Своеобразие логических парадоксов

Необходимым признаком логических парадоксов считается логический словарь.

Парадоксы, относимые к логическим, должны быть сформулированы в логических терминах. Однако в логике нет четких критериев деления терминов на логические и нелогические. Логика, занимающаяся правильностью рассуждений, стремится свести понятия, от которых зависит правильность практически применяемых выводов, к минимуму. Но этот минимум не предопределен однозначно. Кроме того, в логических терминах можно сформулировать и нелогические утверждения. Использует ли конкретный парадокс только чисто логические посылки, далеко не всегда удается определить однозначно.

Логические парадоксы не отделяются жестко от всех иных парадоксов, подобно тому как последние не отграничиваются ясно от всего непарадоксального и согласующегося с господствующими представлениями.

РќР° первых порах изучения логических парадоксов казалось, что РёС… можно выделить РїРѕ нарушению некоторого, еще РЅРµ исследованного положения или правила логики. Особенно активно претендовал РЅР° роль такого правила введенный Р‘.Расселом принцип порочного РєСЂСѓРіР°. Этот принцип утверждает, что совокупность объектов РЅРµ может содержать членов, определимых только посредством этой же совокупности.

Все парадоксы имеют одно общее свойство – самоприменимость, или циркулярность. В каждом из них объект, о котором идет речь, характеризуется посредством некоторой совокупности объектов, к которой он сам принадлежит. Если мы выделяем, например, самого хитрого человека, мы делаем это при помощи совокупности людей, к которой относится и данный человек. И если мы говорим: «Это высказывание ложно», мы характеризуем интересующее нас высказывание путем ссылки на включающую его совокупность всех ложных высказываний.

Во всех парадоксах имеет место самоприменимость понятий, а значит, есть как бы движение по кругу, приводящее в конце концов к исходному пункту. Стремясь охарактеризовать интересующий нас объект, мы обращаемся к той совокупности объектов, которая включает его. Однако оказывается, что сама она для своей определенности нуждается в рассматриваемом объекте и не может быть ясным образом понята без него. В этом круге, возможно, и кроется источник парадоксов.

Ситуация осложняется, однако, тем, что такой круг имеется во многих совершенно непарадоксальных рассуждениях. Циркулярным является огромное множество самых обычных, безвредных и вместе с тем удобных способов выражения. Такие примеры, как «самый большой из всех городов», «наименьшее из всех натуральных чисел», «один из электронов атома железа» и т.п., показывают, что далеко не всякий случай самоприменимости ведет к противоречию и что она важна не только в обычном языке, но и в языке науки.

Простая ссылка на использование самоприменяемых понятий недостаточна, таким образом, для дискредитации парадоксов. Необходим еще какой-то дополнительный критерий, отделяющий самоприменимость, ведущую к парадоксу, от всех иных ее случаев.

Было много предложений на этот счет, но удачного уточнения циркулярности так и не было найдено. Невозможным оказалось охарактеризовать циркулярность таким образом, чтобы каждое циркулярное рассуждение вело к парадоксу, а каждый парадокс был итогом некоторого циркулярного рассуждения.

Попытка найти какой-то специфический принцип логики, нарушение которого было бы отличительной особенностью всех логических парадоксов, ни к чему определенному не привела.

Несомненно полезной была бы какая-то классификация парадоксов, подразделяющая их на типы и виды, группирующая одни парадоксы и противопоставляющая их другим. Однако и в этом деле ничего устойчивого не было достигнуто.

Английский логик Р¤.Рамсей, умерший РІ 1930 Рі., РєРѕРіРґР° ему еще РЅРµ исполнилось Рё двадцати семи лет, предложил разделить РІСЃРµ парадоксы РЅР° синтаксические Рё семантические. Рљ первым относится, например, парадокс Рассела, РєРѕ вторым – парадоксы «Лжеца», Греллинга Рё РґСЂ.

РџРѕ мнению Рамсея, парадоксы первой РіСЂСѓРїРїС‹ содержат только понятия, принадлежащие логике или математике. Вторые включают такие понятия, как «истина», «определимость», «именование», «язык», РЅРµ являющиеся строго математическими, Р° относящиеся скорее Рє лингвистике или даже теории познания. Семантические парадоксы обязаны, как кажется, СЃРІРѕРёРј возникновением РЅРµ какой-то ошибке РІ логике, Р° смутности или двусмысленности некоторых нелогических понятий, поэтому поставленные РёРјРё проблемы касаются языка Рё должны решаться лингвистикой.

