Жай сандар жне оларды асиеттері

8-анытама.Бтін саны 0 мен -ден зге болса жне мен сандарынан баса блгіштері болмаса, жай сан деп аталады.

Мысалы, 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 сандары алашы о жай сандар болса -2,-3,-5,-7,-11,-13,-17,-19,-23,-29 алашы теріс жай сандар болып табылады.

9-анытама.Бтін саны мен 0 мен -ден зге болса жне мен сандарынан баса да блгіштері болса, рама сан деп аталады.

Мысалы, 4,6,8,9,10 сандары рама сандар. Жай санны анытамасынан бірталай салдарлар шыады. Алдаы уаытта тжырымдарды о жай сандара атысты арастырамыз.

15-теорема. Егер жай сан болса, онда кез келген саны не санына блінеді, не мен з ара жай болады.

Длелдеуі. Шынында да, анытама бойынша, саныны екі блгіші 1 жне бар, сондытан мен сандарыны орта блгіші не 1 саны, не саны болуы ммкін. Егер орта блгіші болса, онда саны -а блінеді, ал орта блгіші 1 болса, онда мен з ара жай сандар болады.

16-теорема. Егер екі немесе бірнеше бтін сандарды кбейтіндісі жай сана блінсе, онда бл сана кбейткіштерді кемінде біреуі блінеді.

Длелдеуі. Математикалы индукция дісімен длелдейміз. уеліекі жне сандарыны кбейтіндісін арастырайы. Егер болса, онда немесе саны -а блінбейді. болса, онда теорема длелденді. Ал, егер саны -а блінбесе, онда, жоарыдаы теорема бойынша, Онда 8-теорема бойынша Енді теорема, кбейткіштер саны -дан кіші боланда дрыс деп есептеп, оларды саны боланда да дрыстыын длелдейік.

кбейтіндісін арастырайы. Бл кбейтіндіні кбейтуді ассоциативтігін пайдаланып, екі кбейтінді трінде рнектеуімізге болады.

Ал, екі кбейткіш шін теорема дрыс боландытан немесе сандарыны бірі -а блінеді. Егер болса теорма длелденді. Егер болса, индуктивтік йарым бойынша, саны кбейткіштен тратын боландытан, сандарыны бірі -а блінеді. Теорема толы длелденді.

17-теорема. Кез келген бтін сан, кем дегенде бір жай сана блінеді.

Длелдеуі. Математикалы индукция дісін пайдаланайы.

1. болса, онда теорема дрыс. Себебі 2 саны, жай сан 2-ге блінеді.

2. боланда теореманы дрыс деп есептеп, боланда да дрыстыын длелдейік.

3. болсын. Егер жай сан болса, онда ол жай санына блінетіндіктен, теорема длелденген болады. Егер рама сан болса,онда Ал боландытан, индуктивтік йарым бойынша,m саны шін теорема дрыс, яни ол кем дегенде бір жай санына блінеді. Онда блінгішті асиеті бойынша саны да -а блінеді. Теорема длелденді.

Біз арастырып отыран бтін сандар саинасыны структуралы ерекшелігі мына теоремамен рнектеледі.

18-теорема. Кез келген бірден зге бтін сан не жай сан, немесе аырлы жай сандарды кбейтіндісі трінде бір ана тсілмен рнектеледі.

Длелдеуі. 1. болсын. Онда 2 жай сан боландытан теоремадаы тжырым шін дрыс.

2.Енді теоремадаы тжырым боланда дрыс деп есептеп, боланда дрыстыын длелдейік.

3. бтін санын арастырайы. Егер жай сан болса, онда оны екі санны кбейтіндісі трінде рнектей аламыз:

мндаы,

Ал, жне сандары -ден кіші боландытан, индуктивтік йарым бойынша, ол сандара атысты теоремадаы тжырым орындалады; яни Демек,

Жалыздыын да индукция дісімен длелдейміз.

1. болсын. 2 жай сан боландытан,ол баса сандар кбейтіндісі трінде жіктелмейді. Демек, боланда тжырым дрыс.

2. Тжырым боланда дрыс деп есептеп, боланда дрыстыын длелдейік.

3. болсын, егер жай сан болса, онда ол жай сандар кбейтіндісіне жіктелмейді. Енді рама сан болсын жне ол жай сандар кбейтіндісі трінде екі тсілмен жіктеледі дейік:

жне

Онда Бл тедікті сол жаындаы рнек жай сан -ге блінетіндіктен, о жаындыы рнек те -ге блінеді. Онда, 15- теорема бойынша, кбейткіштеріні бірі -ге блінеді. дейік. Ал жай сан боландытан Жоарыдаы тедікті екі жаын да -ге блсек

тедігін аламыз.

Ал саны -ден кіші боландытан, индуктивтік йарым бойынша, ол жай сандар кбейтіндісі трінде жалыз тсілмен рнектеледі, яни, m=s. Демек,

Кез келген рама саныны жай кбейткіштерге жіктелуінде, кейбір

кбейткіштерді те болуы ммкін.

Айталы жіктелуіне саны рет, саны рет т.с.с. аырында саны рет енеді делік, онда санын

(4)

трінде жаза аламыз, мндаы сандары -ны р трлі жай блгіштері, ал -натурал сандар. детте сандарын су реті бойынша орналастырылады.Осы (4) рнек саныны канонды жіктелуі деп аталады. Бл рнекті санын факторизациялау деп те атайды.

