Решение Каждому такому числу однозначно соответствует выбор 6-ти цифр из набора 9876543210. Ответ: C106.

Ответ

а) 13800; б) 2300.

 

3.В магазине ``Все для чая'' есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

 

4.В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В - 4 дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Ответ 6*4=24

5. В Стране Чудес есть четыре города: А, Б и В и Г. Из города А в город Б ведет 6 дорог, из города Б в город В - 4 дороги, из города А в город Г - две дороги, и из города Г в город В - тоже две дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

 

5. В магазине ``Все для чая'' по-прежнему продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

 

6. Назовем натуральное число ``симпатичным'' , если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4-значных ``симпатичных'' чисел?

 

7. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить? Ответ 8 =2*2*2.

8. Каждую клетку квадратной таблицы 2 × 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы? Ответ 16 = 2⁴.

 

9. Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее ``Спортпрогноз''? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча - победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет).

 

10. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Указание. Сосчитайте отдельно количества одно-, двух-, трех- и четырехбуквенных слов.

11. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

 

12. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

 

13. В киоске ``Союзпечать'' продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?

14. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова ``КРУЖОК''?

15. На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 2 прилагательных. Для предложения нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей речи. Сколькими способами это можно сделать?

16. У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?

Ответ 20*20 + 10*10 = 500

17. Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно использовать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

Ответ 3^6

18. Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов?

Ответ 18*17 / 2 = 153

19. В пассажирском поезде 17 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 17 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

Ответ 17!

20. Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата России по футболу, в котором играет 16 команд? (Является важным, кто хозяин поля).

Подсказка

Сопоставьте каждому упорядочению 16 команд (число таких упорядочений равно 16!) некоторое расписание игр первого тура.

Решение

Можно расставить 16! способами 16 команд на 16 местах, после чего разбить их на пары 1-2, 3-4, ... , 15-16 (команды с нечётными номерами - хозяева, с чётными - гости). Но при этом каждое разбиение на пары в этих вариантах встреча-ется 8! раз (количество способов переставить 8 пар по порядку). Таким образом, количество расписаний первого тура равно 16! : 8! = 518918400.

Ответ 518 918 400.

21. Слово - любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов

а) ``ВЕКТОР'';

б) ``ЛИНИЯ'';

в) ``ПАРАБОЛА'';

г) ``БИССЕКТРИСА'';

д) ``МАТЕМАТИКА'';

Решение

а) Так как все буквы слова различны, то всего можно получить 6! слов.

б) В этом слове две буквы И, а все остальные буквы разные. Временно будем считать разными и буквы И, обозначив их через И и И . При этом предположении получится 5!=120 разных слов. Однако те слова, которые получаются друг из друга только перестановкой букв И и И , на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 120 слов разбиваются на пары одинаковых. Поэтому разных слов всего 120:2 = 60.

в) Считая три буквы А этого слова различными (А , А , А ), получим 8! разных слов. Однако слова, отличающиеся лишь перестановкой букв А, на самом деле одинаковы. Поскольку буквы А , А , А можно переставлять 3! способами, все 8! слов разбиваются на группы по 3! одинаковых. Поэтому разных слов всего 8!/3!.

г) В этом слове три буквы С и две буквы И. Считая все буквы различными, получаем 11! слов. Отождествляя слова, отличающиеся лишь перестановкой букв И, но не С, получаем 11!/2! различных слов. Отождествляя теперь слова, отличающиеся перестановкой букв С, получаем окончательный результат 11!/(2! 3!).

д) Ответ: 10!/(3! 2! 2!).

 

22. На плоскости дано n прямых общего положения. Чему рано число образованных ими треугольников?

Ответ Cn3.

23. Сколько можно составить разных бус из семи разноцветных бусин?

