ЛОКАЛИЗАЦИЯ ТОЧКИ НА ШКАЛЕ 10 страница

 

На этой шкале большинство признаков имеет благоприятное значение.

Можно предвидеть, что средняя балльная оценка расположится где-то рядом с признаком “хорошее” и распределение будет симметрично относительно этой точки.

Ошибка центрации. Одной из причин ошибки центрации, или, как ее называют, центральной тенденции, является та, что испытуемый реже дает крайние утверждения и, таким образом, смещает оцениваемые объекты-стимулы в направлении к середине всей группы. Это особенно характерно для балльных оценок таких объектов, о которых эксперты-испытуемые знают не очень много. По этой причине в связи с графическими шкалами давалась рекомендация располагать описательные фразы в середине шкалы с бульшими промежутками, чем на краях. Подобным же образом в числовой шкале интенсивность описательных прилагательных может быть установлена так, чтобы значения у концов шкалы больше различались между собой, чем значения у центра при одном и том же расстоянии между ними на линии. Это окажет противодействие ошибке центрации.

Влияние контекста.Ошибка центрации является частным случаем более общего типа ошибок, связанных с влиянием контекста на суждения испытуемого. Согласно традиционному подходу при шкалировании сенсорных и перцептивных объектов главный интерес исследователей сосредотачивался на получении оценок каждого стимула, величина которых, как предполагалось, определяется только наличным сенсорным впечатлением и не зависит от стимульного контекста. Первая брешь в этом подходе была пробита Хелсоном, разработавшим теорию уровня адаптации (УА). Согласно Хелсону (1975), оценку любой характеристики стимула (например, вес, яркость, размер) человек соотносит со своей субъективной шкалой, точнее говоря, с нейтральной точкой на этой субъективной шкале или точкой отсчета, названной Хелсоном уровнем адаптации. Значения стимулов, превышающие величину стимула, соответствующего уровню адаптации, оцениваются как более “тяжелые”, “яркие”, “большие”, а не достигающие этой величины — как более “легкие”, “тусклые”, “маленькие”. Хелсон считает, что уровень адаптации является суммарным результатом трех классов воздействия: 1) ряда стимулов, оцениваемых в данном эксперименте; 2) всех других стимулов, воздействовавших на человека во время измерения и составляющих контекст для первого класса стимулов и 3) стимулов, действовавших в прошлом на этого человека и оставивших след в его памяти. Уровень адаптации вычисляется как среднее геометрическое всех воздействовавших стимулов. В случае получения категориальной шкалы, когда испытуемый использует заданное число категорий для суждения о стимуле, грубая оценка уровня адаптации может быть получена путем вычисления среднего арифметического в средней или нейтральной категории (например, если используется 9 категорий в суждении о стимулах, то стимул, соответствующий среднему среди попавших в пятую категорию, характеризует уровень адаптации). Более точная оценка уровня адаптации получается на основе использования всех полученных в эксперименте данных и состоит в нахождении с помощью метода наименьших квадратов наилучшей аппроксимации полученной психофизической зависимости и определении по ней стимула, соответствующего нейтральной точке шкалы суждений.

Экспериментальное исследование влияния различных контекстов на простые перцептивные суждения проводилось Пардуччи и Маршилл (1961). Эти исследователи предъявляли испытуемым наборы линий с различным распределением их длин и просили их высказывать суждение о длине, приписывая каждой линии одну из шести категорий — от 1 (очень короткая) до 6 (очень длинная). Наборы линий различались по значению либо среднего арифметического длин линий, либо медианы, либо средней точки — средней между самой длинной и самой короткой линиями в ряду. Было обнаружено, что на центрирование шкалы суждений, отражавшихся в величине уровня адаптации, заметно влияет только изменение медианы в наборе линий. Изменение среднего арифметического ряда линий не оказывает существенного влияния на уровень адаптации.

В других работах Пардуччи (1974) было установленно, что форма психофизической функции, полученной при использовании категориальных суждений, зависит от характера распределения стимулов в используемом диапазоне стимуляции. Им было показано, что форма функции является более крутой для части стимульной области, где стимулы расположены более плотно в пространстве или предъявляются с большей частотой. Эти данные хорошо согласуются с гипотезой Пардуччи о том, что шкала суждений представляет собой компромисс между двумя различными тенденциями: 1) выносить суждение о длине линий, опираясь на перцептивное впечатление от стимула; 2) использовать различные категории суждений с равной частотой.

