Побудова експериментальної функції щільності ймовірності розподілення похибок вимірювань.
Національний Технічний Університет України "Київський Політехнічний Інститут" Інститут телекомунікаційних систем
Розрахунково-графічна робота з дисципліни:
"Метрологія, стандартизація, сертифікація і акредитація"
На тему: «Вивчення похибки багаторазових вимірювань параметрів елементів радіоелектронної апаратури (РЕА)»
Виконав:
ст. гр. Т3-91
Божок А.А.
Захистив роботу
“____ “___________ 2010 р.
на оцінку:
Київ -2010
Виконання роботи:
Вихідні данні:
Найменування елемента РЭА: індуктивність;
Результати вимірювань значень параметрів РЭА:
| Номер заміру | Значення параметру | i | i2 |
| 1 | -52,3 | 2735,29 | |
| 2 | -49,3 | 2430,49 | |
| 3 | -48,3 | 2332,89 | |
| 4 | -46,3 | 2143,69 | |
| 5 | -42,3 | 1789,29 | |
| 6 | -41,3 | 1705,69 | |
| 7 | -39,3 | 1544,49 | |
| 8 | -33,3 | 1108,89 | |
| 9 | -20,3 | 412,09 | |
| 10 | -16,3 | 265,69 | |
| 11 | -15,3 | 234,09 | |
| 12 | -14,3 | 204,49 | |
| 13 | -8,3 | 68,89 | |
| 14 | -3,3 | 10,89 | |
| 15 | 1,7 | 2,89 | |
| 16 | 1,7 | 2,89 | |
| 17 | 10,7 | 114,49 | |
| 18 | 12,7 | 161,29 | |
| 19 | 14,7 | 216,09 | |
| 20 | 17,7 | 313,29 | |
| 21 | 19,7 | 388,09 | |
| 22 | 27,7 | 767,29 | |
| 23 | 29,7 | 882,09 | |
| 24 | 30,7 | 942,49 | |
| 25 | 33,7 | 1135,69 | |
| 26 | 35,7 | 1274,49 | |
| 27 | 44,7 | 1998,09 | |
| 28 | 47,7 | 2275,29 | |
| 29 | 49,7 | 2470,09 | |
| 30 | 51,7 | 2672,89 |
Номінальне значення: 278 мГн
| М(X) | i | сер | |
| 277,3 | 33,53038 | 6,121781 |
Середньоквадратичне відхилення:
= 33,53038 мГн 
Дисперсія:
1124,286 мГн
Середньоквадратичне відхилення середнього арифметичного:
= 6,121781 мГн
Математичне сподівання:
М(X)= 
= 277,3 мГн
Перевірка ряду значень на наявність грубих похибок.
Це легко зробити по ряду квадратів залишкових відхилень i2. Виділяється значення можна вважати промахом тільки в тому випадку, якщо ймовірність його появи є досить малою, тобто меншою, ніж це передбачає закон розподілу випадкових похибок. Вирахувати величину:
Знайденні значення ti порівнюють с tкр :
якщо ti > tкр то результат прибираємо
якщо ti < tкр то результат залишаємо у ряді
Максимальне значення: 51,7
Мінімальне значення: -52,3
tmax= 
1,541885
tmin= 
= 1,55978
По таблиці tкр=2.64
tmax < tкр и tmin < tкр значить у нашому ряду значень грубих похибок немає.
Розрахунок значення параметра найбільш близького до справжнього значення і його похибка при довірчій ймовірності 0,95.
Для кількості вимірювань n = 30> 20 довірчий інтервал знаходиться за допомогою функції розподілу Лапласа Ф(z), значення якої наведено у таблицях,
Ф(z)=Pд 
,
де Pд =0,95 – довірчий інтервал.
Для Ф(z)=0,95 z=1,96
За формулою D=z*
,
деz – аргумент функції Лапласа
D=1,96*6,121781 =11,99869 мГн
Тоді результат буде записуватися в такому вигляді:
МГн
Побудова гістограми
Розіб'ємо весь діапазон значень, які приймає досліджувана величина на під діапазони (розряди). У відповідності з теорією, розряди можуть бути як однаковою довжини, так і різної. У даному випадку зручно вибирати розряди різної довжини.
| Номер розряду | Діапазон | Значення, що попадають у діапазон | |||
| -55…-44 | -52,3 | -49,3 | -48,3 | -46,3 | |
| -44…-33 | -42,3 | -41,3 | -39,3 | -33,3 | |
| -33…-15 | -20,3 | -16,3 | -15,3 | ||
| -15…0 | -14,3 | -8,3 | -3,3 | ||
| 0…11 | 1,7 | 1,7 | 10,7 | ||
| 11…22 | 12,7 | 14,7 | 17,7 | 19,7 | |
| 22…33 | 27,7 | 29,7 | 30,7 | ||
| 33…45 | 33,7 | 35,7 | 44,7 | ||
| 45…55 | 47,7 | 49,7 | 51,7 |
Тоді статистичний ряд буде мати наступний вигляд:
| № інтервалу | Інтервал | К-ть значень mi | Статистична ймовірність рі = mi/n попадання в інтервал | Довжина діапазон ( li ) | Висота стовпчика гістограми h=pi/li |
| -55…-44 | 0,133333 | 0,012121 | |||
| -44…-33 | 0,133333 | 0,012121 | |||
| -33…-15 | 0,1 | 0,005556 | |||
| -15…0 | 0,1 | 0,006667 | |||
| 0…11 | 0,1 | 0,009091 | |||
| 11…22 | 0,133333 | 0,012121 | |||
| 22…33 | 0,1 | 0,009091 | |||
| 33…45 | 0,1 | 0,008333 | |||
| 45…55 | 0,1 | 0,01 | |||
Побудуємо гістограму
Гістограма будується наступним чином: по осі абсцис відкладаються розряди, і на кожному з розрядів як їх підставі будується прямокутник, площа якого дорівнює частоті даного розряду. Ця умова виконується, якщо висота прямокутника визначається як відношення частоти кожного розряду до довжини цього розряду:
Побудова експериментальної функції щільності ймовірності розподілення похибок вимірювань.
