Довести, що три висоти трикутника перетинаются в одній точці.

С. Колеснік

Збірник

Контрольних робіт

аналітична геометрія та лінійна алгебра,

Алгебра та теорія чисел

Методичний посібник

Херсон – 2005

Затверджено на засіданні кафедри алгебри, геометрії та математичного аналізу (протокол № 6 від 9 лютого 2004)

Затверджено на засіданні науково-методичної ради ХДУ (протокол № 3 від 11 лютого 2004 р.)

Рекомендовано вченою радою ХДУ (протокол № 6 від 1 березня 2004 р.)

Автор – Колеснік Світлана Григорівна

доцент кафедри алгебри, геометрії та математичного аналізу

Херсонського державного університету

Рецензенти: Мельник І.І. – кандидат фізико-математичних наук, доцент ХДУ

Таточенко В.І. – кандидат педагогічних наук, доцент ХДУ.

Методичний посібник призначений для студентів фізико-математичних спеціальностей заочної та денної форм навчання, вчителів та учнів ліцеїв, коледжів та шкіл з поглибленим вивченням математики.

Колеснік С.Г.

Збірник контрольних робіт. Аналітична геометрія та лінійна

алгебра, алгебра та теорія чисел: Методичний посібник. Херсон:

Айлант, 2005 р., 112 с.

ISBN 966-630-076-1

ISBN 966-630-076-1 © Колеснік С.Г., 2005

ЗМІСТ

Вступ. 4

Контрольна робота № 1. 6

Зразки розвязання задач контрольної роботи №1. 16

Контрольна робота № 2. 23

Зразки розв’язання задач контрольної роботи №2. 24

Контрольна робота № 3. 32

Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 3. 37

Контрольна робота № 4. 54

Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 4. 55

Контрольна робота №5. 61

Зразки розв’язання задач контрольної роботи №5. 62

Контрольна робота № 6. 71

Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 6. 72

Контрольна робота №7. 78

Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 7. 82

Контрольна робота № 8. 86

Зразки роз`язання задач контрольної роботи № 8. 88

Контрольна робота № 9. 92

Зразки розв‘язання задач контрольної роботи № 9. 95

Додаток: таблиці первісних коренів та індексів. 105

ВСТУП

Математичні знання, які студент має придбати в результаті роботи над курсом алгебри, призвані відіграти важливу роль в процесі його подальшого навчання в університеті. Вони будуть потрібні йому для успішного вивчення загальнотеоретичних та спеціальних предметів.

Математичні методи широко використовуються для розв`язання самих різноманітних технічних задач, задач лінійного програмування, задач олімпіадного характеру. Тому студент повинен передбачити, що і після закінчення університету він не раз зіткнеться з необхідністю застосувати свої математичні знання в практичній діяльності.

Курс алгебри призваний також створити у студента міцні навички логічного мислення, так необхідні кожному спеціалісту.

Курс алгебри вивчається на відділенні “ПМСО. Математика” протягом трьох років. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри на відділенні “Інформатика. ПМСО. Математика” – протягом трьох семестрів, на відділенні “ПМСО. Фізика” – двох семестрів. Курс вищої алгебри на відділенні “Інформатика. ПМСО. МАтематика” вивчається протягом одного семестру.

Робота студента над навчальним матеріалом в основному складається з читання рекомендованих підручників, розв`язання задач, слухання лекцій, складання конспектів, виконання контрольних робіт, складання іспитів.

В процесі вивчення курсу алгебри студент повинен виконати ряд контрольних робіт, які дозволяють як викладачу, так і студенту робити висновок про ступінь засвоєння ним відповідного розділу курса; вказують йому на існуючі недоліки, на бажаний напрямок його подальшої роботи. Допомагають сформулювати питання для консультації з викладачем. Здійснення такої допомоги студенту в його роботі – головна мета цих контрольних робіт.

Контрольні роботи повинні виконуватися самостійно. Несамостійно виконана робота не дає можливості викладачу вказати студенту на недоліки в його роботі, в засвоєнні навчального матеріалу, в результаті чого студент не здобуває необхідних знань.

