Задачи для самостоятельного решения.

1. Даны . Вычислить . (Ответ: 16)

2. Векторы и взаимно перпендикулярны. Зная, что вычислить: 1) 2) . (Ответ: 1) 24; 2) 60)

3. Какому условию должны удовлетворять векторы , чтобы векторы и были коллинеарны? (Ответ: )

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где и (Ответ: 37,5 кв.ед.)

5. Разложить вектор по взаимно перпендикулярным ортам , образующим правую тройку. (Ответ: )

6. Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами треугольника и , вычислить площадь треугольника.

(Ответ: кв.ед.)

7. Даны вершины треугольника и . Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. (Ответ: 5)

8. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на данных векторах и .

(Ответ: )

9. Вектор , перпендикулярный к векторам и , образует с осью Оу тупой угол. Зная, что , найти его координаты. (Ответ: )

10. Вектор , перпендикулярный к оси Oz и к вектору , образует острый угол с осью Ох. Зная, что , найти его координаты. (Ответ: )

11. Векторы , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что , вычислить .

(Ответ: 24)

12. Вектор перпендикулярен к векторам и , угол между и равен 30^о. Зная, что , вычислить . (Ответ: )

13. Доказать тождество

14. Доказать, что векторы , удовлетворяющие условию , компланарны.

15. Доказать, что точки А(1;2;-1), В(0;1;5), С(-1;2;1), D(2;1;3) лежат в одной плоскости.

16. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на трех данных векторах и , и исследовать, образуют ли векторы левую или правую тройку. (Ответ: куб.ед., левая тройка)

17. Объем тетраэдра , три его вершины находятся в точках А(2;1;-1), В(3;0;1), С(2;-1;3). Найти координаты четвёртой вершины D, если известно, что она лежит на оси Оу. (Ответ: )

18. Найти вектор , одновременно удовлетворяющий трем уравнениям: . (Ответ: )

 

Прямая на плоскости

 

Уравнение вида (1) называется уравнением прямой, проходящей через точку и имеющей нормаль (нормаль или нормальный вектор— это вектор, перпендикулярный прямой).

Уравнение (1) приводится к общему уравнению прямой:

, (2)

где .

Уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент :

, (3)

где ( — угол наклона прямой к оси Ох).

Уравнение прямой c угловым коэффициентом:

(4)

где — величина отрезка, который прямая отсекает на оси Оу, считая от начала координат.

Уравнение прямой, проходящей через две точки точки и :

, (5)

или

, (6)

где — направляющий вектор прямой; (6) – каноническое уравнение прямой.

Угловой коэффициент прямой (5) вычисляется по формуле:

. (7)

Один из углов между двумя прямыми вычисляется по формуле:

, (8)

где и — угловые коэффициенты прямых.

Условие параллельности двух прямых:

. (9)

Условие перпендикулярности прямых:

, или . (10)

Если ни один из коэффициентов уравнения (2) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду:

, (11)

где — величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях Ох и Оу соответственно. Уравнение (11) называется уравнением прямой в «отрезках».

Нормальное уравнение прямой имеет вид:

(12)

где p — длина нормали, опущенной из начала координат на данную прямую; — угол между нормалью и осью Ох.

Уравнение (2) можно привести к уравнению (12); для этого его нужно умножить на нормирующий множитель :

(13)

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена С уравнения (2).

Пусть дана какая-нибудь прямая l и произвольная точка расстояние от точки до прямой l. Отклонением точки от прямойl называется число , если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой l, и , если и начало координат расположены по одну сторону от прямой l (если , то ). Отклонение вычисляется по формуле:

(14)

или

. (15)

Чтобы найти расстояниеd от точки до прямой, нужно вычислить отклонение и взять его модуль: , т.е.

. (16)

Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром S.

Если и - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S, то уравнение

(17)

где любые числа, не равные одновременно нулю, определяет прямую, также проходящую через точку S. Уравнение (17) уравнение пучка прямых (с центром в точке S).

 

 

Рассмотрим задачи.

Задача. Точка E(1;-1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

Решение. Пусть сторона . Диагонали AC и BD являются биссектрисами углов квадрата. Используя формулу (8), найдем угловой коэффициент одной из диагоналей:

 

 

; ; .

Зная , точку и применив (3), найдем уравнение диагонали АС: ;

Решив систему уравнений прямых АВ и АС, найдем вершину А:

т.е. А(-8;2).

Т.к. , то, согласно (10), следовательно,

Точка Е является серединой АС. Используем формулу (11) из § 2 :

.

Выражаем : , ; т.е. С(10;-4).

(опираясь на (9)); найдем уравнение DC:

, .

Аналогично, ВС: , .

Ответ: .

Задача. Составить уравнение сторон треугольника, зная одну его вершину В(2;6), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из одной вершины.

Решение. Координаты точки В не удовлетворяют уравнениям высоты и биссектрисы.

Пусть высота СН: ,

биссектриса CD: 7x+y+5=0.

Найдем вершину C:

т.е. С(-1;2).

Составим уравнение стороны ВС, используя формулу (5):

;

т.е.

Из определения биссектрисы следует, что если на одной из сторон угла С дана точка В, то точка В*, симметричная точке В относительно биссектрисы CD этого угла, лежит на другой его стороне СА (см. рис.).

Таким образом, имеем:

1)

2) точка т.е.

3) найдем точку В*:

т.е. В*(-5;5).

Уравнение стороны СА:

т.е. СА:

Ответ:

Задача. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(8;6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.

Решение. Запишем уравнение искомой прямой «в отрезках»:

(11)

Если найдем значения параметров a и b, задача будет решена. Т.к. точка Р лежит на искомой прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению (11):

или

Площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла, определяется формулой: , т.к. отрезки a и b могут быть как одного, так и разных знаков. Согласно условию задачи, имеем:

Решим систему уравнений:

Получим: Таким образом, условию задачи удовлетворяют две прямые: и

Задача. Найти уравнение биссектрисы CD треугольника АВС, заданного координатами своих вершин: А(2;-1), В(-1;3), С(2;4).

Решение. Составим уравнения сторон АС и СВ:

 

Биссектриса – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Пусть М(х;у) — каждая точка биссектрисы CD, тогда или, применяя формулу (16), запишем:

Раскрывая модули, получим уравнения двух прямых:

Одна из этих прямых является биссектрисой внутреннего угла, т.е. совпадает с CD, а другая – внешнего угла треугольника АВС.

Точки А и В должны находиться по разные стороны от прямой CD, т.е. отклонения и имеют разные знаки . Оценим знаки этих отклонений и , используя формулу (15):

,

т.е. точки А и В лежат по одну сторону от прямой . Следовательно, - биссектриса внешнего угла при вершине С.

Ответ:

Задача. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и отсекающей на оси ординат отрезок Решить задачу, не определяя координат точки пересечения данных прямых.

Решение. Запишем уравнение пучка данных прямых:

,

т.е. - координаты нормали прямой пучка. Т.к. , то (по условию задачи),

. Пусть , тогда .

Подставляя в уравнение пучка, найдем уравнение искомой прямой: .