Московский авиационный институт
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский авиационный институт
(национальный исследовательский университет)
Эссе на тему
«Погрешность измерений»
Выполнил: Елисеев Д. А.
Группа: 3ИНТ-2ДБ-034
Проверяющий: Ручинский В.С
г.Москва, 2016
Оглавление
I. Терминология. 4
II. Формулы расчета. 6
III. Применение формул в лабораторных работах. 8
IV. Вывод. 10
I. Терминология
Относительная погрешность измерения – погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины.
Примечание. Относительную погрешность в долях или процентах находят из отношений:
,
где: x - абсолютная погрешность измерений; x- действительное или измеренное значение величины.
Рассеяние результатов в ряду измерений – несовпадение результатов измерений одной и той же величины в ряду равноточных измерений, как правило, обусловленное действием случайных погрешностей.
Примечания:
· Количественную оценку рассеяния результатов в ряду измерений вследствие действия случайных погрешностей обычно получают после введения поправок на действие систематических погрешностей.
· Оценками рассеяния результатов в ряду измерений могут быть: - размах, - среднее квадратическое отклонение (экспериментальное среднее квадратическое отклонение), - доверительные границы погрешности (доверительная граница). (в ред. Изменения N 2, введенного Приказом Росстандарта от 04.08.2010 N 203-ст)
Размах результатов измерений – оценка Rn рассеяния результатов единичных измерений физической n величины, образующих ряд (или выборку из n измерений), вычисляемая по формуле:
Rn=xmax - xmin ,
где xmax и xmin - наибольшее и наименьшее значения физической величины в данном ряду измерений.
Примечание. Рассеяние обычно обусловлено проявлением случайных причин при измерении и носит вероятностный характер.
Поправка (англ. correction) – значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности.
Примечание. Знак поправки противоположен знаку погрешности. Поправку, прибавляемую к номинальному значению меры, называют поправкой к значению меры; поправку, вводимую в показание измерительного прибора, называют поправкой к показанию прибора.
Поправочный множитель (англ. correction factor) – числовой коэффициент, на который умножают неисправленный результат измерения с целью исключения влияния систематической погрешности.
Примечание. Поправочный множитель используют в случаях, когда систематическая погрешность пропорциональна значению величины.
Точность результата измерений (англ. accuracy of measurement) – одна из характеристик качества измерения, отражающая близость к нулю погрешности результата измерения.
Примечание. Считают, что чем меньше погрешность измерения, тем больше его точность.
Неопределенность измерений (англ. uncertainty of measurement) – параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые можно приписать измеряемой величине.
Погрешность метода поверки – погрешность применяемого метода передачи размера единицы при поверке.
Погрешность градуировки средства измерений – погрешность действительного значения величины, приписанного той или иной отметке шкалы средства измерений в результате градуировки.
Погрешность воспроизведения единицы физической величины – погрешность результата измерений, выполняемых при воспроизведении единицы физической величины.
Примечание. Погрешность воспроизведения единицы при помощи государственных эталонов обычно указывают в виде ее составляющих: неисключенной систематической погрешности; случайной погрешности; нестабильности за год.
Погрешность передачи размера единицы физической величины – погрешность результата измерений, выполняемых при передаче размера единицы.
Примечание. В погрешность передачи размера единицы входят как неисключенные систематические, так и случайные погрешности метода и средств измерений.
Статическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения.
Динамическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения.
Промах – погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.
Примечание. Иногда вместо термина промах применяют термин грубая погрешность измерений.
Предельная погрешность измерения в ряду измерений – максимальная погрешность измерения (плюс, минус), допускаемая для данной измерительной задачи.
Погрешность результата однократного измерения – погрешность одного измерения (не входящего в ряд измерений), оцениваемая на основании известных погрешностей средства и метода измерений в данных условиях (измерений).
Пример. При однократном измерении микрометром какого-либо размера детали получено значение величины, равное 12,55 мм. При этом еще до измерения известно, что погрешность микрометра в данном диапазоне составляет +/- 0,01 мм, и погрешность метода (непосредственной оценки) в данном случае принята равной нулю. Следовательно, погрешность полученного результата будет равна +/- 0,01 мм в данных условиях измерений.
II. Формулы расчета
Среднее квадратическое отклонение результатов единичных измерений в ряду измерений (англ. experimental (sample) standard deviation) – характеристика S рассеяния результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины, вычисляемая по формуле:
,
где: xi - результат i-го единичного измерения; x - среднее арифметическое значение n единичных результатов измерений величины.
Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения результатов измерений (англ. experimental (sample) standard deviation) – характеристика Sx рассеяния среднего арифметического значения результатов равноточных измерений одной и той же величины, вычисляемая по формуле:
,
где: n- число измерений в ряду.
Доверительные границы погрешности результата измерений – наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений.
