тоді потрібні додаткові дослідження.

Алгоритмдослідження функції на екстремум

1. Знайти перші частинні похідні та .

2. Знайти стаціонарні точки, тобто точки, в яких , .

3. Знайти частинні похідні другого порядку , , .

4. Обчислити значення частинних похідних другого порядку в стаціонарних точках.

5. Для кожної стаціонарної точки знайти і зробити висновки на базі теореми 11.

Приклад. Розглянемо функцію .

l 1. Знайдемо , .

2. Необхідна умова існування екстремуму полягає в тому, що . Розв’язком цієї системи є точка з координатами , . Таким чином, у точці (1; 2) функція може мати екстремум.

3. Знайдемо похідні другого порядку , , , звідки дістаємо, що .

4. Як випливає з пункту 5 алгоритму знаходження екстремуму — екстремум у точці (1; 2) існує. Це максимум, бо .

Приклад. Дослідити на екстремум функцію двох змінних:

l Знайдемо і :

, .

2. Необхідна умова екстремуму: .

Отже, (0; 0) — стаціонарна точка.

3. Знайдемо , , :

, , .

4. У точці (0; 0)

, , .

5. Точка (0;0) — мінімум, хоча це ясно і безпосередньо.

9. Економічний зміст
частинних похідних

Аналогічно поняттю еластичності функції однієї змінної ми можемо ввести поняття частинних еластичностей функції двох змінних.

Припустимо, що функції і виражають попит на товари і , який залежить від ціни на ці товари. Частинні еластичності попиту відносно цін і подаються у вигляді:

, ,

, .

Частинна еластичність попиту на товар відносно ціни товару приблизно означає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар , якщо ціна товару зростає на 1%, а товару залишається незмінною.

Приклад. Припустимо, що функція попиту на товар є

Знайти частинні показники еластичностей.

l Маємо , .

Для , дістаємо .

Це означає, що коли ціна товару зростає на 1%, а товару залишається без змін, тоді попит на товар знижується на 0,3%. Далі, , тобто якщо ціна товару зростає на 1% при незмінній ціні товару , попит на товар зростає приблизно на 0,05%.