ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ СПОСОБ

Kiselev. Лапласа-Гаусса и Гельмгольца-Гаусса параксиальные моды в средах с квадратичным показателем преломления

Aleksei P. Kiselev and Alexandr B. Plachenov. Laplace-Gauss and Helmholtz-Gauss paraxial modes in media with quadratic refraction index. Vol.33, №4 JOSA A 2016 663-666.

Рассматривается скалярная теория параксиального распространения волн в осесимметричной среде, где показатель преломления квадратично зависит от поперечных переменных. Представлены точные решения соответствующего параболического уравнения, обобщая моды Лапласа-Гаусса и Гельмгольца-Гаусса, ранее известные для однородных сред. Кроме того, дано обобщение несимметричного пучка Бесселя-Гаусса нулевого порядка

ВВЕДЕНИЕ

Параксиальные Гауссовы моды высших порядков - аппроксимационные параксиальные решения уравнения Гельмгольца,

(1)

имеющие формy

(2)

с функцией H = константа, где g - фундаментальная мода. В течение нескольких десятилетий были известны только коэффициенты H, которые являются полиномами относительно поперечных переменных. В [1] немногочленные коэффициенты H, описывающие пучки Бесселя-Гаусса в однородных средах, были первоначально введены для аксиально симметричной g. Затем общий класс решений, названных Гельмгольца-Гаусса модами, который включает моды Бесселя-Гаусса, был найден в [2] разделением переменных. В [3] этот класс был повторно получен методами теории групп. Несколько других немногочленных решений этого класса были перечислены в [4]. Вырожденный специальный класс Гельмгольца-Гаусса мод, названных модами Лапласа-Гаусса [2,5,6], описывает, в частности оптические вихри и некоторые другие спиральные решения (см., например, [7,8]).

Здесь мы представляем обобщение Лапласа-Гаусса и Гельмгольца-Гаусса параксиальных мод для аксиально симметричной неоднородной среды с квадратичным показателем преломления. Аналогично [2], подход основан на разделении переменных. Мы начинаем с уравнения Гельмгольца [Уравнение (1)] с показателем преломления n = n (x, y), квадратичным по поперечным переменным x и y [9-11]:

(3)

Здесь, > 0 и являются вещественными константами, а k, волновое число в вакууме, может интерпретироваться, как большой формальный параметр. Положительный соответствует случаю волновода, отрицательный соответствует антиволноводу, и соответствует однородной среде. Для дальнейшего рассмотрения знак имеет мало значения.

Ища решения Уравнения (1) в форме

(4)

и исключая, при предположении о параксиальности, члены высших порядков (см., например, [9,11]), мы получаем аппроксимационное параболическое уравнение

(5)

где

(6)

Мы интересуемся решениями Уравнения (5), ограниченными около z-оси, то есть,

(7)

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ СПОСОБ

Осесимметричная фундаментальная мода гауссового пучка – это

где G - решение уравнения (5), имеющее форму

(8)

Здесь - комплексный параметр пучка . Функции и удовлетворяют уравнениям

(9)

и

(10)

Уравнения (9) и (10) подразумевают зависимость q и а от z, заданную выражениями (см. [9-11]),

(11)

и

(12)

Здесь, имеет отрицательную мнимую часть и функции , , , и являются записями лучевой матрицы (см. [9-11]). Самый известный случай для однородной среды, где и (см., например, [10,11])

T(z)=

 

Для важного случая волноводной среды, где , хорошо известный результат (см., например, [10,11]),

T(z)=

 

В случае антиволноводной среды, где , мы имеем (см., например, [10]),

T(z)=

 

Последний случай, где локализация пучка быстро слабеет, когда z возрастает, представляет меньший интерес и учтен, главным образом, для полноты представления.

Обсуждение фундаментальных модовых решений для Уравнения (5) с операторами, более общими, чем Уравнение (6), может быть найдено в [12].

РЕШЕНИЯ ЛАПЛАСА ГАУССА

Мы ищем решение параболического уравнения [Уравнение (5)] в форме [2]

, , (13)

где зависимость будет определена позже. Подставляя Уравнение (13) в Уравнение (5) и используя уравнения

L(G)=0 мы получаем

L(U)=2ik

Где . Очевидные формулы

,

подразумевают уравнение

Мы выбираем b(z) так, чтобы

 

следовательно [посмотрите Уравнение (10)]

(14)

Мы, таким образом, получаем уравнение Лапласа

(15)

Мы рассматриваем H только таким образом, что произведение (2) удовлетворяет условию Уравнения (7). Общее решение Уравнения (15) – это

)(16)

где F± - произвольные аналитические функции комплексной переменной. Решения только с одним членом в правой стороне, то есть, или , соответствуют своего рода пучку спирального типа [7,8]. Функции, имеющие определенную форму

(17)

где m - целое число, и f аналитична, соответствуют модам, известным как оптические вихри. Эти моды с нецелым числом m (которые появляются, например, при описании распространения пучков вдоль краев клиньев; см. [6,13,14]), разветвляются (branch) на оси Z, и не удовлетворяя n параболическому уравнению [Уравнению (5)] во всем пространстве. Такие решения, как говорят, несут дробные топологические заряды (см., например, [14]).