При виконанні та оформленні контрольної роботи студент повинен додержуватися наступних правил:

а.) у заголовку контрольної роботи повинні бути вписані прізвище студента, його ініціали, назва спеціальності, номер варіанту і дата написання;

б.) контрольну роботу слід виконувати в окремому зошиті з полями для зауважень викладача;

в.) розв`язання контрольних робіт слід розташовувати в порядку номерів, вказаних в завданнях; перед розв`язанням кожної задачі треба виписувати повністю її умову;

г.) розв`язання задач та пояснення до них слід викладати докладно, охайно, без скорочень слів, супроводжувати у випадку необхідності посиланням на теорію, малюнки можна виконувати від руки.

Студенти денної форми навчання спеціальності “ПМСО. Математика” повинні виконати з курсу “Алгебра і теорія чисел” 12 контрольних робіт; заочної форми – 6 робіт.

Студенти спеціальності “Інформатика. ПМСО. Математика” з курсу “Аналітична геометрія та лінійна алгебра” повинні виконати 6 контрольних робіт, з курсу “Вища алгебра” – 2 роботи. Студенти спеціальності “ПМСО. Фізика” – 4 контрольні роботи.

Цей збірник містить 9 контрольних робіт. Матеріал деяких контрольних робіт може бути розбито на дві контрольні роботи. Це стосується контрольних робіт № 1, 2, 3, 9.

Кожна контрольна робота може бути використана як контрольний зріз знань з певної теми.

У зв`язку з тим, що контрольні роботи виконуються і на заочному відділенні. де студенти мають меншу можливість для одержання консультації викладача, для кожної контрольної роботи наводяться зразки розв`язання задач.

Курс “Алгебра і теорія чисел” студенту рекомендується вивчати або за підручником

С. Т. Завало, В. Н. Костарчук. Б. І. Хацет “Алгебра і теорія чисел.” К., “Вища шк.”, 1977,

або

Л. Я. Куликов «Алгебра и теория чисел», М., «Высш. шк.», 1979.

Курс “Аналітична геометрія і лінійна алгебра” –

А. А. Дадаян, в. А. Дударенко «Алгебра и геометрия», М., «Вышэйшая шк.», 1989.

И. Я. Бакельман «Аналитическая геометрия и линейная алгебра», М., «Просвещение», 1976.

И. И. Привалов «Аналитическая геометрия», М., «Госиздат», 1977.

Слід попередити студента, що основні поняття аналітичної геометрії, лінійної алгебри, вищої алгебри, теорії чисел в різних підручниках трактуються по-різному. Тому одночасне користування декількома підручниками, як правило, може викликати деякі труднощі, скласти у нього небезпечну плутанину в уявленнях.

Тому студент повинен з самого початку обрати собі основні підручники та потім додержуватися одного з них.

Контрольна робота № 1

Варіант 1.

1. Довести, що із медіан трикутника можна побудувати новий трикутник (застосовуючи апарат векторної алгебри).

2. Знайти точку симетричну з точкою Q(-2,-9), відносно прямої
2x + 5y – 38 = 0.

3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих
2x + y – 2 = 0 і x – 5y – 23 = 0 та ділить пополам відрізок АВ,
де А(5,–6), В( –1,4).

4. З усіх прямих, що перетинають дві прямі: і

знайти ту, що паралельна прямій

5. Знайти відстань між прямими

6. Через дві точки А(0, 1, -2) і В(2, 1, 0) провести площину перпендикулярну до площини 3x – y + 2z = 0.

7. Знайти ті дотичні до еліпса , які паралельні прямій
2x – y +17 = 0.

8. Написати рівняння гіперболи з фокусами в точках (3, 0); (-3, 0) та ексцентрисите-том e = 2.

9. Визначити тип поверхні та знайти її найпростіше рівняння:

2x² + 4y² – z² + 8x + 8y – 5 = 0.

10. З¢ясувати геометричний зміст рівняння та побудувати ескіз x² – 2y² = 4.

Варіант 2.