“Гало-эффект”. Постоянную ошибку, связанную с влиянием всей личности оцениваемого индивида на оценку отдельной черты характера (Уэлс, 1907), называют “гало-эффектом”. “Мы судим о наших близких с точки зрения общей умственной установки на них и эта умственная установка по отношению к личности, как к целому, преобладает над установкой в отношении отдельных черт характера”, — говорил Торндайк (1920). Результатом “гало-эффекта” будет усиление балльной оценки любой характеристики, совпадающей с общим впечатлением от оцениваемых индивидов. Это делает балльные оценки некоторых характеристик менее валидными. Другим результатом этого байеса будет неверное количество положительных корреляций между оцениваемыми характеристиками. Из-за этого балльные оценки, в которых нет “гало-эффекта”, некоторым образом сводятся на нет. “Гало-эффект” похож на ошибку стимула в психофизике. Он включает иррелевантный критерий, которым зашумляются суждения. Конечно, избежать полностью гало-ошибки невозможно, но опыт показывает, что вероятнее всего она обнаруживается в следующих случаях (Саймондз, 1925):

1. В признаках (характеристиках), которые трудно пояснить.

2. В экзотических, нетрадиционных признаках.

3. В недостаточно четко определенных характеристиках.

4. В признаках, включающих связи с другими людьми.

5. В характеристике, имеющей высокую моральную ценность. Это относится и к так называемым чертам характера.

Наилучший способ избежать “гало-эффекта” достигается при использовании метода графического шкалирования, где в каждом случае оценивается только одна характеристика.

Логическая ошибка в балльной оценке. Ошибка, вызванная тем, что эксперты или испытуемые дают одинаковые балльные оценки для тех характеристик, которые кажутся логически соотнесенными друг с другом, называется логической ошибкой (Ньюкомб, 1931). Так же, как и “гало-эффект”, эта ошибка искажает взаимосвязи характеристик, увеличивая эти связи, но по другой причине. В “гало-эффекте” это является следствием очевидной для испытуемого связанности отдельных личностных качеств, тогда как в логической ошибке это является следствием логической согласованности различных характеристик, независимо от индивидов. Логической ошибки можно избежать, обращая внимание испытуемого на объективно наблюдаемые связи, а не на абстрактные логические или семантические совпадения характеристик.

Ошибки контраста. Под любой ошибкой контраста подразумевается тенденция испытуемого переоценивать других людей в противоположном направлении по сравнению с самим собой. Например, испытуемые, которые сами очень аккуратны, имеют тенденцию оценивать других как менее аккуратных, чем они есть на самом деле. Ошибки контраста связаны с наличием различного рода личностных ( и не только личностных) установок. Феномен психологической проекции, выявленный психоанализом, также участвует в формировании этих установок.

 

§ 5. Проблемы, связанные с обработкой полученных данных

 

Основные “рецепты” по этому поводу достаточно просты. Главное — это не забывать, что, поскольку числовые данные представляют собой результаты измерений, то каждому уровню измерения (будь то шкала порядка или шкала интервалов) соответствуют определенные методы статистической обработки. Отметим основные моменты, на которые стоит обратить особое внимание:

1. При построении порядковой шкалы (как правило, метод балльных оценок для этого и используется) для усреднения повторных оценок одного испытуемого или при получении групповых баллов следует использовать не среднее арифметическое, а медиану. При обработке данных вручную для этого необходимо построить ранговый ряд и найти его середину. В качестве показателя вариативности полученных оценок используют не среднеквадратичное отклонение, а межквартильный размах, для чего необходимо построить частотное распределение исходных балльных оценок.

Как и в предыдущих заданиях, обработку целесообразно делать в статистической системе “Stadia”. Для этого необходимо ввести исходные данные в электронную таблицу блока редактора данных, а затем войти в меню статистических методов (F9) и в нем выбрать первый пункт — “Описательная статистика”. После нажатия на “Enter” и выполнения первых расчетов (среднее, дисперсия и т.д.) внизу экрана появится вопрос “Выдать дополнительную статистику?”, на который нужно ответить утвердительно (“Y-да”), чтобы получить оценку медианы (Md) и квартилей (Q1 и Q3).

2. В том случае, если необходимо оценить корреляцию между двумя порядковыми (ранговыми) шкалами, правильным выбором будет использование непараметрического коэффициента ранговой корреляции Спирмена, а не коэффициента линейной корреляции Пирсона (как это часто делают). Последний адекватен лишь при измерениях не ниже шкалы интервалов. Для вычисления рангового коэффициента корреляции с помощью “Stadia” в меню статистических методов нужно найти раздел “Непараметрические методы” и выбрать в нем пункт “Корреляция (независимость)”. После двух нажатий на “Enter” появляется значение коэффициента ранговой корреляции Спирмена — r и его статистическая значимость.

