Частинні похідні ТА ДИФЕРЕНЦІАЛ

Функції багатьох змінних

 

Означення частинної похідної від функції багатьох змінних. Означення диференціала функції двох змінних. Формула для частинної похідної суми двох функцій. Формула для частинної похідної добутку двох функцій. Формула для частинної похідної частки двох функцій. Формула для повної похідної функції .

Домашнє завдання 3.5

Завдання 1. Знайти частинні похідні функції:

а) ; b) ;c) ;d) .

Відповідь: а) ; b) ;
c) ; d) .

Завдання 2. . Знайти повну похідну функції:

де Відповідь: .

Завдання 3. Знайти частинні похідні функції:

a) , , ; b) , , .

Відповідь: a) ; b) .

Завдання 4. Записати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні в точці . Відп.: .

Завдання 5. Знайти повний диференціал функції:

а) ; b) . ; c) ;

Відповідь: а) ; b) ;

c)

Завдання 6. . Знайти при , , . Відп. .

Завдання 7. . Знайти , при , , , . Відп. .

Завдання 8. Обчислити наближено . Відп. .

Завдання 9. Обчислити . Відп. .

 

Практичне заняття 3.6

Похідні і диференціали вищих порядків.

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

 

Означення частинної похідних , і від функції . У якому випадку ? Означення диференціала другого порядку від функції . Вираз для диференціала другого порядку від функції . Формула Тейлора для функції .

Домашнє завдання 3.6

Завдання 1.Знайти частинні похідні другого порядку від функції

a) ; b) ; c) .

Відповідь: a) , , .

b) , ; .

c) , , .

Завдання 2.Знайти частинні похідні і від функції .

Відповідь: ;

Завдання 3.Показати, що функція задовольняє рівняння .

Завдання 4.Знайти диференціал другого порядку для функції .

Відповідь: .

Завдання 5. Знайти диференціал третього порядку для функції

Відповідь: .

Завдання 6.Подати функцію формулою

Тейлора в околі точки (2; –1).

Відповідь:

Завдання 7.Подати функцію формулою Маклорена з трьома членами. Відповідь: .

Завдання 8. Подати функцію в околі точки , користуючись. формулою Тейлора з трьома членами. Відповідь: .

Практичне заняття 3.7

Екстремуми функцій багатьох змінних

 

Означення локального максимуму (мінімуму) функції двох змінних . Необхідна умова локального максимуму (мінімуму) функції двох змінних . Достатня умова локального максимуму (мінімуму) функції двох змінних . Означення умовного екстремуму функції двох змінних.

Домашнє завдання 3.7

Завдання 1. Показати, що функція не має екстремуму на початку координат.

Завдання 2.Показати, що функція має мінімум на початку координат.

Завдання 3. Дослідити на екстремум функції:

a) ;

b) ;

c) .

Відповідь:a) ; b) ; c) .

Завдання 4. Знайти найбільше та найменше значення
у замкненій області, обмеженій прямими , , .

Відповідь: .

Завдання 5. Знайти найбільше та найменше значення функції y замкненій області, обмеженої прямими .

Відповідь: .

Завдання 6. Визначити екстремуми функції за умови .

Відповідь:

Завдання 7. Визначити екстремум функції , якщо .

Відповідь: .

Завдання 8. Визначити екстремум функції , якщо .

Відповідь: .