Е лкен орта блгіш жне е кіші орта еселік

андай санны болса да кем дегенде екі блгіші болады – бір саны

жне сол санны зі. Бл блгіштер а саныны меншіксіз блгіштері деп, ал меншіксіз блгіштерінен зге блгіштері меншікті блгіштер деп аталады.

Мысалы, 144 санынын меншіксіз блгіштерінен зге меншікті 13 блгіші бар, олар 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 47, 72.

саныны барлы блгіштеріні саны шектеулі, йткені оларды райсысы а-дан аспайды. а саныны барлы блгіштерін табу шін, а санын 1, 2, 3, ... а – 1 сандарыны райсысына бліп кру ажет.

Айталы, мен , бтін сандары берілсін. Осы екі санны райсысы да блінетін санын оларды орта блгіші деп атайды. мен сандарыны райсысыны блгіштеріні саны аырлы боландытан, оларды орта блгіштеріні саны да аырлы.

3-анытама. Егер сандары мен мен сандарыны орта блгіштері болса, онда оларды е лкенін а мен -ны е лкен орта блгіші деп атап келесідей белгілейді

2-теорема. Бтін сандар саинасында кез келген екі санны осы саинаа енетін жне де жалыз тсілмен аныталатын е лкен орта блгіші болады.

Длелдеуі. жне сандарыны е лкен орта блгіштері екеу делік. Олар саны -ге блінеді. Тура осы сияты, -де санына блінеді. Ал жне атынастары тек ана немесе боланда орындалады. ( 9 асиетті салдары бойынша). Алда е лкен орта блгішті тек о мндерін арастырамыз.

Енді, екі санны е лкен орта блгішін табуды жеіл жолдарыны бірі, Евклид алгоратимін арастырайы.

3-теорема. Егер мен бтін сандары беріліп,

(1) болса, онда . Яни, мен сандарыны е лкен орта блгіші мен r сандарыны е лкен орта блгішіне те.

Длелдеуі. (1) тедіктен мен сандарыны орта блгіші саныны да блгіші екенін жне мен r сандарыны кез келген орта блгіші болатынын креміз. Сондытан, мен сандарыны барлы орта блгіштері мен r сандарыны орта блгіштері болады, жне керісінше. Бдан мен жне мен r сандарыны о орта блгіштеріні бірдейлігі шыады, демек

Егер саны -а алдысыз блінсе болан жадайда, онда а мен -ны е лкен орта блгіші саны болады,

Екі санны е лкен орта блгішін табу шін, жоарыдаы теоремаа сйеніп, «біртіндеп блу» дісін пайдаланады. Бл діс Евклид алгоритмі деп аталады.

3-ші теорема бойынша . Осы теореманы b мен r сандарына атысты арастырып, рі арай жаластырса, келесі тедіктер тізбегін аламыз:

 

Біз натурал сандарыны кемімелі

тізбегін алды. Бл тізбек аырсыз болуы ммкін емес. Сондытан, жоарыдаы блу процесінде, нольге те алды табылады; болсын.

2-ші теорема бойынша, (2) тедіктерден, келесі тедіктерді аламыз:

,

яни, мен сандарыны е лкен орта блгіші r -а те.

Демек, жне бтін сандарына, Евклид алгоритмін олданса, онда аыры нольге те емес алды осы сандарды е лкен орта блгіші болады.

Мысалы, сандарыны е лкен орта блгішін іздестірейік.

Мунда жазу керек

Аыры нольге те емес алды 55, яни

Евклид алгоритмінен кез келген жне бтін сандарыны е лкен орта блгішіні бар екенін туындайды. Енді, бірнеше, сандарыны е орта блгішіні бар екенін длелдейік. Ол шін, уелі, келесі теореманы арастырамыз.

4-теорема. Егер жне болса, онда .

Длелдеуі. боландытан, жне . Ал боландытан, барлы шін жне боландытан . Демек саны сандарыны орта блгіші. Енді -ны осы сандарыны е лкен орта блгіші екенін крсетейік. Ол шін сандарыны -дан зге орта блгішін дейік. Онда саны сандарыны да орта блгіші. Сондытан Ал боландытан, жне сандарыны е лкен орта блгіші - да -ге алдысыз блінеді: . Біз -ны сандарыны кез келген орта блгішіне алдысыз блінетін крсеттік. Демек.

Салдар. Егер болса, онда

Длелдеуі. Длелдеуді математикалы индукция дісімен жргіземіз. боланда, яни а₁ жне а₂ сандары шін тжырым дрыс шін тжырым длелденген дейік. Онда болса, дегеннен екені шыады. Егер болса, онда 3-ші теорема бойынша, екендігі шыады. Демек тжырым бойынша шін де дрыс. Математикалы индукция бойынша тжырым барлы шін дрыс. Яни, сандарыны е лкен орта блгішін табу шін, уелі содан со т.с.с. -дерді табуымыз керек. Нтижесінде аламыз. Мысалы, 988, 2014, 42598, 6726 сандарыны е лкен орта блгішін іздестірейік.

Евклид алгоритмі бойынша

Яни,

5-теорема. мен сандарыны е лкен орта блгішін сол мен

сандары арылы сызыты рнекпен крсетуге болады, яни р уаытта мен сандары табылып, болады.

Длелдеуі. Евклид алгоритмі бойынша

Бірінші тедіктен мндаы Екінші тедіктен = мндаы бтін сандар. Осы процесті рі арай жаластыра отырып, тедігін аламыз. Ал екенін ескерсек, мндаы - бтін сандар. деп белгілесек, тедігін аламыз. Мысалы, 90 жне 35 сандарыны е лкен орта блгішін сызыты рнейік. Евклид алгоритмі бойынша,

Яни,

Бірінші тедіктен Бл тедікті о жаындаы рнекті екінші тедікке ойса, онда Енді тедігіндегі 20-ны мен, ал 15-ті мен ауыстырса Бл тедікте

Осы типтес теорема, бірнеше санны е лкен орта блгіші шін де орындалады, болса, онда болатын -дер табылады.