Саналымды жне санаусыз жиындар.

Бинар атынастарды негізгі трлері. Рефлексив жне транзитив тйытау.

Бинарлы атынас деп екі объектіні арасындаы атынасты айтады. Бинарлы атынасты реттелген жптарды жиынтыы ретінде аныктауа болады. Мысалы. егер бізді наты а жне в жеке тлаларыны арасындаы «сыйласты» атынасы ызыктырса, онда мндай атынастарды трі ртрлі болуы ммкін. Сонымен, R = {(a,b)} атынасы а-ны b -ны сыйлайтындыын білдіреді. R_} = {(a,b), (а,а)}атынасы а-ны в -ны сыйлайтындыын жне в –ны а -ны сыйлайтындыын білдіреді. Бізді кызыктырып отыран тлаларды арасындаы «сыйласты х атынасыны баса да трлерін анытауа болады: R₂={(a,b){a,a)}, R₃= {{a,a){b.b)}, т.с.с.

Анытама.Бос емес жиындары берiлсiн. Онда реттелген элементтер жиыны

жиыны жиындарыны декарттыкбейтiндiсiдеп аталады. Оларды элементтерiн n-дiктердеп атаймыз. Жалпы жадайда бл кбейтінді кезкелген I индекстік жиыны шін бл кбейтiндi трiнде жазылады. Мндаы I жиыны аырсыз жиын болуыда ммкiн

Ал арылы А жиынын зiне зiн n рет кбейткеннен пайда. Болан жиын белгіленеді. Олжиын А жиыныны n-шi дрежесдеп аталады..

Анытама.Бос емес А жиыны берiлсiн. Мндеы n – о бтiн сан, онда An

жиыныны кез келген iшкi жиынын А жиынында аныталан n-орынды атынасдеп атаймыз.1-орынды атынастар унарлы, 2- орынды атынастар бинарлы,3-орындыатынастар тернарлыатынастар деп аталады. Практикада негiзiнен унарлы жне бинарлы атынастармен жмыс iстеймiз. сiресе, тменде келтiрiлетiн арнайы бинарлы атынастар математикада кеінен жне табысты олданылады. Осы блімде R арылы А жиынында аныталан бинарлы атынасты белгiлеуге келіселік. Сонымен бірге, (a,b) парыны R атынасына тиістілігін (а,b)ÎR немесе aRb Бiздi курсымызда ерекше маызды жне жиi кездесетiн арнайы бинарлы атынастарды анытаймыз.

1. Егер кез келген xÎA элементi шiн (x,x)ÎR болса, онда R атынасы Рефлексивтiатынас деп аталады.

2. Егер кез келген x, y, zÎA элементтерi шiн (x, y)ÎR жне ( y, z)ÎR (x, z)ÎR шарты орындалса, онда R атынасы транзитивтiдеп аталады.

Жиындара олданылатын амалдар. Функциялар жне атынастар

Саналымды жне санаусыз жиындар.

Жиын ретiнде оны андай да бiр белгiлерiн ескеріп, ртрлi объектiлердi алдын - ала берiлген ерекшелiктерi бойынша топтастырылуын айтамыз Жиындарды лкен латын рiптерi арылы белгiлеймiз: A, B, X, P, T жне т.б. Жиынды райтын нысандар осы жиынны элементтерi деп аталады. Жиын элементтерi кiшi латын рiптерiмен белгiленедi: a, b, c, x, u, v жне т. б. ажет болан жадайда, тменгi немесе жоары индекстер еркiн олданылады. Жиындарды оларды элементтерiнi тiзiмiн немесе оларды элементерiне орта асиеттердi крсету жолымен беруге болады Аырсыз жиындар негізінен екінші тртiппен аныталады. Бiздi келешек баяндауларымыз шiн тмендегi санды жиындар кеiнен олданылады. натурал сандар жиыны, бтiн сандар жиыны рационал сандар жиыны, R наты сандар жиыны. Бл жиын рационал жне иррационал сандарды бірігуінен трады. Жиындар арасындаы байланыстар – жиындара олданылатын тмендегi амалдарды анытайды.

Егер А жиыныны барлы элементтерi B жиынына тиiстi болса, онда А жиынын

B жиыныны iшкi жиыны деп атаймыз. Ал B жиыны А жиынын амтушы жиын

деп аталады.Ешбiр элементi болмайтын жиынды бос жиын деп атаймыз. – бос жиын

белгiсi. Анытауымыз бойынша бос жиын кез келген жиынны ішкі жиыны болады.

Кез келген A,B,C жиындары шін A=B AB жне BA. егер AB ,онда |A||B|. егер AB,онда |A||B| Егер A аырлы жиын болса рі AB онда |B|>|A| Егер AB , ондаxA шін xB. ЕгерAB, онда xA шін xB жне xB біра xA. Егер AB жне BC онда AC. Егер AB жне BC сонымен бірге не ABрі BC не ABрі BC бірі орындалса онда AC. егер A=B болса, онда |A|=|B|.