1. Довести, що середня лінія трикутника дорівнює половині основи і паралельна їй (застосовуючи апарат векторної алгебри).

2. Знайдіть відстань між прямими 3x – 4y + 10 = 0 i 6x – 8y + 15 = 0.

3. Знайти точку, симетричну з точкою М(-2, 5) відносно прямої х – 5у + 7 = 0.

4. Знайти кут між двома прямими: і

5. Знайти відстань між двома прямими і

6. Через пряму провести площину перпендикулярну до

площини х + 4у – 3z + 7 = 0.

7. Знайти рівняння тих дотичних до еліпса 3х² + 8у² = 45, відстань яких від центра еліпса дорівнює 3.

8. Скласти рівняння гіперболи, якщо відстань між директрисами

дорівнює і ексцентриситет e = .

9. Визначити тип поверхні та знайти її найпростіше рівняння:
x² + y² + 3z² – 6z + 3 = 0.

10.З¢ясувати геометричний зміст рівняння та побудувати ескіз 2x² + 4y² = 8.

Варіант 3.

1. Довести, що середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі (застосовуючи апарат векторної алгебри).

2. Через точку перетину прямих 2х – 5у – 1 = 0 і х + 4у – 7 = 0 провести пряму, яка ділить відрізок між точками А(4, -3); В(-1, 2) у відношенні l = 2 : 3.

3. Обчислити довжину бісектриси BD кута В трикутника АВС, якщо А(4, 1);
В(7, 5); С(-4, 7).

4. З даної точки А(1, 2, -1) провести пряму, що перетинає пряму

під кутом 90^о.

5. Знайти відстань між двома прямими

6. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат і перпендикулярна до двох площин 2x – y + 5z + 3 = 0 і x + 3y – z – 7 = 0.

7. До гіперболи провести таку дотичну, яка знаходилась би на однаковій відстані від центра і від правого фокуса.

8. Скласти рівняння еліпса, якщо відстань між директрисами дорівнює 32 і ексцентриситет e = 0,5.

9. Визначити тип поверхні та знайти її найпростіше рівняння:

x² + 5y² + z² – 2х + 20у – 2z – 3 = 0.

10. З¢ясувати геометричний зміст рівняння та побудувати ескіз 2у² – 6z = 0.

Варіант 4.

1. Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці. Знайти відношення, в якому точка перетину ділить медіану (застосовуючи апарат векторної алгебри).

2. Відомі рівняння двох суміжних сторін паралелограма х – у – 1 = 0 і
х – 2у = 0 та точка перетину його діагоналей М(3, -1). Знайти рівняння двох інших сторін паралелограма.

3. Дано дві точки А(2, 3) і В(1, -1). Провести пряму так, щоб вона пройшла на відстані 3-х одиниць від точки А і на відстані 4 одиниць від точки В.

4. Через точку А(4, 0, -1) провести пряму так, щоб вона перетинала дві дані прямі:

та .

5. Знайти відстань між прямими і .

6. Знайти рівняння площини, що проходить через пряму

та паралельну прямій .

7. Скласти рівняння дотичної до параболи у² = 28х, перпендикулярної до прямої у – 6х + 1 = 0.

8. Знайти кут між асимптотами гіперболи, у якої відстань між фокусами вдвічі більша відстані між директрисами.

9. Визначити вид поверхні та звести її рівняння до найпростішого вигляду

2x² – 4y² – 5z² + x – 8у + 10z – 8 = 0.

10. З¢ясувати геометричний зміст рівняння та побудувати ескіз 6x² – 4y² = 0.

Варіант 5.

1. Довести, що сума векторів, що з¢єднують центр правильного трикутника з його вершинами, дорівнює нулю (застосовуючи апарат векторної алгебри).

2. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну з його вершин А(-4, 2) і рівняння двох медіан 3х – 2у + 2 = 0 і 3х + 5у – 12 = 0.

3. На відстані 5 одиниць від початку координат провести пряму так, щоб вона пройшла через ту точку прямої 8х + 5у – 39 = 0, яка має абцису х = 2.

