ерпендикулярность прямых и плоскостей
Вариант I
Часть А
1) Отрезок КС – перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, КВ перпендикулярно АВ.
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей КАС и АВС.
в) Чему равен КВ, если АС=14, ВС=6. Угол КВС равен 45 градусам.
2) Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости . Найдите расстояние от точки А до плоскости , если АВ=5, АС=223, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью равен 60 градусам.
3) Из точки А к плоскости проведены наклонные АВ и АС, образующие с плоскость угол 60 градусов. ВС=АС=6. Найдите АВ.
Часть Б
1) Отрезок КА – перпендикуляр к плоскости АВС. Точка М - середина ВС. КМ перпендикулярно ВС. АВ=ВС
а) Докажите, что треугольник АВС - равносторонний.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей КВС и КАМ.
в) Найдите площадь треугольника АВС, если ВК=8, КА=39, ВС=6.
2) Точка S удалена от вершин правильного треугольника на 3334 см. Найдите двугранный угол SABC, если АВ=9.
3) Прямая АВ – ребро двугранного угла, равного 90 градусов. Прямые АА1 и ВВ1принадлежат разным граням данного угла. АА1||ВВ1, ВВ1 перпендикулярно АВ. Докажите, что прямые АА1 и ВВ1 скрещивающиеся. Найдите угол между этими прямыми.
Часть В
1) Точка О лежит на биссектрисе угла АВС, равного 60 градусов, отрезок DO перпендикулярен плоскости АВС. АВ=АС.
а) Докажите, что точка D равноудалена от точек А и С.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей DAC и DOВ.
в) Найдите DB, если АС=12 и DO=8.
2) Равнобедренные треугольники АВС и АДС имеют общее основание АС, двугранный угол ВАСД - прямой. Найдите двугранный угол ДСВА, если угол АСД равен 45 градусов, а угол САВ равен 60 градусов.
3) В кубе АВСДА1В1С1Д1 постройте и найдите линейный угол между плоскостями сечений АВ1С1Д и А1Д1СВ.
Вариант II
Часть А
1) Отрезок КС – перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, КВ перпендикулярно АВ.
а) Докажите, что треугольник АВС - прямоугольный.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей КАС и АВС.
в) Найдите КВ, если АС=16, ВС=8. Угол КВС равен 45 градусам.
2) Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости . Найдите расстояние от точки А до плоскости , если АВ=20, АС=25, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью равен 45 градусам.
3) Из точки А к плоскости проведены наклонные АВ и АС и перпендикуляр АО. Наклонные образуют с этой плоскостью углы равные 60 градусам. Найдите ВС, если ВС=ВО, ОС=8.
Часть Б
1) Отрезок КА – перпендикуляр к плоскости прямоугольника АВСД. Точка О - пересечение АС и ВД. КО перпендикулярно ВД.
а) Докажите, что АВСД - квадрат.
б) Перпендикулярность плоскостей КВД и КОА.
в) Найдите площадь прямоугольника АВСД, если КО=5, КА=3, угол ВКД равен 90 градусам.
2) Точка S удалена от вершин правильного треугольника на 48см. Найдите двугранный угол SABC, если АВ=12.
3) Прямая АВ – ребро двугранного угла, равного 45 градусам. Прямые АА1 и ВВ1принадлежат разным граням данного угла. прямые АА1 и ВВ1 перпендикулярны прямой АВ. Каким может быть расположение прямых АА1 и ВВ1? Докажите свое утверждение.
Часть В
1) Отрезок ДО – перпендикуляр к плоскости угла АВС, равного 90 градусам. Точка О лежит внутри угла, а точка Д равноудалена от его сторон.
а) Докажите, что прямая ВО делит угол АВС пополам.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей DAC и DOВ.
в) Найдите DО, если АС=12 и DВ=16.
2) Равнобедренный треугольник АДС с углом Д равным 90 градусам, и равносторонний треугольник АВС имеют общее основание АС. Двугранный угол ВАСД - прямой.
а) Найдите все углы между прямыми проведенными к вершинам треугольника АВС и этой плоскостью.
б) Найдите углы треугольника образованного высотами треугольников АВС и АДС, опущенными к стороне АС.
3) В кубе АВСДА1В1С1Д1 постройте и найдите линейный угол между плоскостями сечений С1Д1АВ и ДСВ1А1.
Ответы на контрольную работу №2
Контрольная работа №3
Многогранники
Вариант I
Часть А
1) Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 5см и катетом 4см. Найдите площадь боковой поверхности, если грань содержащая наименьший катет – квадрат.
2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 8см, и образует угол 30 градусов с плоскостью основания.
а) Найдите высоту пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности.
3) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АВ и делящее его в отношении 1:3, и проходящей параллельно ребру ВС. Найдите площадь сечения.
Часть Б
1) Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 48 и 20 см. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности.
2) Основание пирамиды - правильный треугольник с площадью равной 163. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом 45 градусов.
а) Найдите длину ребер пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности.
3) Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно а. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую АД1 и середину ВС. Найдите площадь сечения.
Часть В
1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 12 и 9 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро - квадрат.
2) Основание пирамиды – ромб с меньшей диагональю d и тупым углом . Все двугранные углы при основании пирамиды равны . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3) Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно а. Постройте сечения куба плоскостью, проходящей через середины ребер АА1, АД, А1В1.
Вариант II
Часть А
1) Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 5см и катетом 12см. Найдите площадь боковой поверхности, если грань содержащая больший катет – квадрат.
2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью основания.
а) Найдите длину бокового ребра пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности.
3) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2, и проходящей параллельно ребру АВ. Найдите площадь сечения.
Часть Б
1) Основание прямого параллелепипеда – ромб с большей диагональю 30 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов и равна 242. Найдите площадь полной поверхности.
2) Основание пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 62. Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом 30 градусов.
а) Найдите длину ребер пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности.
3) Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно а. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку В и середину ДА, параллельно А1Д. Найдите площадь сечения.
Часть В
1) Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник с боковой стороной 26 см и основанием 20 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро - квадрат.
2) Основание пирамиды – ромб с боковой стороной равной а и острым углом . Все двугранные углы при основании пирамиды равны . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3) Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно а. Постройте сечения куба плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, ДД1, В1С1.
Ответы на контрольную работу №3