Бет туралы тсінік. Бір тегіс беттер.

Е арапайым беттерден жазыты, тйы жарты жазыты жне квадратты айтамыз. Е арапайым беттерге гомеоморфты фигураны элементар бет деп айтамыз.

Басаша айтанда, элементар бет деп фигурасын айтамыз, егер ол екі лшемді сызы болса гомеоморфты болса.

Евклид кеістігіндегі беттен аырлы немесе санаулы элементар беттермен жабуа болатын фигурасын айтамыз.

Егер рбір нктесіні маайы элементар бет болса, онда ол бетті арапайым деп атаймыз.

вклидтік кеістігінде тік брышты координаттар жйесін ендіреміз, онда элементар бетті тедеуін келесі трде беруге болады.

1. Векторлы тедеуі:

мндаы - нктесіні радиус векторы.

2. Параметрлік тедеуі:

3. Айындалмаан тедеуі;

Параметрлік тедеуі арылы берілген F элементар беті класына жататын біртегіс бет деп аталады. егер функциялары k реткіге дейін зіліссіз дербес туындылары бар болып рбір нктесінде ана орындалса.

Айындалмаан тедеу арылы арылы берілген F беті классына жататын бертегіс бет деп аталады, егер келесі екі шарт орындалса:

1) нктесіні маайында функциясы жне оны k реткіге дейінгі дербес туындылары зіліссіз болса;

2) нктесінде ранг орындалсада.

Егер векторлы функция арылы тедеуі берілген Г бетінде

траты деп алса, яни, онда функциясы F бетінде жататын андайда бір сызыты береді, оны u-сызыы деп атаймыз. Бл сызыты жанама векторы болады. Сол сияты болан жадайда. беттегі бір сызыты тедеуі болады, оны сызыы деп атаймыз. бл сызыты жанама векторы болады. Беттегі рбір нктесі арылы біруден u жне сызытары теді. Осы сызытарды беттегі координатты сызытар деп атаймыз. Бір тегіс беттегі жне векторлары сызыты туелсіз векторлар болады: демек, біртегіс беттегі координатты сызытар ртрлі баыттарда теді екен.

z

 

Егер класына жататын параметрлеу арылы берілсе, ал гомеоморфизм болса, онда

онда гомеоморфизмі аныталады. Егер g гомеоморфизмі бетін анытаса, онда h параметрлерді ауыстыру ммкіндігіні гомеоморфизмі деп аталады.

беті шін параметрін ауыстыру ммкіндігіндегі бейнелуі деп аталады, егер келесі ш шарт орындалса:

1) h - гомеомарфизм болса яни

орындалса;

2) функцияларыны k ретке дейінгі зіліссіз дербес туындылары бар болса;

3) рбір нктесі шін орындалса.

Мысалдар:

1. Келесі тедеу арылы берілген шеберді OZ осі бойынша айналдыранда пайда болан бетті параметрлік тедеуін рыыздар:

z

Шешуі: Бастапыда бл бетті нктесі бойында жатсын, яни XOZ жазытыында. t уаытынан кейін ол нкте брышына брылым нктесіне келеді. Брылу OZ осі бойынша боландытан нкте OZ осіне перпендикуляр брылады, сондытан нктені Z координатасы згермейді. Нктені траекториясы шебер болатыны белгілі жне ол шебер xoy жазытыына паралель, демек нктені координаттары болады. R– айналу радиусы згермейді, демек болады. Осыдан бетті тедеуі келесі трде болатынын креміз.

M

y

x

Осы пайда болан бетті бір тор деп атаймыз.

 

2. Келесі параметрлік тедеулері арылы берілген беттер беттесетінін длелдеіздер.

Шешуі: бейнелеуігомеоморфизм болады жне классына жатады, демек Беті бір тегіс себебі ранг ранг

Осы сияты креміз.

деп алса,

болып олар гомеоморфизмді анытайды жне

Демек параметризация ауыстыруы ммкін екен. Осыда бл екі тедеу бір бетті анытайды.

3. Келесі тедеумен берілген бет біруысты гиперболлоидта анытайтынын крсетііз. Осы беттегі координаталы сызытарды табыыз:

Шешуі: рнектері тедеуін анааттандыратынын тексеріп круге болады.

координатты сызыыны тедеуі келесі трде болады.

немесе

рбір рнектен табатын болса,

Келесі тедікке келеміз.

Бл нктесінен тетін баыттаушы векторы

Осы сияты координаталы сызыын табамыз,

ол

бл сызыты нктесінен теді, баыттаушы векторы

Сонымен бір уысты гиперболлоидты координатты сызытары тзу сызытар болады, жне бетте блардан згеше тзу сызытар жо болады.

 

Жаттыулар:

1. Келесі сызытарды айсылары бір тегіс сызы болады? Болса андай класса жатады?

а)

б)

в) .

г) .

д) , , , u,

е)

Жауаптары:

а) Болады класына жатады;

б) болмайды, кері бейнелері жо сондытан гомеоморфизм болмайды

в) болады, класына жатады;

г) болмайды, функция дифференцяланбайды;

д) болмайды, функция аныталмаан;

е) болады, класына жатады.

 

2. Параметрлік тедеулері арылы берілген келесі екінші ретті беттерді табыыздар.

а) u,

б)

в) .

г)

д) , , , u,

е) , , , u,

Жауаптары:

а) эллипстік цилиндр:

б) гиперболалы парабаллоид:

в) сфера:

г) екі уысты гиперболлоид:

д)екі уысты гирепболлоид:

е) бір уысты гиперболлоид:

 

3. Параметрлері арылы берілген беттерді тедеулерін айындалмаан трде жазыыздар:

а)

б) ,

в) u,

г)

Жауаптары:

а) конус:

б) гиперболалы цилиндр:

в)

г)гиперболалы цилиндр: xy=z;

 

4. Келесі беттерді параметрлік тедеуін жазыыздар.

а) сфера;

б) эллипсоид;

в) екі уысты гиперболлоид;

г) эллипстік параболлоид;

д) екінші ретті конус;

е) эллипстік цилиндр;

ж) гиперболалы цилиндр;

з) параболалы цилиндр.

Жауаптары:

а)

б)

сфералы эллипсоидты дербес трі болатыны ескерілді;

в) , , ,

г)

д)

е)

ж) ,