 

Литература

 

1. Вудвортс Р., Шлосберг Г. Психофизика II. Шкалирование // Проблемы и методы психофизики / Под. ред. А.Г. Асмолова, М.Б. Михалевской. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974.

2. Guilford J. P. Psychometric Methods. N.-Y., Toronto, London: McGrow-Hill, 1954.

3. Torgerson N.S. Theory and Method of scaling. N.-Y.: John Wiley and Sons, 1958.

 

Методические указания по выполнению

учебных заданий по теме

“Метод балльных оценок”

 

В силу простоты подготовки стимульного материала к учебным заданиям по этой теме студентам предлагается самостоятельно подготовить и провести опыт с использованием метода балльных оценок для построения одномерной шкалы.

При планировании работы следует поставить определенную исследовательскую задачу. Например, сравнить эффективность использования двух различных процедур шкалирования, например, графического и числового методов или различных вариантов графического метода. Целесообразно, чтобы различные методы применялись на одном и том же материале — такое сравнение может наглядно показать методические преимущества одного из них.

Может возникнуть весьма интересная задача, если сравнить индивидуальную и групповую шкалы или две групповые шкалы, полученные на явно отличающихся выборках испытуемых. Исследование межгрупповых различий может быть очень интересным, если в качестве испытуемых взять людей из различных возрастных, социальных, религиозных или национальных групп и т.д.

Задачей исследования может быть сравнение шкал, построенных двумя различными методами одномерного шкалирования — методом балльной оценки и методом парных сравнений (см. следующую главу). В этом варианте, построив методом парных сравнений шкалу интервалов, будет весьма интересно сравнить ее со шкалой, полученной методом балльной оценки и проанализировать последнюю на предмет отражения в ней не только порядковых, но и, возможно, интервальных отношений между шкалируемыми объектами.

Один из обычных вариантов выполнения учебного задания с использованием метода балльных оценок — это его применение не как самостоятельного метода измерения, а в качестве вспомогательной процедуры получения балльных оценок при выполнении учебного задания по теме “Факторный анализ” (см. ч. III, гл. 1 настоящего пособия). В этом случае выбор конкретной процедуры шкалирования будет определяться соответствующей содержательной задачей в контексте факторного анализа.

Те студенты, которые захотят выбрать такой компьютерный вариант выполнения задания, который требует сложно организованной и строго дозированной во времени стимуляции, могут воспользоваться специальной программой-конструктором психологических методик “StimMaker”. Эта программа позволяет достаточно просто и быстро в диалоге с компьютером спроектировать процедуру предъявления различных стимулов на экране монитора и регистрации ответных реакций испытуемого на каждый стимул. Данная программа позволяет создать на экране любого цвета стимул как комбинацию цифро-буквенных символов или символов псевдографики и задать любой порядок предъявления созданных стимулов. Такой вариант подготовки учебного задания вполне доступен всем, кто имеет хотя бы небольшой опыт работы на персональном компьютере.

В заключение в качестве примера мы приведем несколько вариантов учебных заданий, выполненных студентами факультета психологии Московского государственного университета им. В.М. Ломоносова в 1994—1995 г.г. :

1. Построение шкалы голосов знакомых и незнакомых людей.

2. Оценка популярности преподавателей факультета психологии среди студентов 2-го курса.

3. Оценка различных аспектов популярности учебных курсов, читаемых на факультете психологии во 2—3 семестрах.

4. Построение шкалы популярности современных рок-групп.

5. Построение шкалы популярности русских писателей второй половины XIX века.

6. Оценка популярности политических лидеров России в группах испытуемых так называемой “демократической” и ”леворадикальной” ориентации.

7. Построение шкалы “золотого” сечения: повторение эксперимента Г.Фехнера по оценке предпочтения прямоугольников.

