Основные теоретические сведения

ИссЛЕДОВАНИЕ динамики непрерывных систем

С ХАОТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ

Цель работы

Освоить основные понятия нелинейной динамики, такие как особые точки, предельный цикл, странный аттрактор; научиться исследовать поведение системы с непрерывным временем по таким характеристикам, как динамика локальных максимумов временной реализации, фазовый портрет, странный аттрактор.

Определение хаотической динамики.

Хаос представляет собой сложную форму поведения детерминированной системы в установившемся режиме. Хотя эволюция этой системы однозначно определяется динамическими законами и на нее не действуют никакие случайные силы, тем не менее, динамика системы в является стохастической

Основным свойством таких систем является чувствительная зависимость режима функционирования к сколь угодно малым изменениям начальных условий. Это обстоятельство ведет к потере детерминированной предсказуемости и необходимости вводить вероятностные характеристики для описания динамики систем с хаотическим поведением.

Характеристики хаотической динамики.

Обычно первым признаком хаотической динамики является нерегулярное поведение временной эволюции системы. Траектория движения выглядит подобно случайному сигналу. Для хаотических сигналов характерен широкий спектр Фурье временного ряда и экспоненциально убывающая корреляционная функция. Функция распределения вероятностей определяет вероятность нахождения траектории системы в данной области фазового пространства.

Если рассматривать изменяющиеся со временем координаты точки в -мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление состояния динамической системы в виде этой точки, которую называют фазовой точкой, а пространство состояний - фазовым пространством динамической системы. Изменению состояния системы во времени отвечает движение фазовой точки вдоль некоторой линии, называемой фазовой траекторией.

Фазовые траектории хаотического процесса никогда не бывают замкнутыми, не повторяются и стремятся заполнить некоторую область фазового пространства, называемую странным аттрактором. Странный аттрактор занимает ограниченную область фазового пространства системы, к которому притягиваются все достаточно близкие траектории. Сам аттрактор состоит как бы из одной траектории, т.е. с течением времени траектория должна пройти через каждую точку аттрактора. Аттрактор обладает сильной чувствительностью к начальным условиям. Странный аттрактор имеет сложную фрактальную структуру и дробную размерность Хаусдорфа.

Множество называются фрактальным, если оно обладает свойством самоподобия (масштабной инвариантности). Это значит, что некоторые фрагменты его структуры строго повторяются через определенные пространственные промежутки. Фрактальные объекты могут иметь любую природу, причем их вид и форма остаются неизменными независимо от масштаба.

Математические модели хаотических систем.

Хаотические системы практически не поддаются аналитическому описанию. Поэтому основная роль в их исследовании принадлежит численному моделированию.

Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан оператор эволюции. В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели. Исследование реальных систем сводится к изучению математических моделей и анализу экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении.

Одними из самых простых и наглядных математических моделей, демонстрирующих хаотическое поведение, являются итерируемые отображения . Для широкого класса нелинейных функций последовательность значений является хаотической.

Одним из самых распространенных операторов эволюции являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений . Траектория называется -мерным потоком. Для систем с наличием диссипации (трения) все траектории притягиваются к некоторому множеству (аттрактору), размерность которого меньше, чем у исходного фазового пространства.

В случае регулярного потока движение на аттракторе является простым. Это может быть, например, неподвижная точка или периодическая траектория. Для двумерных потоков существуют фактически только эти две возможности. Для трехмерных (и большей размерности) потоков существуют аттракторы с очень сложной геометрической (фрактальной) структурой - странные аттракторы.

Методы исследования непрерывных систем с хаотическим поведением.

Одномерные отображения упрощают исследование сложных процессов, представленных временной реализацией x(t). Пусть мы наблюдаем за каким-либо сложным процессом, развивающимся во времени и характеризующимся функцией x(t). Поступим следующим образом. Выделим локальные максимумы функции x(t). Первый максимум обозначим через М₁ , второй через m₂ , k-йчерез M_k (см рис. 2.1 а). Первый максимум достигается в момент t₁,второй в момент t₂ и т.д. На плоскости {M_k,M_k₊₁}будем откладывать точки с координатами (M_k,M_k₊₁), т. е., первая точка будет (M₁,M₂) , вторая - (M₂,M₃) и т.д.

Оказывается, для некоторых колебательных реакций, математических моделей гидродинамики и ряда других систем точки {M_k,M_k₊₁} с высокой точностью ложатся на однозначные непрерывные кривые M_n₊₁= f(M_n). Типичный вид отображения, возникающего при исследовании колебательных реакций с хаотическим поведением, представлен на рисунке 2.1 б.

Рис. 2.1

Наличие такой функции f позволяет в ряде случаев строить простые модели изучаемых явлений. Такие модели, в частности, дают возможность по предыдущим значениям локальных максимумов предсказывать следующие, т. е. прогнозировать дальнейший ход процесса, исходя из его предыстории.

Естественно, в общем случае при анализе экспериментальных данных точки (M_n,M_n₊₁) заполняют целые области на плоскости {M_n,M_n₊₁} Поэтому если какие-то экспериментальные данные определяют одномерное отображение, то это следует рассматривать как большую удачу.

Одним из широко используемых методов исследования нелинейных динамических систем является построение бифуркационной диаграммы. Изменение значения некоторого параметра системы может привести к изменению числа и устойчивости решений. Такое явление называется бифуркацией системы, а значение параметра – точкой бифуркации. На бифуркационной диаграмме решение системы откладывается как функция параметра . Многие системы демонстрируют переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, который характерен для логистического отображения.