Решение

Всего из 7 разных бусин можно составить 7*6*...*2*1 = 7! = 5040 упорядоченных последовательностей. Поскольку мы не различаем бусы, отличающиеся друг от друга только поворотом, то это число нужно поделить на 7; кроме того, мы считаем одинаковыми и симметричные бусы, поэтому оставшееся число нужно разделить еще на 2. В итоге получаем 5040 / 14 = 360 разных бус.

Ответ 360.

24. Сколькими способами можно разложить 9 орехов по трем карманам? (Карманы разные, а орехи одинаковые.)

Решение

В первый карман мы можем положить любое число орехов от 0 до 9. В каждом из этих 10 случаев подсчитаем, сколько орехов можно положить во второй карман; например, если в первый карман положен один орех, то во второй можно положить любое число орехов от 0 до 8 — всего 9 способов. Если мы определили, сколько орехов кладем в первые два кармана, то число орехов в третьем определяется однозначно. Поэтому общее число способов равно 10 + 9 + 8 + ... + 1 + 0 = 55.

Ответ 55.

25. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию из восьми человек. Сколькими способами можно составить комиссию, если в нее должен входить хотя бы один математик?

Ответ 2 ^. C₁₀⁷ + 1 ^. C₁₀⁶.

26. Сколько диагоналей имеет выпуклый:
а) 10-угольник; б) k-угольник (k > 3)?

Ответ б) Ck2 - k.

27. Полоска 1*10 разбита на единичные квадраты. В квадраты записывают числа 1, 2, ..., 10. Сначала в один какой-нибудь квадрат пишут число 1, затем число 2 записывают в один из соседних квадратов, затем число 3 - в один из соседних с уже занятыми и т. д. (произвольными являются выбор первого квадрата и выбор соседа на каждом шагу). Сколькими способами это можно проделать?

Решение

Пусть 1 стоит в i-м слева квадрате полосы. Расстановка остальных чисел однозначно определяется набором чисел, стоящих левее 1. Таких наборов ровно C₉^{i – 1} (так как в каждом наборе фиксирован порядок чисел), а общее количество способов равно
C₉⁰ + C₉¹ + C₉² + C₉³ + C₉⁴ + C₉⁵ + C₉⁶ + C₉⁷ + C₉⁸ + C₉⁹ = 2⁹ = 512.

Ответ 512-ю способами.

28. 6 ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров (на этот раз некоторые ящики могут оказаться пустыми)?

Решение

Рассмотрим ряд из 25 предметов: 20 одинаковых шаров и 5 одинаковых перегородок, расположенных в произвольном порядке. Каждый такой ряд однозначно соответствует некоторому способу раскладки шаров по ящикам: в первый ящик попадают шары, расположенные левее первой перегородки, во второй - расположенные между первой и второй перегородками и т.д. (между какими-то перегородками шаров может и не быть). Поэтому число способов раскладки шаров по ящикам равно числу различных рядов из 20 шаров и 5 перегородок, т.е. равно С(25, 5) (ряд определяется теми пятью местами из 25, на которых стоят перегородки).

 

29. Сколькими способами 4 черных шара, 4 белых шара и 4 синих шара можно разложить в 6 различных ящиков?

Ответ C(9, 5)^3

30. Сколькими способами 3 человека могут разделить между собой 6 одинаковых яблок, один апельсин, одну сливу и один мандарин?

Ответ C(8, 2)*3*3*3 = 756

31. Было 7 ящиков. В некоторые из них положили еще по 7 ящиков и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков. Сколько всего стало ящиков?

Решение

При каждой операции заполняется один пустой ящик. Поскольку стало 10 непустых ящиков, то было проведено 10 операций. Вначале было 7 ящиков, и при каждой операции добавлялось еще по 7. Поэтому в результате стало 77 ящиков.

32. Сколько существует 6-значных чисел, у которых каждая последующая цифра меньше предыдущей?

Решение Каждому такому числу однозначно соответствует выбор 6-ти цифр из набора 9876543210. Ответ: C106.