Необходимые условия точки перегиба: критические точки

Исследование функций и построение графиков

Общая схема исследования функции

- Область определения

- Нули функции

- Четность

- Периодичность

- Наличие асимптот

- Монотонность функции

- Экстремумы

- Выпуклость функции

- Точки перегиба

Асимптоты

Вертикальная асимптота функции - это прямая x=a такая, что хотя бы один из односторонних пределов равен . Например, функция

Имеет вертикальную асимптоту х=2

Наклонная асимптота функции - это прямая y=ax+b такая, что предел разности между значениями функции и этой прямой равен 0 при . Например, функция

Имеет наклонную асимптоту

Необходимые и достаточные условия экстремума функции

Для нахождения экстремума функции требуется:

· определить точки, в которых он возможен (точки, подозрительные на экстремум)

· выяснить, действительно ли он имеет место

· распознать характер экстремума

Критическими точками будем называть такие точки, в которых функция может иметь экстремум. А это точки, в которых производная равна 0 или не существует. При этом стационарной точкой обычно называют такую точку х₀, в которой производная (скорость) равна нулю:

f ^‘(х₀) = 0

Первое достаточное условие

Пусть непрерывная функция f (х) дифференцируема в -окрестности точки х₀, за исключением, может быть, самой этой точки.

Если в этой точке производная меняет знак, то имеет место локальный экстремум.

 

Ниже на рисунке 6 изображен график функции

Рис. 6

 

Пусть для определенности

f ’ (х₀ – 0) < 0, а f ^‘(х₀ + 0) > 0.

Покажем, что в этом случае имеет место минимум. Воспользуемся формулой Лагранжа:

f (х₀ + х) – f (х₀) ~ f’ (х₀) х.

В левой окрестности: х < 0, f’ (х₀ + х) < 0,
а значит, f (х₀ + х) > f (х₀).

В правой окрестности: х > 0, f’ (х₀ + х) > 0,
и значит, f (х₀ + х) > f (х₀).

Изображённая на рисунке функция не имеет производной в точке минимума (угол).

Если в критической точке производная функции меняет знак с минуса на плюс, то имеет место минимум, а если с плюса на минус - максимум.

min max

Первое достаточное условие годится для любых критических точек и является универсальным.

Второе достаточное условие

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема на отрезке [а, b] и имеет на этом отрезке стационарную точку (f ’ (х₀) = 0).

Если в этой точке вторая производная отлична от нуля, то имеет место локальный экстремум.

 

Формула Тейлора

f (x) = f (х₀) +

в стационарной точке принимает вид:

f (x) = f (х₀) + .

Так как в любой окрестности х₀ (правой и левой) (х — х₀)² > 0, то в -окрестности точки х₀ выполняются неравенства:

если f" (x₀) > 0, то f (х) > f (х₀) – min

если f" (x₀) < 0, то f (х) < f (х₀) – max

Итак, если вторая производная в стационарной точке больше нуля, то имеет место минимум, а если меньше нуля, то максимум.

Выпуклость функции

При исследовании функции и построении ее графика, помимо экстремума, используется ещё несколько важных понятий.

Выпуклость вверх и вниз

Функция f (x) имеет выпуклость вверх (вниз) в точке x₀, если касательная в окрестности этой точки располагается выше (ниже) этой кривой.

Задача 1

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет производные первого и второго порядка.

Показать, что по знаку производной второго порядка можно судить о том, функция в этой точке выпукла вверх или вниз.

Формулу Тейлора

f (x) =

можно записать в следующем виде:

f (x) ~ (*)

По определению, если f (x) < у_кас, то функция выпукла вверх, а если f (x) > у_кас, то функция выпукла вниз. Таким образом из формулы (*) следует:

f" (x₀) > 0 — выпуклость вниз

f" (x₀) < 0, — выпуклость вверх

Точка х₀ называется точкой перегиба, если она разделяет у непрерывной функции области выпуклости вверх и вниз.

Вопрос: Индентифицируйте точки А, В, С, заданные на рисунке.

Ответ: А — точка выпуклости вверх, В — точка выпуклости вниз, С — точка перегиба.

Проходящая через точку перегиба касательная, частично лежит выше кривой, а частично ниже.

Необходимые условия точки перегиба: критические точки

Критическими точками 2 рода мы будем называть такие точки, в которых функция может иметь перегиб.

Точка х₀ является критической точкой относительно перегиба, если выполняется одно из двух условий:

1. f" (x₀) = 0,

2. f" (x₀) — не существует или обращается в .