Температурная зависимость сопротивления полупроводников

Поскольку электроны и дырки в полупроводнике представляют собой невырожденную систему, то его проводимость можно рассматривать с классической точки зрения. Выражение для плотности тока в скалярном виде записывается как

. (8)

где n и p – концентрации электронов и дырок, u_n и u_p – их дрейфовые скорости. При не слишком высоких значениях напряженности поля эти скорости пропорциональны ее величине.

, . (9)

Здесь b_n и b_p – подвижности электронов и дырок соответственно.

Для проводимости металлов в классической теории была получена формула , где в знаменателе стоит масса свободного электрона. С другой стороны из (8) и (9) можно получить проводимость в виде . Приравнивая эти выражения для проводимости, получим

, (10)

где время свободного пробега выражено через среднюю длину свободного пробега и среднюю квадратическую скорость теплового движения электронов . Выражение (10) справедливо для электронов и дырок в полупроводнике, если под массой подразумевать их эффективные массы.

В области высоких температур рассеяние носителей происходит преимущественно на тепловых колебаниях решетки, т.е. фононах. Длина пробега носителей обратно пропорциональна температуре . Кроме того тепловая скорость электронов пропорциональна корню из температуры . Тогда подвижность .

При низких температурах рассеяние носителей происходит в основном на ионизированных примесных атомах. Этот процесс похож на рассеяние частиц на ядрах, подробно изученное Э. Резерфордом. Заряженная частица, пролетая мимо ядра, отклоняется от первоначального направления движения так, что траектория имеет вид гиперболы. Длина свободного пробега пропорциональна четвертой степени скорости . Кроме того, длина свободного пробега обратно пропорциональна концентрации примесей N, поскольку чем больше примесных ионов, тем чаще носитель взаимодействует с ними. Тогда подвижность пропорциональна температуре в степени 3/2. .

Как было показано выше. удельная проводимость может быть записана в виде . Зависимость этой величины от температуры обусловлена соответствующими зависимостями концентрации носителей и их подвижностей. Зависимость подвижностей при всех температурах является степенной. В тех температурных интервалах, когда концентрация носителей имеет экспоненциальную зависимость от температуры, именно она определяет результирующую зависимость проводимости от температуры.

Концентрации электронов и дырок в собственном полупроводнике имеют выражение:

, (11)

Если полупроводник легирован примесями иной валентности, то концентрации электронов и дырок в электронном и дырочном полупроводниках даются выражениями:

, (12)

. (13)

Здесь E_d и N_d – энергия активации примеси (разность энергии дна зоны проводимости и донорного уровня) и концентрация донорных примесных атомов соответственно, E_g – ширина запрещенной зоны. Эффективные массы электронов и дырок обозначаются как m_n и m_p.

Из всего сказанного можно сделать вывод, что зависимость удельной проводимости от температуры имеет характер

(14)

при низких температурах, когда осуществляется ионизация примесей, либо

(15)

при высоких температурах, когда интенсивно генерируются собственные носители.

Энергии активации определяются по наклону прямолинейного участка графика зависимости от обратной температуры T^–1. Это либо расстояние от примесного уровня до границы зоны, либо ширина запрещенной зоны.