Модели теории массового обслуживания
Теория массового обслуживания представляет собой область прикладной математики, использующую методы теории случайных процессов и теории вероятностей для исследования различной природы сложных систем. Теория массового обслуживания непосредственно не связана с оптимизацией. Назначение ее состоит в том, чтобы на основе результатов наблюдений за «входом» в систему предсказать ее возможности и организовать наилучшее обслуживание для конкретной ситуации и понять, как последнее отразится на стоимости системы в целом.
Модели теории массового обслуживания описывают процессы массового спроса на обслуживание с учетом случайного характера поступления требований и продолжительности обслуживания.
Назначение моделей теории массового обслуживания состоит в том, чтобы на основе информации о входящем случайном потоке требований предсказать возможности системы обслуживания, организовать наилучшее выполнение требований для конкретной ситуации и оценить, как это отразится на ее стоимости.
Система массового обслуживания (СМО) возникает тогда, когда происходит массовое появление заявок (требований) на обслуживание и их последующее удовлетворение.
Особенностью СМО является случайный характер исследуемых явлений. Типичный пример СМО -телефонная сеть (снятием трубки с рычага телефонного аппарата абонент дает заявку на обслуживание разговора по одной из линий телефонной сети).
Основными элементами СМО являются:
- входящий поток заявок (требований) на обслуживание;
- очередь заявок на обслуживание;
- приборы (каналы) обслуживания;
- выходящий поток обслуженных заявок (рисунок 8.5).
Такой элемент СМО как очередь может отсутствовать в некоторых системах, но в тоже время СМО может иметь и другие элементы, например, выходящий поток не обслуженных заявок.
Для систем, относящихся к системам массового обслуживания, существует определенный класс задач, решение которых позволяет ответить, например, на следующие вопросы:
1. С какой интенсивностью должно проходить обслуживание или должен выполняться процесс при заданной интенсивности и других параметрах входящего потока требований, чтобы минимизировать очередь или задержку в подготовке документа или другого вида информации?
2. Каковы вероятность появления задержки или очереди и ее величина? Сколько времени требование находится в очереди и каким образом минимизировать его задержку?
3. Какова вероятность потери требования (клиента)?
4. Какова должна быть оптимальная загрузка обслуживающих каналов? При каких параметрах системы достигаются минимальные потери прибыли?
5. К этому перечню можно добавить еще целый ряд задач.
6. Как системы массового обслуживания могут быть представлены следующие работы и процессы: посадка самолетов в аэропорту, обслуживание автомобилей на автозаправочных станциях, разгрузка судов на причалах, обслуживание покупателей в магазинах, прием больных в поликлинике, обслуживание клиентов в ремонтной мастерской и др.
Часто входной поток заявок представляется в виде простейшего потока, обладающего свойством стационарности, отсутствия последствия и ординарности.
Поток является стационарным, если вероятный режим не зависит от времени.
Ординарность потока наступает, если вероятность появления двух и более заявок за промежуток времени является бесконечно малой величиной по сравнению с .
Поток обладает свойством отсутствия последствия, если поступление заявок не зависит от пред истории процесса.
Для простейшего потока поступление заявок в СМО описывается законом распределения Пуассона, который устанавливает Рк() - вероятность поступления к заявок за время ,
- интенсивность входного потока.
Важное для исследования свойство, которым обладает пуассоновский поток, заключается в том, что процедура разделения и объединения дает снова пуассоновские потоки.
Тогда, если входной поток формируется из N независимых источников, каждый из которых порождает пуассоновский поток интенсивностью i (i = 1, 2, ..., N), то его интенсивность будет определяться по формуле = l + 2 +...+ N.
В случае разделения пуассоновского потока на N независимых потоков получим, что интенсивность потока i будет равна ri ,где ri - доля i-го потока во входном потоке требований.
Очередью является множество заявок (требований), ожидающих обслуживание.