 

Глава 2. МЕТОД ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ. МОДЕЛЬ ТЕРСТОУНА

 

§ 1. Закон сравнительных суждений

 

Самые распространенные в настоящее время методы шкалирования субъективных характеристик стимулов, не имеющих прямых физических коррелятов, основаны на модели шкалирования Терcтоуна (Терстоун, 1927). Но первый шаг в этом направлении сделали Фуллертон и Кэтелл (1892), которые предложили подход, преобразующий постулат Фехнера о равенстве “едва заметных различий” в понятие равенства на континууме “равно часто замечаемых различий”. Этот подход позволил перейти к оценке стимула, безотносительно к прямому физическому корреляту, но сразу же обнажилась проблема: если один стимул предпочитается второму с частотой А, а второй стимул предпочитается третьему с частотой в 1.2А, то насколько субъективное расстояние между вторым и третьим стимулами больше субъективного расстояния между первым и вторым стимулами?

Торндайк (1910) предлагает решение этой проблемы (и это можно считать вторым шагом к цели), предположив, что разница в субъективных расстояниях пропорциональна различию в единицах стандартного отклонения нормальной кривой, соответствующих двум частотам.

Полное развитие этих идей и представляет собой модель шкалирования Терcтоуна. Суть ее заключается в следующем:

1. Данное множество объектов можно упорядочить в континуум по какому-либо из параметров, который может служить стимулом, причем этот параметр не обязательно имеет физическую меру. Обозначим ряд стимулов как 1 ... i ... n.

2. Каждый стимул теоретически вызывает у субъекта только один, свой процесс различения (обозначим его буквой S). Процессы различения составляют психологический континуум, или континуум различения (D1 ... Di ... Dn). Однако вследствие мгновенных флуктуаций организма, данный стимул может вызвать не только свой процесс различения, но и какие-то соседние. Поэтому, если один и тот же стимул предъявлять много раз, то на психологическом континууме ему будет соответствовать некоторое распределение процессов различения. При этом предполагается, что форма распределения нормальна.

3. В качестве значения i-го стимула на психологической шкале принимается среднее (Si) распределения процессов различения, а дисперсия распределения рассматривается как дисперсия различения (si).

4. Предъявление одновременно пары стимулов вызывает два процесса различения di и dj.Разность (dj- di) называется различительной разностью. При большом числе предъявлений двух стимулов различительные разности также формируют свое нормальное распределение на психологическом континууме. Поэтому среднее распределение разностей различения (dj - di) будет равно разности средних распределений самих процессов различения — (Sj - Si), а дисперсия распределения различительных разностей равна

s(dj- di ) = (s2j + si-2ri,jsisj )1/2, (1)

 

где si и sj — дисперсии процессов различения i-го и j-го стимулов, соответственно, а ri,j— есть корреляция между мгновенными значениями процессов различения стимулов i и j.

Рассмотрим теперь следующую ситуацию. Пусть наблюдателю предъявляются пары стимулов i и j и от него требуется осуществить суждение, какой из стимулов дальше отстоит от нуля на психологическом континууме (например, более тяжелый или более сложный, или более красивый и т.д.). На рис. 1 показаны гипотетические процессы различения стимулов i и j.

Предполагается, что если различительный процесс для стимула j окажется на психологическом континууме выше, чем для стимула i, т.е. если различительная разность (dj - di) > 0, то последует суждение, что стимул j больше, чем стимул i. И соответственно при (dj - di) < 0 — произойдет обратное суждение.

 

 

 

Рис.1. Гипотетическая модель процесса различения 2-х стимулов

 

 

 

 

Рис. 2. Гипотетическое распределение процессов различения стимулов Sj и Si на психологическом континууме: заштрихованная область указывает частоту суждения: стимул j больше, а незаштрихованная — стимул j меньше; dij - различие шкальных значений стимулов i и j, измеренное в единицах стандартного отклонения данного распределения — s (dj-di)

 

Однако, если распределения различительных процессов перекрываются, то суждение, что стимул j меньше, чем стимул i может произойти даже тогда, когда величина Sjна психологическом континууме больше, чем величина Si. На рис. 2 показано распределение различительных разностей при большом числе суждений.

Среднее распределения равно различию шкальных величин двух стимулов — (Sj - Si). Это различие можно найти из таблицы областей под единичной нормальной кривой, зная пропорцию суждений стимул j больше, чем стимул i от общего числа суждений по данной паре стимулов (т.е., сделав стандартное преобразование “p ® z” ).

В единицах дисперсии s(dj- di) это можно записать так:

 

Sj - Si= zj,is(dj- di ), (2)

 

где zj,i— обозначает искомое различие.

 

Подставляя это выражение в уравнение (1), получим:

Sj - Si = zj,i(sj2+ si2-2ri,jsisj )1/2 . (3)

 

Уравнение (3) и выражает в общем виде закон сравнительных оценок Терcтоуна.

