Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

 

10. 1 Цель работы

 

Целью данной работы является изучение численного метода Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, приобретение навыков использования соответствующих численных методов с применением программных средств автоматизации вычислений.

 

Также рассмотрены модификации метода Эйлера.

 

 

 

 

10.2 Задание

Таблица 10.1

№ ОДУ Точное решение a b dop
0.2 1.6 0.05
0.2 0.5
0.5 0.9
0.01
0.02
0.02
0.015
0.5 0.003
0.5 0.07

 

10.3 Теоретические сведения

 

Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения включают соотношения между искомыми функциями и их производными.

Определение : Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (далее чаще используется сокращение ОДУ).

ОДУ 1 – го порядка, разрешенное относительно старшей производной, может быть записано в виде

(1)

Решить (или проинтегрировать) дифференциальное уравнение - значит определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

Решением (или интегралом) уравнения (1) называется всякая дифференцируемая функция y = j(x) , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. такая, после подстановки которой в уравнение (1) оно обращается в тождество. График решения ОДУ называется интегральной кривой этого уравнения.

Общее решение ОДУ может быть записано в виде

y = j(x)+const , (2)

Частным решением ОДУ называется всякое решение, полученное из общего при определенных значениях произвольных постоянных, входящих в общее решение. Произвольные постоянные определяются из заранее заданных условий. Условия могут быть начальными или граничными.

Постановка соответствующей задачи Коши для ОДУ первого порядка

у' (x)=f (y(x),x) (4)

и одно начальное условие при x=x0 y(x0)=y0 (5)

Требуется определить функцию y(x) на интервале от x0 до b .

 

Приближенные методы решение ОДУ можно разделить на две группы:

- аналитические методы, дающие приближенное решение в виде аналитического выражения;

- численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.

Метод Эйлера относится к численным методам решения ОДУ.

Метод Эйлера.

.

Пусть дано ОДУ первого порядка

с начальным условием

 

Требуется найти решение на отрезке [a , b] .

Семейство интегральных кривых ( сплошная и пунктирные линии) представляет общее решение дифференциального уравнения.  

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей, получим последовательность узлов x0, x1, . . . , xn , где xi = x0 +i×h (i=0,1,…,n), а - шаг интегрирования. Точное решение (сплошная линия) в соответствии с начальными условиями проходит через точку А0 с координатами (x0,y0). Заменим точное решение y =j(x) касательной к интегральной кривой в точке А0 при x=x0 (рис.10.1)

При x=x1 получим точку А1 с ординатой y1=y0+h×tga0. Но tga0=y’(x0) и, учитывая (4), получим y1=y0+h×f(x0,y0), где f(x0, y0) - функция, характеризующая наклон касательной в точке А0. Выполнив аналогичную процедуру в точке А1, найдем ординату точки А2 :

y2=y1+h×f(x1, y1).

В общем случае дляi-ой точки можно записать yi+1=yi+h× f(xi ,yi ). Глобальная (суммарная) ошибка в конце отрезка [a, b] будет О(h),

Первый модифицированный метод Эйлера.

 

Сначала на каждом i -ом шаге, как и в методе Эйлера, используя наклон касательной в точке Ai (х=xi), вычисляют промежуточное значение yi+1/2 , но не на всей длине шага h , а на его половине в средней точке Ac (х=xi+1/2) каждого интервала [xi , xi+1] (Рис.10.2.):

Затем находят направление касательной fi+1/2 в середине интервала в точке Ac (х=xi+1/2=xi+h/2) :  

Это направление и принимают за окончательное при вычислении ординаты точки Ai+1 на всем интервале h от точки Ai:

Подставив в последнюю формулу два предыдущих выражения, получим одну результирующую формулу для вычисления ординаты точки Ai+1:

На рис.10.2 точка E при х= xi+1 была бы получена методом Эйлера, в этом методе будет получена точка Ai+1.

 

Второй модифицированный метод Эйлера

Этот метод иногда называют методом Эйлера с пересчетом.