В зависимости от допустимости и характера формирования очереди системы массового обслуживания подразделяются:
1. СМО с отказами - формирование очереди не разрешено, поэтому заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и теряется. Пример: АТС (выполнение заказов к определенному сроку), система ПВО объекта (цель в зоне обстрела пребывает мало времени).
2. СМО с неограниченным ожиданием - поступившая заявка, застав все обслуживающие приборы занятыми, становится в очередь и дожидается обслуживания. Число мест для ожидания (длина очереди) не ограничено. Не ограничивается и время ожидания. Пример: предприятия бытового обслуживания, такие как мастерские по ремонту часов, обуви.
3. СМО смешанного типа. В этих системах имеется очередь, на которую накладываются ограничения.
Например: на максимальную длину очереди (I тип – с ограниченной ДО) или на время ожидания заявки в очереди (П тип – с ограниченным ВО).
Примерами СМО I-го типа являются мастерские по ремонту радиоаппаратуры с ограниченными площадями для ее хранения. Торговые точки по продаже фруктов, овощей, которые могут храниться ограниченное время, являются смешанными СМО II -го типа.
Порядок поступления заявок на обслуживание называется дисциплиной обслуживания.
В СМО с очередью могут быть следующие варианты дисциплины обслуживания:
а) в порядке поступления заявок (первым пришел – первым обслужился) - магазины, предприятия бытового обслуживания;
б) в порядке обратном поступлению, т. е. последняя заявка обслуживается первой (последним пришел - первым обслужился) - выемка заготовок из бункера;
в) в соответствии с приоритетом (участники ВОВ в поликлинике);
г) в случайном порядке (в системе ПВО объекта при отражении воздушного налета противника).
Основным параметром процесса обслуживания считается время обслуживания заявки каналом (обслуживающим прибором j ) – tj (j=1,2,…,m).
Величина tj в каждом конкретном случае определяется рядом факторов: интенсивностью поступления заявок, квалификацией исполнителя, технологией работ, окружающей средой и т.д. Законы распределения случайной величины tj могут быть самыми различными, но наибольшее распространение в практических приложениях получил экспоненциальный закон распределения. Функция распределения случайной величины tj имеет вид:
F(t) = l – e - t , где m - положительный параметр, определяющий интенсивность обслуживания требований;
Е (t) - математическое ожидание случайной величины обслуживания требования tj .
Важнейшее свойство экспоненциального распределения заключается в следующем. При наличии нескольких однотипных каналов обслуживания и равной вероятности их выбора при поступлении заявки распределение времени обслуживания всеми m каналами будет показательной функцией вида:
Если СМО состоит из неоднородных каналов, то , если
же все каналы однородные, то .
По количеству обслуживающих приборов (каналов) СМО делятся на:
- одноканальные;
- многоканальные.
Структура СМО и характеристика ее элементов приведены на рисунке 8.6.
Исследование СМО заключается в нахождении показателей, характеризующих качество и условия работы обслуживающей системы и показателей, отражающих экономические последствия принятых решений.
Важнейшим понятием в анализе СМО является понятие состояния системы. Состояние есть некоторое описание системы, на основании которого можно предсказать ее будущее поведение.
Рисунок 8.6 – Структура и характеристика элементов СМО
При анализе СМО определяют усредненные показатели обслуживания. В зависимости от решаемой задачи ими могут быть:
- средняя длина очереди,
- среднее время ожидания в очереди,
- средний процент обслуживаемых (или получивших отказ) заявок, среднее число занятых (или простаивающих) каналов,
- среднее время пребывания в СМО и др.
В качестве критерия оптимизации применяют:
- максимум прибыли от эксплуатации СМО;
- минимум суммарных потерь, связанных с простоем каналов, простоем заявок в очереди и уходом необслуженных заявок;
- обеспечение заданной пропускной способности.
Варьируемыми параметрами обычно являются: количество каналов, их производительность, длина и дисциплина очереди, приоритетность обслуживания.