Мысалы, 432 саныны канонды жіктелуі болады. Санны канонды жіктелуін білгеннен кейін, бір санны екінші сана блінгіштік критерийін таайындауа болады. Айталы саны с санына блінеді дейік:

Сонда с саныны канонды жіктеуіндегі рбір жай сан саныны жіктеуіне де атысуы тиіс жне керісінше, с саны саныны блгіші боландытан, саныны канонды жіктеуіндегі жай сандара ана блінуге тиісті. Сонымен бірге, с саныны жіктеуіндегі жай блгішті ай-айсысыныда дреже крсеткіші, осы жай саныны саныны канонды жіктеуіндегі дреже крсеткішінен артпауы тиіс. Бдан мынандай маызды орытынды шыады:

1-салдар. Егер саныны канонды жіктеуі

болса, онда мны кез келген с блгішіні жіктеуі

болады, мнда

Канонды жіктеуі берілгеннен кейін, екі не бірнеше саныны е лкен орта блгішін жне е кіші орта еселігін табуа болады. а жне b сандарыны канонды жіктеулері белгілі болсын.

Мндаы, жне сандары нольге де те болуы ммкін. Онда а жне b сандарыны канонды жіктеулеріні екеуін де бірдей жай сандар арылы рнектеуімізге болады.

2-салдар. а жне b сандарыны е лкен орта блгіші тмендегіше аныталады:

мнда

Мысалы, 360 жне 96 сандарыны канонды жіктелуі

жне

белгілі, енді осы екі санны е лкен орта блгішін табу керек болсын. Жай екі жне ш сандары берілген екі санны да ал, 5 саны тек 360 саныны жіктелуіне еніп отыр. Олай болса, жай 2 жне 3 сандарыны еі кіші 2³ жне 3¹ дрежелеріні кбейтіндісі ізделінді, е лкен орта блгіші болып табылады

3-салдар. а жне b сандарыны е кіші орта еселігі тмендегіше аныталады:

мнда

Алдыы мысалда жай 2,3,5, сандары 360-пен 96 сандарыны кемінде біреуіні жіктеуіне еніп отыр, атап айтанда 2⁵,3²,5¹ –е лкен дрежелер. Сондытан

ш не одан арты сандарды е лкен орта блгіші жне е кіші орта еселігі де осылайша табылады.

Енді саныны блгіштеріні табу мселесімен шылданайы, атап айтанда осы санны барлы блгіштеріні санын табайы.

19-теорема. Егер саныны канонды жіктеуі болса, онда саныны барлы натурал блгіштеріні саны формуласымен аныталады.

Длелдеуі. 18-теореманы 1-ші салдары бойынша, саныны кез келген с блгіші тмендегіше рнектеледі:

мнда,

Сондытан, саныны барлы натурал блгіштеріні санын анытау шін, -терден тратын жне тесіздігін анааттандыратын, жиынтытарды ммкін комбинациясын есептеуіміз керек. -ларды абылдай алатын, жоарыдаы тесіздікті анааттандыратын мндеріні саны крсеткіштері мндерін бір-бірінен туелсіз абылдайтындытан жне жай сандар кбейтіндісіне жіктеу жалыз болатындытан (18-теорема), крсеткіштер мндеріні р трлі комбинациясын шыарып аламыз. Демек, саныны барлы блгіштеріні санын деп белгілесек, ол мына формуламен табылады

мысалдар, 1. Айталы Онда боландытан,

2.Айталы саныны блгіштерін табу керек болсын. Ол санны канонды жіктеуі болады. Олай болса,

Енді, осы саныны блгіштерін тауып крейік. Ол шін, жалпы формуланы жазамыз мнда -лер 0,1,2,3 мндерін абылдайды. мен мндерін з ара комбинациялай отырып, сйкес блгіштерді табамыз:

Мнда жазу керек

0;0

Енді берілген саныны барлы блгіштеріні осындысын есептеуге формула орытып шыарайы.

20-теорема. Егер саныны, канонды жіктеуі белгілі болса, онда бл санны барлы натурал блгіштерін осындысы

формуласымен аныталады.

Длелдеуі. саныны кез келген с блгіші, 18-теореманы 3-ші салдары бойынша, трінде жіктелетінін білеміз. Енді s жашадан тратын мына рнекті (5)

арастырайы. Бл рнекті 1-ші жашасы саныны барлы блгіштеріні осындысы, ал 2-ші жаша саныны барлы блгіштеріні осындысы т.с.с. Сонымен, аырында соы жаша саныны барлы блгішгіштеріні осындысы. (5) рнектегі жашаларды ашып, мына осындыны табамыз:

(6)

бл осындыны райсысы саныны блгіші болатын

тріндегі р трлі осылыштардан ралан

блгіштерді осындысы болып табылады. Демек, (6) рнек саныны барлы блгіштеріні осындысы болма. Ал егер (5) рнекті рбір жашасын з алдына жеке есептеп алатын болса, онда біз бірден саныны барлы блгіштеріні осындысын беретін формуланы табамыз:

Мысалдар. 1. саныны барлы блгіштеріні осындысын табайы. боландытан, жоарыдаы формула бойынша,

2. саныны барлы блгіштеріні осындысын табайы.