 

 

§ 2. Процедура измерения

 

Эмпирическим материалом, на котором основан закон Терcтоуна, служат суждения по типу: “стимул i более ... тяжелый, интересный, красивый и т.д., чем стимул j”. Прямой метод для получения таких оценок называется методом парных сравнений. В принципе это тот же самый метод константных стимулов, только в данном случае в качестве эталона выступает поочередно каждый стимул. Испытуемый осуществляет попарное сравнение всех стимулов. Каждое сравнение производится много раз. На основании этих сравнений для каждой пары определяется частота предпочтения одного стимула другому. Квадратная матрица (n x n) этих частот (обозначим ее буквой F) представляет исходные данные. Диагональные элементы этой матрицы будут пустыми, поскольку идентичные пары обычно не предъявляются. Очевидно, что сумма элементов fi,jи fj,iв сумме будет равна общему числу сравнений.

Последующий анализ заключается в переходе от матрицы частот (F) к матрице вероятностей (обозначим ее буквой P). Элемент этой матрицы pi,jесть пропорция числа предпочтений i-го стимула j-му в общем числе сравнений этих двух стимулов. Диагональ матрицы P также не заполнена, а сумма симметричных элементов относительно этой диагонали равна единице (т.е. pi,j+ pj,i= 1). Из матрицы вероятностей уже легко определить матрицу различий Z, памятуя о том, что различие выражается в единицах нормального отклонения. Значение zi,jдля соответствующей вероятности можно определить по таблице областей под единичной нормальной кривой. Для всех pi,j>0,5 величина z будет положительна, а для всех pi,j<0,5 — отрицательна. Для pi,j=1 или pi,j=0 zi,jне существует. Предполагая, что pi,i = pj,j =0,5, диагональные элементы матрицы Z приравниваются нулю. Поскольку zi,,j= -zj,i, то матрица будет косо-симметрична. Таким образом определяется матрица Z, элемент которой zi,jявляется оценкой различия (Si- Sj) между шкальными значениями двух стимулов, измеренной в единицах стандартного отклонения в распределении различительных разностей. Каждый независимый элемент матрицы Z (а их, очевидно, будет n(n-1)/2) дает оценку различия для одного из уравнений (3) — как теоретической модели закона сравнительных оценок.

Рассмотрим теперь, как соотносятся исходные данные с теоретической формой их выражения. Число независимых элементов в матрице F равно n(n-1)/2, где n — число стимулов. Тогда как закон сравнительных оценок, выраженный в формуле (3), имеет для тех же n стимулов и n неизвестных шкальных значений, n неизвестных дисперсий различительных процессов и n(n-1)/2 неизвестных корреляций. Совершенно очевидно, что при таком соотношении числа уравнений — n(n-1)/2 и числа неизвестных — 2n+n(n-1)/2, решить данную систему невозможно. Поэтому необходимо ввести условия, упрощающие структуру выражения (3).

 

§ 3. Упрощенные варианты закона сравнительных суждений

 

Терcтоун рассматривал 5 вариантов применения этого закона. Первый вариант — это та исходная общая форма закона, о которой уже говорилось. Второй вариант рассматривает изменение экспериментальной методики, обращаясь от оценок, производимых одним испытуемым, к групповым оценкам. Каждый испытуемый в этом случае производит только одно сравнение. И только третий, четвертый и пятый варианты вводят дополнительные допущения, которые меняют общую форму выражения (3).

Торгерсон (1958) предложил развести эти варианты на два класса. К первому классу относятся изменения в методике проведения эксперимента. Это первый и второй варианты Терcтоуна, и кроме того, Торгерсон предложил отнести сюда и смешанный опыт, когда несколько испытуемых сравнивают по несколько пар и все оценки сводятся в общую матрицу частот. Ко второму классу относятся изменения в форме закона сравнительных оценок. Сюда относятся 3, 4 и 5 варианты Терcтоуна или, соответственно, условия А, В и С, которые предложил Торгерсон.

III вариант Терcтоуна. Предполагается, что корреляция между различительными процессами ri,jв выражении (3) равна нулю. В таком случае закон сравнительных оценок принимает форму:

Sj - Si= zj,i(s2j + si2 )1/2 . (4)

 

Торгерсон предлагает здесь менее жесткое ограничение, с условием (условие А), что ковариация в выражении (3) — равна постоянной величине (d). Тогда :

Sj - Si = zj,i(sj2+ si2 - d)1/2. (5)

 

Но практически выражения (4) и (5) идентичны, поскольку ковариация является постоянной только тогда, когда корреляция стремится к нулю.

