Задачи для самостоятельного решения.

1. Определить, при каких значениях и следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости: 1) 2x+ly+3z-5=0, mx-6y-6z+2=0; 2) 3x-y+lz-9=0, 2x+my+2z-3=0;

(Ответ: )

2. Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей: 1)

2) 3)

(Ответ: 1) и 2) и 3) )

3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₁(3;-2;-7) параллельно плоскости . (Ответ: )

4. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М₁(1;-1;-2) и М₂(3;1;1) перпендикулярно к плоскости . (Ответ: )

5. Определить, при каких значениях a и b плоскости 2x-y+3z-1=0, x+2y-z+b=0, x+ay-6z+10=0: 1) имеет одну общую точку; 2) проходят через одну прямую; 3) пересекаются по трем различным параллельным прямым. (Ответ: 1) )

6. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через точку М₁(2;-3;3) параллельно плоскости Оху;

2) через ось Oz и точку М₂(3;-4;7);

3) через точки Р₁(2;-1;1) и Р₂(3;1;2) параллельно оси Оу. (Ответ: 1) z-3=0; 2) 4x+3y=0; 3) x-z-1=0)

7. Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость 5x-6y+3z+120=0 от координатного угла Оху. (Ответ: 240 кв. ед.)

8. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2x-3y+6z-

-12=0 и координатными плоскостями. (Ответ: 8 куб. ед.)

9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки М₁(-1;4;-1), М₂(-13;2;-10) и отсекает на осях абсцисс и аппликат отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

(Ответ: 2x-21y+2z+88=0; 2x-3y-2z+12=0)

10. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

1) x-2y-2z-12=0, x-2y-2z-6=0; 2) 2x-3y+6z-14=0, 4x-6y+12z+21=0;

3)16x+12y-15z+50=0, 16x+12y-15z+25=0; 4) 2x-y+2z+9=0, 4x-2y+4z-21=0. (Ответ: 1) 2; 2) 3,5; 3) 1; 4) 6,5)

11. На оси Oz найти точку, равноудаленную от точки М(1;-2;0) и от плоскости 3x-2y+6z-9=0. (Ответ: )

12. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2x-2y-z-3=0 и отстоящих от нее на расстояние d=5. (Ответ: 2x-2y-z-18=0; 2x-2y-z+12=0)

13. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух параллельных плоскостей: 1) 4x-y-2z-3=0, 4x-y-

-2z-5=0; 2) 5x-3y+z+3=0, 10x-6y+2z+7=0. (Ответ: 1) 4x-y-2z-4=0;

2) 20x-12y+4z+13=0)

14. Составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные двумя пересекающимися плоскостями: 1) x-3y+2z-5=0, 3x-2y-z+3=0; 2) 5x-5y-2z-3=0, x+7y-2z+1=0).

(Ответ: 1) 4x-5y-z-2=0, 2x+y-3z+8=0; 2) x-3y-1=0, 3x+y-2z-1=0)

15. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями 2x-y+2z-3=0, 3x+2y-6z-1=0, в котором лежит точка М(1;2;-3). (Ответ: 23x-y-4z-24=0)

 

Прямая в пространстве.

Прямая в пространстве задается несколькими способами.

1. Прямая как линия пересечения двух плоскостей:

(1)

при условии, что коэффициенты А₁, В₁, С₁ непропорциональны коэффициентам А₂, В₂, С₂.

Уравнение

(2)

называется уравнением пучка плоскостей.

2. Канонические уравнения прямой:

, (3)

где точка М₀(x₀;y₀;z₀) — точка прямой; — направляющий вектор прямой.

3. Уравнения прямой, проходящей через две точки M₁(x₁;y₁;z₁) и M₂(x₂;y₂;z₂):

(4)

4. Параметрические уравнения прямой:

(5)

где t — произвольно изменяющийся параметр.

Угол между двумя прямыми

и

равен углу между их направляющими векторами и , т.е. имеет место формула:

(6)

Условие, при котором прямые L₁ и L₂ лежат в одной плоскости:

(7)

Следовательно, прямые скрещиваются, если равенство (7) не имеет место.

Рассмотрим задачи.

Задача. Составить уравнение плоскости , проектирующей прямую на плоскость

Решение. Искомая плоскость проходит через линию пересечения L перпендикулярно к плоскости . Составим уравнение пучка плоскостей:

Обозначим через и нормали плоскостей и соответственно. Тогда:

Найдем числа и , учитывая, что т.е.

Пусть тогда Подставив эти значения в уравнение пучка, получим:

Задача. Составить канонические и параметрические уравнения прямой

Решение. Чтобы перейти к каноническому и параметрическому заданиям прямой L зафиксируем на ней произвольную точку М₀ и найдем ее направляющий вектор в виде: .

Пусть М₀(х;у;0), тогда получим:

Т.е.

Искомые уравнения: или

Задача. Составить уравнения прямой L₁, которая проходит через точку М₁(-1;2;-3) перпендикулярно к вектору и пересекает прямую .

Решение. Канонические уравнения искомой прямой . Найдем ее направляющий вектор ; для этого решим систему, первое уравнение которой вытекает из перпендикулярности векторов и , а второе — из равенства (7):

Пусть Тогда

Таким образом,