Егер ТW жне табылады xW болса, біра хТ орындалса, T жиынын W жиыныны меншiктi iшкi жиыны деп атаймыз.

1. А жне В жиындарына орта элементтерден ана тратын жиынды А жне В жиындарыны иылысуы деп атап, ол жиынды АВ арылы белгiлеймiз. Егер АВ = болса, онда А жне В жиындарын иылыспайтын жиындар деп атаймыз. AB= BA. (AB)C=A(BC). AA=A AB=A AB. A=. |AB|min{|A||B|}. A(BC)=(AB)(AC). A(BC)=(AB)(AC). A(AB)=A.

A(AB)=A.

2. А жне В жиындарыны е болмаанда бiреуiне тиiстi элементтерден тратын

жиынды – А жне В жиындарыны бiрiгуi деп атаймыз. Оны АВ табасы арылы белгiлеймiз.

A1A2…An={a|i1in,aAi}

3. А жиынына тиiстi, ал В жиынына тиiстi емес элементтерден тратын жиын А

жиыны мен В жиыныны айырмасы (А минус В) деп аталып, А\В арылы

белгiленедi. A-A=

A-=A A-B B-A A-B=A iff AB=\

A(B-C)=(AB)-(AC) |A-B||A|

4. Симметриялы айырма (symmetric difference):A (B\A)

Ал А жиынына тиiстi емес жне А жиынын амтушы андай да бiр жиынны элементтерiнен тратын жиынды А жиыныны аталан амтушы жиындаы толытаушы жиыны деп атаймыз. Белгiлеуi:

Бл суреттегi боялан блiк, А

жиыныны толытаушы жиыны – A жиынын бiлдiредi. - конволюция заы.

Элементтерiнi саны белгiлi бiр натурал сана те болатын жиынды аырлы

жиын деп атаймыз. Аырлы жиынны элементтер санын оны уаты деп атайды.

Сонымен бірге, аырлы жиын деп, зiнi кез келген меншiктi iшкi жиынымен зара рмндi сйкестiкте болмайтын жиынды айтуа болатыны тменде крсетіледі. Ал мндай сйкестiктер табылатын жиынды аырсыз жиын деймiз.

Анытама. Бос емес А1, А2 ,...,Аn жиындары берiлсiн. Онда реттелген элементтер жиыны

жиыны А1, А2 ,...,Аn жиындарыны декартты кбейтiндiсi деп аталады.

Оларды элементтерiн n-дiктер деп атаймыз.

Анытама. Бос емес А жиыны берiлсiн. Мндеы n – о бтiн сан, онда n

жиыныны кез келген iшкi жиынын А жиынында аныталан n-орынды атынас

деп атаймыз.1-орынды атынастар унарлы, 2-орынды атынастар бинарлы, 3-орынды

атынастар тернарлы атынастар деп аталады

1. Егер кез келген x€ A элементi шiн (x,x) €R болса, онда R атынасы рефлексивтi атынас деп аталады.

2. Егер кез келген x,y €A элементтерi шiн (x, y)€ R ó (y, x) €R шарты орындалса, онда R атынасы симметриялы деп аталады.

3. Егер кез келген x, y, z€ A элементтерi шiн (x, y) €R жне (y, z) €R => (x, z) €R шарты орындалса, онда R атынасы транзитивтi деп аталады.

4. Кез келген x€A шiн (x, x)тиісті емесR болса, онда R атынасы иррефлексивтi деп

аталады.

5. Кез келген x,y €A шiн (x, y)€R жне (y, x) €R боландыынан x = y тедiгi

орындалса, онда R атынасы антисимметриялы деп аталады.

A жиынында аныталан рефлексивтi, симметриялы жне

транзитивтi атынас эквиваленттiлiк атынас деп аталады. Функциялар Егер тмендегі шарттар орындалса, онда f атынасын функция деп атайды

dom f=A

Im f B

(x, )

Dom f - функцияны аныталу аймаы, ал Im f - функцияны мндер аймаы. Сонымен, функция бинарлы атынас болады.

f:A B

функциясын инъекция деп атайды, егер кез келген шін x1!=x2 тесіздігінен f(x1)!= f(x2) тесіздігі шыса.

f:A B

функциясын сюръекция деп атайды, егер Im f=B тедігі орындалса.

Егер f:A B

функциясы инъекция жне сюръекция болса, онда оны биекция деп атайды.

f:R R, инъекция да, сюръекция да емес

f:R сюръекция, біра инъекция емес

f:Z инъекция, біра сюръекция емес

f:R ,биекция.