IV вариант Терстоуна основывается на допущении, что ri,j=0 и что дисперсии различения мало отличаются друг от друга, т.е. si= sj+ d, где d мало по сравнению с sj. Тогда выражение (3) преобразуется в

Sj - Si = zj,i[sj2+ (sj+ d2)]1/2. (6)

 

Раскрывая скобки и делая ряд преобразований и упрощений, получаем окончательную форму четвертого варианта закона:

Sj - Si = zj,iс(sj + si ), (7)

где с — постоянный множитель.

Более слабое допущение Торгерсона (условие В) о константности корреляции приводит к выражению:

Sj - Si = zj,i[1/2(1 - r)1/2(sj + si )]. (8)

 

Выражения (7) и (8) отличаются только постоянными членами, поэтому вариант Торгерсона имеет определенные преимущества.

V вариант закона сравнительных оценок Терстоуна нашел наибольшее применение вследствие простоты своей формы. Этот вариант основывается на допущении нулевой корреляции между двумя процессами различения (r = 0) и равенства различительных дисперсий этих процессов (sj = si= s). Тогда выражение (4) преобразуется в:

Sj - Si = zj,is . (9)

 

Обозначив константный член уравнения буквой “c”, получим:

Sj - Si = сzj,i. (10)

Уравнение (10) совпадает по своей общей форме с различными модификациями данного варианта, которые предлагали впоследствии некоторые авторы. Наиболее интересная модификация предложена Мостеллером (1951) и состоит в допущении равенства дисперсий и константной корреляции. В этом случае величина “с” в уравнении (10) будет равна [2(1 - r)]1/2, а уравнение приобретает следующий вид:

Sj - Si = zj,i[2(1 - r)]1/2. (11)

 

Сравнивая упрощенные варианты (4), (7), (10) с исходной формулой (3), легко видеть, что даже наиболее сложный из упрощенных вариантов (4) уже имеет, по крайней мере теоретически, решение, когда число стимулов (n) равно 5. Остальные варианты еще проще. Но практическая процедура всегда более трудоемка и менее изящна, чем это обещает теоретическая модель. Причина этого в основном лежит в эмпирической природе исходных оценок, в их зашумленности множеством случайных факторов, от которых невозможно оградить испытуемого. Для устранения случайных ошибок предлагается следующая тактика. Число стимулов увеличить так, чтобы система уравнений была значительно переопределена. Например, для варианта III брать не 5 стимулов, а 10 – 15. Для окончательного решения использовать итеративную вычислительную процедуру, которая учитывает тот факт, что случайные ошибки имеют тенденцию взаимоуравновешиваться.

Такие процедуры были разработаны разными авторами, и в данной работе будет описан алгоритм Мостеллера (1951) для V варианта закона в модификации Торгерсона (1958). Алгоритм использует решение методом наименьших квадратов. Он позволяет получить более точные оценки шкальных значений из матрицы в случае, если она не имеет пустых элементов.

 

§ 4. Процедура решения V варианта закона срав­ни­тельных оценок для полной матрицы

 

В V варианте закона, записанном в общем виде (9), единицы измерения шкальных значений всегда можно подобрать так, чтобы константа “с” была равна 1. Тогда:

Sj - Si = zj,i. (12)

 

В случае отсутствия ошибок в оценках искомое различие будет равно наблюдаемому (обозначим его z'j,i). Но в результате ошибок между z'j,iи zj,iбудет некоторое расхождение a. Задача заключается в получении такого множества оценок шкальных значений стимулов, для которых сумма квадратов всех расхождений является минимальной, т.е. необходимо минимизировать величину

(13)

 

Подставив вместо zi,jшкальные значения, получим:

(14)

 

Все ai,jдля всех zi,jиз матрицы Z дадут матрицу ошибок a. Чтобы минимизировать каждую ai,j, необходимо взять частную производную ai,jпо Siи Sj. Каждое частное значение Siв матрице ошибок a появляется только в i-той строке и i-том столбце, но поскольку матрица ошибок так же кососимметрична [zi,j= -zj,iи (Si-Sj)= -(Sj-Si)], как и матрица Z, то для каждой Siчастная производная будет касаться только i-го столбца. Дифференцируя элементы каждого столбца по Si, получим:

(15)

 

где i = 1,2 ... , n.

 

Приравняем частную производную нулю и после переноса получим:

(16)

 

 

Разделим выражение (16) на n и возьмем начальное значение шкалы, равное . В результате получим: