Математикалы индукция дісі. Ньютон биномыны формуласы.

Натурал (о бтін) сандар жиыныны анытамасынан салдар ретінде математикалы длелдеулерді маызды дістеріні бірі-математикалы индукция дісі шыады.

рбір натурал шін тжырымы айтылан болсын. рине, кейбір -дер шін орындалып, кейбір -дер шін орындалмауы да ммкін. Біра, егер

1) орындалса,

2) рбір натурал шін орындаланда де орындалса, онда тжырымы кез келген натурал шін орындалады.

Расында да, орындалатын сандарынан рылан жиынды рпімен белгілесек, онда жне шарттары орындалады. Сондытан, натурал сандарды анытамасы бойынша натурал сандар жиыныны дл зі болады, яни тжырымы кез келген шін орындалады (рбір шін орындалады ой!).

Барлы натурал сандар туралы теореманы длелдегенде, яни тжырымы рбір натурал саны шін орындалатынын длелдеу шін, рашанда келесі, математикалы индукция дісі деп аталатын, дісті олдану керек:

1) жне 2) шарттарыны орындалатынын тексеру ажет.

Математикалы индукция дісін олдану мысалы ретінде кез келген о бтін саны мен кез келген наты саны шін

тедігі орындалатынын длелдейік.

Бл – Ньютон биномыны формуласы – (бином- ос мшелік), дрежесіні коэффициенті биномды коэффициент деп аталады да, немесе символдарымен белгіленеді.

Сонымен, ал саны 1, 2, ..., сандарыны бірі боланда

Осы белгілеулерді олданып, Ньютон биномыны формуласын ыскаша былай жазуа болады:

(1) тжырымын символымен белгілейік.

рине, Ньютон биномыны формуласын длелдеу рбір о бтін саны шін орындалуын длелдеумен пара-пар.

-ді орындалуы айын, ткені боландытан,

Сондытан, жоарыда айтылан бойынша, рбір о бтін шін орындалатынын длелдеу шін рашан мен бірге орындалатынын длелдеу жеткілікті.

Сйтіп, тжырымы, яни (1) тедігі орындалсын. -ді длелдеу шін, уелі биномды коэффициенттерді келесі асиетін атап тейік.

Яни,

Енді (2) тедігін олданып, тжырымын былай длелдей

аламыз:

(мнда тедіктері де пайдаланылады).

(1) - формула

трінде де олданылады (мнда мен - наты сандар).

(3)-ті длелдеу шін

тепе-тедігін олданып, боланда (1) тедігін пайдаланса боланы.

Мектеп оушылары арасында математиканы ке насихаттау

масатында р дегейдегі математикалы олимпиадалар жйелі трде ткізіліп трады. Олимпиадаларды ткізудегі негізгі масат оушыларды математикаа деген ызыушылыын арттыру, оларды бойындаы бейімділікті ашылып, одан рі дамуына жрдем ету екедігі белгілі. Соы жылдары рилы айматы, жекелеген оу орындары, математикалы журналдар йымдастыран олимпиадалар да ткізіліп жр.

Олимпиадаларда сынылатын есептер математика курсыны р алуан таырыптарын амтиды. Сондай таырыптарды бірі сандарды блінгіштігі. Ондай есептерді шыару шін орта мектеп программасындаы теориялы білім, негізінен жеткілікті.

Сандарды 3-ке, 5-ке жне 9-а блінгіштік белгілерімектеп курсынан белгілі. Санны 7-ге немесе 13-ке блінгіштігін анытау шін оны цифрларын онан сола арай ш цифрдан топтастырады. Содан кейін, жп жне та орындаы сандарды осындыларын жеке анытап, пайда болан осындыларды айырымын табады. Егер айырым 7-ге немесе 13-ке блінсе, онда берілген сан да 7-ге немесе 13-ке блінеді.

Мысалы, 52307512901 саныны та орындаы топтары осындысы 1208-ге те 901 жне 307 сандарынан, ал жп орындаы топтары осындысы 564 болатын 512 жне 52 сандарынан трады. Осы осындыларды айырымы 1208-564=644 саны 7-ге блінеді. Демек, берілген сан да 7-ге блінеді.

Санны бірліктерінен бастап, та жне жп орындарда тран цифрларынан ралан екі осындыны айырымы 11-ге блінсе, онда берілген сан да 11-ге блінеді.

Мысалы, 65791 саны 11-ге блінеді, йткені (1+7+6) – (9+5) =0 саны 11-ге блінеді.

Сандарды андай да бір сана блінгіштігін длелдегенде, кез келген о бтін саны мен кез келген жне наты сандары шін орынды, келесі жіктеу формулалары жиі пайдаланылады:

1) Ньютон биномыны формуласы

Енді сандар блінгіштігіне атысты алыпты емес есептерді арастырайы.