х
у	1,20	1,65	2,51	2,96	3,08	3,12

19.

х	-4	-2
у	3,00	0,00	-1,00	2,00	9,00	22,00

20.

х	-3	-1
у	5,00	3,00	0,00	-1,00	2,00	6,00

Пример выполнения

 

Выполним решение для варианта №8.

Расчеты проведем в среде Mathcad.

Составим интерполяционный полином Лагранжа.

 

Выполним расчет промежуточных точек по полученной формуле с шагом .

Построим графики.

 

 

Содержание отчета:

 

1. Графики функций и полиномов.

2. Выводы.

 

Контрольные вопросы:

1. Поясните термины: “интерполяция”, “экстраполяция”, “аппроксимация”.

2. Способы приближения функций.

3. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для 2-3 точек.

4. Составить интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов.

5. Составить интерполяционный многочлен Ньютона для неравноотстоящих узлов.

6. Формулы кусочно-квадратичной интерполяции.

 

 

Лабораторная работа №4

Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

 

1 Методом наименьших квадратов подобрать коэффициенты аппроксимирующей функции (по вариантам) и построить график аппроксимации с исходными точками.

2 Составить программу для выполнения задания, а также выполнить его в пакете Mathcad. Построить графики табличной функции (маркерами) и аппроксимирующей.

3 Найти все отклонения и среднеквадратическое отклонение аппроксимирующей функции от заданной табличной, заполнив таблицу:

 

xi	x1	x2	...	xn
yi	y2	y2	...	yn
Ф(xi)	Ф(x1)	Ф(x2)	...	Ф(xn)
Dyi			...

 

Среднеквадратическое отклонение:

 

 

М – математическое ожидание (среднее арифметическое)

 

Содержание отчета:

 

1. Вывод и решение системы для определения коэффициентов полинома.

2. Таблицы.

3. Графики функций и полиномов.

4. Выводы.

 

Контрольные вопросы:

1. Сравните полиномиальную интерполяцию табличной функции многочленами и аппроксимацию по методу МНК.

2. Какие функции обычно выбираются в качестве аппроксимирующих (приведите формулы).

3. Способы линеаризации зависимостей.

4. В чем заключается основная идея МНК?

 

Лабораторная работа №5