Алгебраические структуры. Полугруппы и группы. Двуместные алгебраические операции (бинарные операции).

Множества, операции над ними.

Отображения, их основные типы.

Суперпозиция отображений.

Обратимость отображений.

8. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности.

9. Классы эквивалентности и фактормножества. Факторизация отображений.

10. Отношения частичного порядка. Линейный порядок.

11. Математическая индукция.

Арифметика кольца целых чисел. Отношение делимости в кольце целых чисел. Деление с остатком.

13. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное системы целых чисел. Алгоритм Евклида.

14. Простые числа. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.

15. Основная теорема арифметики.

Алгебраические структуры. Полугруппы и группы. Двуместные алгебраические операции (бинарные операции).

17. Полугруппы и моноиды.

18. Свободные полугруппы и моноиды.

19. Изоморфизм полугрупп и моноидов

20. Задание полугрупп и моноидов образующими элементами и определяющими соотношениями.

21. Проблемы равенства и изоморфизма для конечно определенных полугрупп и моноидов. Теоремы А.А. Маркова - Э. Поста.

22. Обобщенная ассоциативность. Степени элемента полугруппы. Операции над степенями.

23. Подполугруппы и подмоноиды.

24. Гомоморфизмы полугрупп и моноидов.

25. Обратимые элементы в моноиде, их основные свойства.

26. Группы: определение, примеры, основные свойства.

27. Изоморфизм групп: определение и примеры.

28. Свободные группы. Задание групп образующими элементами и определяющими соотношениями.

29. Алгоритмические проблемы для конечно определенных групп. Понятие о теоремах П.С. Новикова и С.И. Адяна - М. Рабина.

30. Понятие о фундаментальной группе множества в .

31. Узлы и их группы. Понятие о теореме Зейферта-ван Кампена.

32. Подгруппы. Образующие элементы подгрупп.

33. Смежные классы, их свойства. Теорема Лагранжа.

34. Циклические группы, их подгруппы. Порядок элемента.

35. Симметрическая и знакопеременная группы.

36. Матричные группы. Примеры их заданий образующими элементами и определяющими соотношениями.

37. Гомоморфизмы: определение, примеры. Ядро и образ гомоморфизма.

38. Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме.

39. Кольца и поля: определения, примеры и основные свойства.

40. Изоморфизмы колец и полей. Кольца классов вычетов. Матричные кольца. Характеристика поля.

41. Подкольца. Делители нуля.

42. Идеалы колец. Главные идеалы. Кольца главных идеалов.

43. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме для колец.

44. Области целостности. Поле отношений целостного кольца.

45. Теория делимости в областях целостности. Факториальные кольца.

46. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексных чисел. Возведение в степень и извлечение корней. Корни из единицы.

47. Кольцо многочленов (полиномов) от одной переменной над произвольным кольцом. Отношение делимости в кольцах многочленов.

48. Кольцо многочленов над полем. Деление с остатком. Наибольший общий делитель системы многочленов. Алгоритм Евклида.

49. Неприводимые многочлены. Разложение многочленов в произведения неприводимых.

50. Евклидовы кольца. Факториальность евклидовых колец.

51. Кольца многочленов от нескольких переменных. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах.

52. Дискриминант многочлена. Результант двух многочленов. Кольца как примеры колец, в которых не все идеалы главные.

53. Формально-алгебраический и функциональный взгляд на понятие многочлена.

54. Интерполяционные многочлены. Интерполяционная формула Лагранжа.

55. Неприводимые многочлены над Q и Z. Лемма Гаусса. Критерий Эйзенштейна.