РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
(СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ ВЫХОДАМИ)
Пусть как и прежде 
– входной, 
– выходной и 
– промежуточные сигналы четырехполюсника. Тогда система дифференциальных уравнений четырехполюсника может быть записана в виде
(1.67)
где 
– правые части, зависящие только от входного сигнала . Уравнения (1.67) для компактности можно записать в векторной форме
, (1.68)
где
.
Решение системы (1.68) состоит из совокупности векторов-решений 
,
(где 
– произвольные постоянные) однородной системы
(1.69)
и частного вектора-решения 
неоднородного уравнения (1.68)
.
Здесь
,
где 
, 
– частные решения. Индекс 
соответствует номеру искомой переменной, а индекс 
– номеру частного решения.
1.9.1. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ
(СВОБОДНЫЙ РЕЖИМ)
Вид частных решений системы (1.69) определяет характеристическое уравнение
, (1.70)
где 
– единичная матрица. В развернутой форме (1.70) примет следующий вид:
. (1.71)
А. Корни характеристического уравнения
различные и действительные
В этом случае корням 
соответствуют частные решения
,
где 
– произвольные постоянные.
Пример 1.13. Найти вид свободного решения системы
(1.72)
Характеристическое уравнение системы имеет вид
.
Отсюда 
. Этим корням соответствуют частные решения
.
Для определения вида свободной составляющей, соответствующей корню 
, подставим 
в (1.72)
Отсюда 
.
Второе уравнение является следствием первого, поэтому один из коэффициентов можно взять произвольно; примем 
. Тогда 
. Следовательно, первое частное вектор-решение будет
.
В случае корня 
поступим аналогично предыдущему
откуда 
, 
.
Второе уравнение снова является следствием первого. Тогда произвольно примем 
. Следовательно, второе частное вектор-решение будет
.
Таким образом, общее решение системы (1.72) имеет следующий вид:
или
Б. Корни характеристического уравнения действительные, кратные
Пусть 
является r-кратным корнем характеристического уравнения (1.71). В этом случае также имеем п частных решений
,
где коэффициенты 
, как и прежде, – произвольные постоянные.
Пример 1.14. Найти общее решение системы
(1.73)
Характеристическое уравнение системы имеет вид
.
Его корни 
. Вектор-решение запишется как
. (1.74)
Коэффициенты 
определяются подстановкой (1.74) в (1.73) аналогично примеру 1.13
. (1.75)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
в системе (1.75), получим следующие системы для определения коэффициентов :
, (1.76)
. (1.77)
Поскольку уравнения системы (1.77) линейно зависимы, то коэффициент 
может быть произвольным, например . Тогда 
, а из (1.76) следует, что 
. Из-за линейной зависимости уравнений (1.76) коэффициенты 
и 
также произвольны; пусть 
, тогда 
. Таким образом, искомое свободное решение будет равно
.
В. Корни характеристического уравнения комплексные
Пусть таким корнем является 
, тогда ему соответствует сопряженный корень 
.
Общее решение системы в этом случае ищется в следующем
виде:
, (1.78)
где 
и 
– вещественная и мнимая части частного решения, соответствующего одному из корней (например, корню 
)
, (1.79)
где коэффициенты 
в общем случае будут комплексными.
Пример 1.15. Найти свободное решение системы
(1.80)
Характеристическое уравнение системы имеет вид
;
его корни 
.
Найдем частное решение для одного из корней, например для
.
Согласно (1.79)
. (1.81)
Подставим (1.81) в (1.80) и сократим на 
(1.82)
Отсюда следует, что
,
причем 
– произвольное число (из-за линейной зависимости системы (1.82)).
Пусть 
, тогда 
. Частное решение (1.81) будет иметь следующий вид:
.
В соответствии с (1.78)
.
1.9.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ
НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ (ПРИНУЖДЕННЫЙ РЕЖИМ)
1. Если правая часть 
системы (1.68) состоит из функций
, (1.83)
то частное решение системы будет содержать составляющие вида
, (1.84)
где 
– кратность корня 
(если среди корней нет , то 
). Здесь 
– порядок системы.
2. Если правая часть (1.68) содержит функции
или
,
то принужденное решение будет иметь следующие составляющие:
,
где 
.
Пример 1.16. Найти частное решение системы
(1.85)
Нетрудно видеть, что эта система заимствована из примера 1.13. Корни характеристического уравнения 
и 
не совпадают с показателями степеней экспонент правых частей: 
, 
. Согласно (1.83) и (1.84) можно записать
. (1.86)
Для определения постоянных подставим (1.86) в (1.85)
Приведя одинаковые члены, получим
Тогда принужденное решение системы будет иметь следующий вид:
.
* Переменными состояния являются ток в индуктивности и напряжение на емкости (более подробно см. разд. 1.8.2).