Линейные преобразования случайных функций

Говорят, что случайная функция Х(t) сходится в среднеквадратическом при к случайной величине Х_о, если начальный момент второго порядка стремится к нулю при t ® t_о:

= 0.

Сходимость в среднеквадратическом обозначается символом

Случайная функцияХ(t) называется непрерывной в среднеквадратическом в точке t_о, если

Производной случайной функции X(t) называется случайная функция X¢(t), определяемая как предел в среднеквадратическом отношения приращения случайной функции к приращению неслучайного аргумента:

Для дифференцируемости случайной функции необходимо, чтобы функция X(t)была непрерывной, а для этого непрерывной должна быть ее корреляционная функция. Достаточным условием дифференцируемости функции X(t)в точке t является существование второй смешанной частной производной корреляционной функции при равных значениях ее аргументов.

Интегралом в среднеквадратическом от случайной функции X(t) в постоянных границах от a до b называется предел соответствующей интегральной суммы

где l- наибольший из всех Dt_i, а предел понимается в смысле среднеквадратического.

Линейным однородным преобразованием случайной функции X(t) называется преобразование L_о, обладающее следующими свойствами:

1^о. L_о[X₁(t) + X₂(t)]= L_о[X₁(t)] + L_о[X₂(t)];

2^о. L_о[CX(t)] = CL_о[X(t)].

Примерами линейных однородных преобразований могут служить:

а) оператор дифференцирования ;

б) оператор интегрирования ,

где операции дифференцирования и интегрирования следует понимать в «среднеквадратическом»;

в) оператор умножения случайной функции на неслучайную

Y(t) = j(t)X(t);

г) оператор интегрирования с заданным «весом» .

Линейным неоднородным называется преобразование вида

Y(t) = L_о[X(t)] + f(t),

где f(t)- неслучайная функция.

Каноническим разложением случайной функции называется сумма ее математического ожидания и взаимно некоррелированных элементарных случайных функций

, (9.4)

где случайные величины имеют математические ожидания, равные нулю, и называются коэффициентами канонического разложения, а неслучайные функции - координатными функциями.

Корреляционная функция канонического разложения имеет вид

. (9.5)

При t₁= t₂= t . (9.5а)

9.17.На RC - цепочку, изображённую на рис. 9.1, подаётся

случайное напряжение X(t) c характеристиками и Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию напряжения Y(t) на выходе цепочки.

¢ Дифференциальное уравнение, описывающее связь между входным и выходным напряжениями RC - цепочки, составляется на основе закона Кирхгофа и имеет вид

Решая это уравнение при нулевом начальном условии методом вариации произвольных постоянных, получим:

Таким образом, случайный процесс Y(t) является результатом применения к случайной функции X(t) линейного однородного оператора

Значит,

Дисперсия процесса на выходе равна . £

9.18.На вход дифференцирующего устройства поступает случайный процесс X(t) с математическим ожиданием и корреляционной функцией где - постоянная дисперсия X(t). Определить математическое ожидание и дисперсию на выходе системы.

¢ Реакция имеет характеристики

Полагая , находим дисперсию которая зависит от и от коэффициента характеризующего быстроту затухания корреляционной связи между сечениями случайной функции X(t) при возрастании промежутка между ними.

При малых значениях корреляционная связь затухает медленно, поэтому случайные функции X(t) и Y(t) изменяются со временем сравнительно плавно. Следовательно, дифференцирование X(t) приводит к незначительным ошибкам.

Если же величина велика, корреляционная функция убывает быстро, в составе случайной функции X(t) преобладают резкие беспорядочные колебания, значит, дифференцирование такой функции приведет к большим погрешностям. £

9.19.Случайная функция X(t) задана каноническим разложением:

Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процесса

¢ Запишем каноническое разложение случайного процесса Z(t):

Отсюда следует, что координатные функции

Каноническое разложение корреляционной функции имеет вид

или .

Тогда дисперсия процесса будет равна £

9.20 – 9.29. На вход динамической системы поступает случайный сигнал X(t), характеристики которого известны. Работа системы описывается оператором L. Определить характеристики случайной функции Y(t).

9.20.