Сначала определяют значение ординаты yE в точке E как и в методе Эйлера (Рис.10.3.): yE=yi+h×f(xi, yi).

В точке E вычисляют направление проходящей через нее интегральной кривой fE=f(xi+1,yE).

В качестве окончательного значения направления кривой на всем отрезке h принимают среднее арифметическое значение от направлений f(xi , yi) и fE , т.е. ординату точки Ai+1, которую вычисляют

по формуле .

Подставив в последнюю формулу два предыдущих выражения, получим одну результирующую формулу для вычисления ординаты точки Ai+1:

.

Локальная погрешность обоих модифицированных методов О(h3) , глобальная - О(h2) .

10.4 Пример выполнения работы

Дано ОДУ 1-го порядка на [0,4] , dop=0.04.

Точное решение данного ОДУ y(x)=exp(x24)

1. Вычисление общих параметров

Определяем заданную функцию   задаем границы отрезка   произвольно задаем количество интервалов   вычисляем шаг интегрирования   задаем аргумент для построения графика точного решения ( для сравнения результатов)   функция точного решения ОДУ   начальное значение переменой x   счетчик узловых точек на отрезке [a,b]   формула определения узловых точек

 


Вычисляем начальное значение искомой функции     записываем формулу метода Эйлера   формула для вычислений абсолютной погрешности   вычисляем относительную погрешность в %  

 

 

3. 1-й модифицированный метод Эйлера

Вычисляем начальное значение искомой функции   записываем формулу усовершенствованного метода Эйлера   формула для вычислений абсолютной погрешности   вычисляем относительную погрешность в %  
4. Второй модифицированный метод Эйлера
Вычисляем начальное значение искомой функции

 

  формула для вычислений абсолютной погрешности   вычисляем относительную погрешность в %  

Повторяем вычисления

 

Полученные значения погрешностей численного решения достаточно велики.

Для уменьшения погрешности вычисления решения ОДУ необходимо изменить величину шага h. При n=2n dеличина все равно велика.Путем эмпирических поисков получим, что нам необходимо разбивать отрезок на 256 частей, тогда

 

5. Построение графиков полученных решений

 

Построим графики точного и численных решений (рис.10.4) и график абсолютных погрешностей (рис.10.5)

 

Рис.10.4 Рис.10.5

 

Графики показывают, что рассматриваемые численные методы возможно применять на небольших участках интегрирования ОДУ.

 

Вывод: для данной функции использованные в работе численные

методы при выбранной начальной величине шага интегрирования на конце промежутка [a,b] дают большое отклонение от точного решения, поэтому необходимо шаг интегрирования выбирать значительно меньше единицы. Метод Эйлера пригоден для получения только двух или трех первых значений решения ОДУ с последующим применением других более точных численных методов.

 

 

10.5 Содержание отчета

1. Титульная страница с названием работы.

2. Задание.

3. Назначение работы и краткие теоретические сведения.

4. Определить наименьшее число n, при котором мах(dM1)<dop

5. Построить график полученных приближенных и точного решения ОДУ.

6. Построить график распределения абсолютных погрешностей для рассмотренных методов.

7. Выводы.

10.6 Контрольные вопросы

1.Классификация методов решения ОДУ.

2.Формулировка задачи Коши для ОДУ первого порядка.

3. Графическая интерпретация метода Эйлера и модификаций метода Эйлера. Их различия.

4.Локальная и глобальная ошибка рассмотренных методов.

5.Способ повышения точности численного решения ОДУ методом Эйлера.

10.7 Литература

1. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы вычислительной математики.- Москва, Наука,1970 г.-664 с.

2. Копченова Н.В., Марон И.А., Вычислительная математика в примерах и задачах.-М.,Наука,1972 г.-368 с.

3. Шапорев С.Д., Методы вычислительной математики их приложения-СПб, СМИО Пресс,2003 г.,-232с.

4. Кирьянов Д.В., самоучитель Mathcad 11.-СПб,БХВ Петербург,2003 г.-560 с.