Приближенное вычисление определенных интегралов

 

 

1. Вычислить точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

2. Вычислить приближенное значение интеграла для равного количества отрезков по методу:

- Левых, правых, средних прямоугольников;

- Трапеций;

- Симпсона.

3. Вычислить абсолютные и относительные погрешности для всех методов.

4. Заполнить таблицы уk=f(xk).

    Yk
k Xk Лев. Прям. Прав. прям. Сред. Прям. Трапеций Симпсона
    - -    
½   - -      
      -    
1 ½   - -      
...            
n   -   -    
Интеграл            

 

Заполнить итоговую таблицу, в которой сравнить значения, абсолютные и относительные погрешности вычисленных интегралов.

 

Варианты заданий

 

Пример выполнения

 

Решение.

 

Вычислим интеграл в Mathcad.

 

Составим программу для вычисления интеграла.

 

unit integr;

interface

 

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, ExtCtrls;

 

type

TForm1 = class(TForm)

Image1: TImage;

procedure Image1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

const n=50;

var

Form1: TForm1;

h,x,dx,s:real;

i:integer;

st:string;

 

implementation

 

{$R *.dfm}

 

procedure TForm1.Image1Click(Sender: TObject);

begin

str(n:3,st);

textout(20,5,'n='+st);

with image1.Canvas do begin

h:=3.14/3-3.14/6;

x:=3.14/6-dx;

s:=0;

dx:=h/120;

for i:=0 to 119 do

begin

x:=x+dx;

s:=s+dx*(1/sqr(sin(x)));

end;

str(s:8:4,st);

textout(20,20,' По формуле левых прямоугольников:'+st);

x:=3.14/6;

s:=0;

for i:=1 to 120 do

begin

x:=x+dx;

s:=s+dx*(1/sqr(sin(x)));

end;

str(s:8:4,st);

textout(20,35,' По формуле правых прямоугольников:'+st);

x:=3.14/6-dx;

s:=0;

for i:=0 to 119 do

begin

x:=x+dx;

s:=s+dx*((1/sqr(sin(x))+1/sqr(sin(x+dx)))/2);

end;

str(s:8:4,st);

textout(20,50,' По формуле трапеций:'+st);

x:=3.14/6;

s:=0;

for i:=1 to 120 do

begin

x:=x+dx;

s:=s+dx*(1/sqr(sin(x-dx/2)));

end;

str(s:8:4,st);

textout(20,65,'По формуле средних прямоугольников:'+st);

x:=3.14/6;

s:=0;

h:=(3.14/3-3.14/6)/2;

s:=(h/3)*(1/sqr(sin(x))+4/sqr(sin(x+h))+

1/sqr(sin(x+2*h)));

textout(20,80,'По формуле Симпсона:'+st);

end;

end;

end.

 

Протокол.


Содержание отчета:

 

1. Вывод и решение системы для определения коэффициентов полинома.

2. Таблицы.

3. Графики функций и полиномов.

4. Выводы.

 

Контрольные вопросы:

1. Выведите формулы прямоугольников, трапеций.

2. Что из себя представляет семейство квадратурных формул Ньютона-Котеса?

3. Что такое порядок метода? Дайте характеристику порядкам методов, применяемых в работе.

4. Как вычислить значение определенного интеграла с заданной точностью?

 

 

Литература

 

1. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). – М.: Высшая школа, 2001. – 382с.

2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: ФизматГИЗ, 1963. – 660с.

3. Плис А. И. Сливина Н. А. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов