Жай сандарды шексіз кптігі

Енді жай сандар не бары анша деген мселеге келейік. Бан Евклидті мынандай теоремасы жауап береді.

21-теорема.(Евклид теоремасы). Натурал сандар жиынындаы жай сандар саны аырсыз.

Длелдеуі. Теореманы длелдеу шін кері жору тсілін олданамыз. Айталы, натурал сандар жиынындаы жай сандарды саны аырлы делік жне оларды деп белгілейік, мндаы е лкен жай сан.

Мынандай санын райы. боландытан, саны рама сан. Демек ол бір жай сана блінуге тиіс. Ал йарым бойынша барлы жай сандар сандары. Ендеше саны осы сандарды біріне блінуі тиіс. Ол саны дейік. кбейтіндісі де, саны да -ге блінетіндіктен, блінгіштіікті асиеті бойынша, бір саны -ге блінуі тиіс. Блай болуы ммкін емес, йткені Демек біз жасаан йарым дрыс емес. Сонымен, жай сандарды саны аырсыз.

Сандарды натурал атар айырымы 1-ге те аырсыз арифметикалы

прогрессия райтын белгілі. Ендеше, Евклид теоремасын таы былай да тжырымдауа болады: айырымы 1-ге те аырсыз арифметикалы прогрессия рамында аырсыз кп жай сан бар. 19 асырды белгілі математигі Л. Дирехле (1805-1859) Евклид теоремасын былайша жалпылады: рбі

арифметикалы прогрессиядаы жай сандар саны аырсыз. Мндаы .

22-теорема. Егер жай саны рама саныны е кіші блгіші болса, онда

Длелдеуі. боландытан, бтін саны табылып теідігі орындалады. Ал е кіші блгіші боландытан Осы тесіздікті сол жаын ал о жаын санына кбейтсек, боландытан, болады. бдан Яни, саныны жай блгіші санынан кіші. Егер саны санынан кіші жай сандарды ешайсысына блінбесе, онда жай сан болан.

Мысалы, 59 саны жай сан. йткені ол -дан кіші жай 2,3,5,7

сандарыны ешайсысына блінбейді.

Эратосфен торы

Натурал атардан жай сандарды бліп крсету шін Эротосфен торы деп аталатын тсіл бар (Эротосфен грек математигі, бізді жыл санауымыза дейін 3 асырда мір срген).

Эротосфен тсілі мынадай арапайым жадайа негізделген: зінен кіші жай сандарды ешайсысымен де еселі емес сан, жай сан болады. Натурал сандар атарын жазайы:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10....

Енді 2-ге тимей оан еселі сандарды барлыын сызайы, сонда 2-ден бастап санаанда рбір келесі екінші санды, яни 4,6,8,10... сандарды сызамыз. 2-ден кейінгі сызылмай алан 3 саны жай сан болады. Енді атарда алан

2,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,...

сандары ішінен 3-ке тимей, оан еселі сандарды сызып шыамыз, сонда біз 3-тен бастап есептегенде рбір 3-ші санды, яни 9,15,21,... сандарды сызамыз. 3-тен кейінгі сызылмай алан 5 саны да, жай сан. Енді атардаы алан сандарды ішінен 5-ке еселерін сызып шыамыз т.с.с.

рама сандарды рі арай да осылайша сызу процесін орындай келе, біз натурал атарды барлы жай сандарын табамыз. Эротосфен торы онша олайлы болмаса да, натурал атарды тетелес жай сандарын табу шін олданылады.