Рамсею казалось, что математикам Рё логикам незачем интересоваться семантическими парадоксами. Р’ дальнейшем оказалось, однако, что некоторые РёР· наиболее значительных результатов современной логики были получены как раз РІ СЃРІСЏР·Рё СЃ более глубоким изучением именно этих нелогических парадоксов.

Предложенное Рамсеем деление парадоксов широко использовалось РЅР° первых порах Рё сохраняет некоторое значение Рё теперь. Вместе СЃ тем становится РІСЃРµ яснее, что это деление довольно-таки расплывчато Рё опирается РїРѕ преимуществу РЅР° примеры, Р° РЅРµ РЅР° углубленный сопоставительный анализ РґРІСѓС… РіСЂСѓРїРї парадоксов. Семантические понятия сейчас получили точные определения, Рё трудно РЅРµ признать, что эти понятия действительно относятся Рє логике. РЎ развитием семантики, определяющей СЃРІРѕРё основные понятия РІ терминах теории множеств, различие, проведенное Рамсеем, РІСЃРµ более стирается.

 

Парадоксы и современная логика

Какие выводы для логики следуют из существования парадоксов?

Прежде всего наличие большого числа парадоксов говорит о силе логики как науки, а не о ее слабости, как это может показаться.

Обнаружение парадоксов не случайно совпало с периодом наиболее интенсивного развития современной логики и наибольших ее успехов.

Первые парадоксы были открыты еще до возникновения логики как особой науки. Многие парадоксы были обнаружены в средние века. Позднее они оказались, однако, забытыми и были вновь открыты уже в нашем веке.

Средневековым логикам не были известны понятия «множество» и «элемент множества», введенные в науку только во второй половине XIX в. Но чутье на парадоксы было отточено в средние века настолько, что уже в то давнее время высказывались определенные опасения по поводу самоприменимых понятий. Простейшим их примером является понятие «быть собственным элементом», фигурирующее во многих нынешних парадоксах.

Однако такие опасения, как и вообще все предостережения, касающиеся парадоксов, не были до нашего века в должной мере систематическими и определенными. Они не вели к каким-либо четким предложениям о пересмотре привычных способов мышления и выражения.

Только современная логика извлекла из забвения саму проблему парадоксов, открыла или переоткрыла большинство конкретных логических парадоксов. Она показала далее, что способы мышления, традиционно исследовавшиеся логикой, совершенно недостаточны для устранения парадоксов, и указала принципиально новые приемы обращения с ними.

Парадоксы ставят важный вопрос: в чем, собственно, подводят нас некоторые обычные методы образования понятий и методы рассуждений? Ведь они представлялись совершенно естественными и убедительными, пока не выявилось, что они парадоксальны.

Парадоксами подрывается вера в то, что привычные приемы теоретического мышления сами по себе и без всякого особого контроля за ними обеспечивают надежное продвижение к истине.

Требуя радикальных изменений в излишне доверчивом подходе к теоретизированию, парадоксы представляют собой резкую критику логики в ее наивной, интуитивной форме. Они играют роль фактора, контролирующего и ставящего ограничения на пути конструирования дедуктивных систем логики. И эту их роль можно сравнить с ролью эксперимента, проверяющего правильность гипотез в таких науках, как физика и химия, и заставляющего вносить в эти гипотезы изменения.

Парадокс в теории говорит о несовместимости допущений, лежащих в ее основе. Он выступает как своевременно обнаруженный симптом болезни, без которого ее можно было бы и проглядеть.

Разумеется, болезнь проявляется многообразно, Рё ее РІ конце концов удается раскрыть Рё без таких острых симптомов, как парадоксы. Скажем, основания теории множеств были Р±С‹ проанализированы Рё уточнены, если Р±С‹ даже никакие парадоксы РІ этой области РЅРµ были обнаружены. РќРѕ РЅРµ было Р±С‹ той резкости Рё неотложности, СЃ какой поставили проблему пересмотра теории множеств обнаруженные РІ ней парадоксы.

Парадоксам посвящена обширная литература, предложено большое число их объяснений. Но ни одно из этих объяснений не является общепризнанным, и сколь-нибудь полного согласия в вопросе о происхождении парадоксов и способах избавления от них нет.

«За последние шестьдесят лет сотни книг и статей были посвящены цели разрешения парадоксов, однако результаты поразительно бедны в сравнении с затраченными усилиями», – пишет А.Френкель. «Похоже на то, – заключает свой анализ парадоксов Х.Карри, – что требуется полная реформа логики, и математическая логика может стать главным инструментом для проведения этой реформы».