Суммарное среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения результатов измерений – характеристика Sрассеяния среднего арифметического результатов измерений, обусловленная влиянием случайных и неисключенных систематических погрешностей и вычисляемая по формуле:
В качестве результата измерения принимается среднее арифметическое значение результатов наблюдений:
ширину доверительного интервала систематической погрешности прибора можно записать в виде:
В соответствии с формулой (1.5) полуширина доверительного интервала равна
Пусть переменная величина у, являющаяся функцией переменой величины х, измеряется при n различных значениях х, т.е. получают n экспериментальных точек: (х1, у1); (х2, у2); …(хn, уn). Будем считать, что зависимость у от х является функцией 
, вид которой зависит от параметров a1, a2, …, am. Величину этих параметров находят из условия минимума суммы квадратов:
.
Отсюда и название рассматриваемого метода. Из условия минимума S следует система уравнений
(i=1, 2, …, m) , (1.19)
решая которую находят значения параметров 
.
Будем считать, что зависимость между х и у является линейной: 
.
Тогда 
. (1.20)
Подставляя сумму квадратов S, определяемую формулой (1.20) в уравнения (1.19) и решая их, найдем такие значения А и В параметров 
и 
, при которых сумма (1.20) минимальна, т.е. минимальна сумма квадратов отклонений экспериментальных точек ( 
) от прямой линии 
.
Получим формулы:
; 
; (1.21)
; 
;
где скобки 
означают среднее арифметическое величины х по всем n экспериментальным точкам (см. формулу 1.1). В формулах S(B) и S(A) - это выборочные оценки среднеквадратичных отклонений величин В и А. Отсюда полуширина 
доверительного интервала для вероятности Р выражается с помощью коэффициента Стьюдента:
,
где число степеней свободы 
(n - число экспериментальных точек).
Если значения 
большие, то вычисления по формулам (1.21) требуют высокой точности. Для уменьшения ошибок вычислений можно начало координат по оси Х перенести в точку .
III. Применение формул в лабораторных работах
· Лабораторная работа М2
Подставляя формулу 
в формулу 
, получим расчетную формулу для величины необратимых потерь механической энергии при абсолютно неупругом ударе груза и сваи:
.
Найдём величину необратимых потерь механической энергии dЕ, а полуширину доверительного интервала D(dЕ) этой величины определим с помощью формулы:
.
Долю g необратимых потерь механической энергии определим по формуле 
, а полуширину доверительного интервала Dg найдём с помощью формулы:
.
· Лабораторная работа М10
Рассчитаем абсолютные и относительные ошибки прямых измерений диаметра шкива, времени падения груза и числа полных оборотов маховика до остановки по соответствующим формулам:
, 
, 
%.
, 
, 
%.
, 
.
Рассчитаем относительную погрешность DI/I по формуле:
,
где m = 610 г - масса груза;
Dm = 0,5 г - абсолютная погрешность измерения массы груза.
В расчетной формуле относительной погрешности DI/I не учитывается относительная погрешность величины ускорения свободного падения (Dg/g).
· Лабораторная работа ЭМ2
Оценим погрешности метода измерений по приближенной формуле
,
где DНБ и Db – абсолютные погрешности при измерении магнитного поля буссоли и угла отклонения магнитной стрелки.
Результаты измерения 
вычислим по формуле:
Выборочные оценки 
среднеквадратичных отклонений найдем по формуле:
Полуширину доверительных интервалов найдем по формуле:
Тогда DНБ = 3,673924 и Db =11,77176
IV. Вывод
Очень широко среди практиков распространено мнение, что все затруднения с вероятностной оценкой погрешности объясняются лишь их слабой подготовкой в области математической статистики и теории вероятностей. Бее необходимые для этого задачи, дескать, давно решены в теории вероятностей и теории случайных процессов. Стоит лишь как следует овладеть премудростью этих наук и все сложности разрешатся сами собой. Но это верно лишь отчасти. Очень многое применительно к нуждам оценки погрешностей еще ждет своей разработки.
Так, например, нельзя же ожидать, что для всего разнообразия законов распределения погрешностей математики дадут таблицы квантилей. Такие таблицы заняли бы целый том. Нужно какое-то другое решение, например, в виде приближенных формул, а такие формулы нужно разработать. Подобное положение наблюдается и с методикой суммирования погрешностей. Строгое математическое решение в пике многомерного распределения для практики бесполезно. То же самое относится и к имитационному моделированию но методу Монте-Карло, так как оно не может дать общего решения, а численные решения всякий раз должны проводиться заново. Нужны упрощенные, практические методы. Это особенно относится к расчету погрешности косвенных измерений где из-за математической сложности необходимо ограничиться самыми примитивными методами.
Особого внимания заслуживает анализ путей повышения эффективности измерительного эксперимента. Это прежде всего разработка шкалы затрат на подготовку, постановку и проведение эксперимента и шкалы достигаемого эффекта с учетом как параметров мениска погрешностей, так и протяженности варьирования факторов. Естественно, что оценка результата сложного многофакторного эксперимента одним числом крайне примитивна. Здесь нужен системный, комплексный подход, своеобразная квалиметрия процесса измерения, в какой-то степени аналогичная квалиметрии СИ.
Одним словом, нерешенных вопросов в области оценки погрешностей результатов измерений вполне достаточно. Эти трудные и неблагодарные задачи еще ожидают энтузиастов дня их разрешения.