| № інтервалу | Границя інтервалу | Експериментальна щільність, pi/li |
| -55 | 0,012121 | |
| -44 | 0,012121 | |
| -33 | 0,005556 | |
| -15 | 0,006667 | |
| 0,009091 | ||
| 0,012121 | ||
| 0,009091 | ||
| 0,008333 |
Графік експериментальної функції розподілення щільності ймовірності
Теоретичні відомості
Основне завдання мат. статистики - розробка методів реєстрації, опису й аналізу експериментальних даних, що утворюються в результаті спостережень випадкових числових явищ.
Метою є побудова найбільш точної мат. моделі спостережуваного явища з можливістю подальшого прогнозування.
Об'єктом спостереження є деяка сукупність експериментальних даних, отриманих у результаті деякого експерименту або яким або іншим шляхом.
Перший крок - першорядна обробка даних з метою зведення до більш зручного виду для дослідження.
Статистичний ряд розподілу якої-небудь випадкової величини А - таблиця, що складається з інтервалів, на які розбитий весь діапазон значень А, і частот входження значень А в даний діапазон ( рi=mi/n, де mi - кількість значень А, які потрапляють в i -й проміжок).
Гістограма – спосіб графічного представлення статистичного ряду. Побудова здійснюється: на осі абсцис відкладаються інтервали, і на кожному інтервалі будується стовпчик, площа якого відповідає частоті в i -му інтервалі.
Математичне сподівання – чисельна характеристика, що визначає деяку середньостатистичну величину, визначається за формулою:
Де ai - значення випадкової величини в i-му спостереженні, n - число спостережень.
Середньоквадратичне відхилення – кількісна характеристика розподілу випадкової величини, яке визначає певний середньо очікуване відхилення значень випадкової величини від її середнього статистичного. 
, де Di -відхилення виміряного значення від заданого
Дисперсія – числова характеристика розподілу, що визначає ступінь розкиду випадкової величини біля її математичного сподівання.
Де ai - значення випадкової величини в i -му спостереженні, n - число спостережень.
Наступний крок – підбор відповідно для отриманих даних мат. моделі, яка буде найбільш точно описувати випадковий процес, характеристики якого визначаються в процесі даного дослідження.
Одним з найбільш поширених видів математичної моделі випадкових процесів - є функція розподілу щільності ймовірності.
Її визначають як похідну функції розподілу випадкової величини. Її сенс: встановлення залежності розподілу площині ймовірності випадкової величини від значень цієї величини (функція, що описує ймовірність потрапляння значення випадкової величини в деяку околицю значення цієї величини, віднесену до протяжності цієї околиці).
Процес вибору мат. моделі отримав назву «вирівнювання статистичних рядів». Його суть полягає у виборі теоретичної кривої розподілу, яка висловлює лише загальні риси статистичного матеріалу, відкидаючи випадкові, пов'язані з недостатнім обсягом експериментальних даних.
Якщо під час перевірки оптимізується негативний результат, завдання побудови мат. моделі вважається невиконаною і вимагає на другому етапі більш детального аналізу.
Всі знайдені результати запишемо в таблицю:
| Параметр | Результат |
| Математичне сподівання (середнє арифметичне) | 277,3 мГн |
| Дисперсія | 1124,286 мГн |
| Середньоквадратичне відхилення | 33,53038 мГн |
| Середньоквадратичне відхилення середнього арифметичного | 6,121781 мГн |
| Наявність грубих помилок | немає |
| Довірчий інтервал | 11,99869 мГн |
Висновки:
У ході виконання роботи було проаналізовано ряд значень, отриманий у ході вимірювання елементів РЄА. Всі вимірювання можна вважати достовірними, оскільки грубих помилок не знайдено і отриманий результат:
((277,3 
11,99869) мГн
В результаті проведених розрахунків можна зробити висновок, що параметри елемента РЄА – індуктивності є випадковими величинами. Збільшення кількості вимірювань призведе до зростання ймовірності.
У процесі виконання роботи ширина досліджуваних інтервалів вибиралася не однаковою.
Література:
[1] Л. В. Коломієць Електрорадіоізмеренія: Навчальний посібник для вузов.-Л.: Энергоатомиздат. Ленінгр. отд-ня, 1983.-320 с., мул.
[2] Конспект лекцій (за А. А. Вульпе)