4. З даної точки А(1, 2, -3) опустити перпендикуляр на пряму

5. Знайти відстань між двома прямими

6. Знайти рівняння площини, що проходить через точку А(3, 1, -2) і через

пряму .

7. До гіперболи провести дотичну паралельну до прямої
х + у – 7 = 0.

8. На еліпсі знайти точку, відстінь якої від правого фокуса у

чотири рази більша відстані від її лівого фокуса.

9. Визначити тип поверхні та знайти її найпростіше рівняння:

3x² + 4y² – 3z² – 6х + 8у – 9z – 1 = 0.

10. З¢ясувати геометричний зміст рівняння та побудувати ескіз 3х² – 6у² = 12.

Варіант 6.

1. Довести, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на дві частини, пропорціональні бічним сторонам (застосовуючи апарат векторної алгебри).

2. Відомі рівняння двох суміжних сторін паралелограма: х – у – 1 = 0;
х – 2у = 0 та точка перетину його діагоналей М(3, -1). Знайти рівняння двох інших сторін паралелограма.

3. Скласти рівняння сторін трикутника знаючи одну з його вершин А(2, -4) і рівняння бісектрис двох його кутів х + y – 2 = 0 і х – 3у – 6 = 0.

4. Скласти рівняння прямої, яка перетинає прямі та

і паралельна прямій .

5. Знайти відстань між прямими і .

6. Знайти рівняння площини, що проходить через дану пряму

і перпендикулярна до даної площини 7х – у + 2z – 5 = 0.

7. Знайти ті дотичні до гіперболи 4х² – у² = 4, які перпендикулярні до прямої
10у + 3х = 0.

8. Написати рівняння кола, яке проходить через точку (1, 2) і дотикається до прямої у = х в точці (3, 3).

9. Визначити вид поверхні та знайти її найпростіше рівняння:

2x² – 3y² + 5z² – 4x – 6y + 10z – 2 = 0.

10.З¢ясувати геометричний зміст рівняння та побудувати ескіз 5x² – 6z² = 30.

Варіант 7.

1. Нехай а і b – сторони ромба, які виходять із спільної вершини. Довести, що діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

2. Через точку перетину прямих 2х – 5у – 1 = 0 і х + 4у – 7 = 0 провести пряму, яка ділить відрізок між точками А(4, 3) і В(-1, 2) у відношенні l = 2 : 3.

3. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну з його вершин А(-4, 2) і рівняння двох медіан 3х – 2у + 2 = 0 і 3х + 5у – 12 = 0.

4. Через точку А(4, 0, -1) провести пряму так, щоб вона перетинала дві прямі:

та .

5. Знайти відстань точки А(3, 5, -1) від прямої .

6. Знайти точку, симетричну точці А(7, 6, -1) відносно площини

2х + 4у – z +17 = 0.

7. На еліпсі знайти точку, для якої добуток фокальних

радіусів-векторів дорівнює квадрату малої півосі.

8. Через точку М(2, -1) провести коло, що дотикається до кола

х²+у²–8х –4у+19 = 0 і має радіус, рівний одиниці.

9. Визначити тип поверхні та знайти її найпростіше рівняння:

2х² – 4у² + 6х + 8у – 10z – 5 = 0.

10. З¢ясувати геометричний зміст рівняння та побудувати ескіз:

4у² – 3х² + 5z² – 6 = 0

Варіант 8.

1. На сторонах трикутника АВС поза ним побудовані рівносторонні трикутники АВС₁, ВСА₁, САВ₁. Довести, що АА₁ + ВВ₁ + СС₁ = 0.

2. Знаючи рівняння 3х – 2у + 6 = 0 однієї із сторін кута і рівняння його бісектриси х – 3у + 5 = 0, скласти рівняння другої сторони кута.

3. Обчислити площу ромба, знаючи одну із його вершин А(0, -1), точку перетину діагоналей М(4, 4) і точку (2, 0) на стороні АВ.

4. На відстані трьох одиниць від площини 3х – 6у – 2z + 14 = 0 провести площину, яка паралельна даній.

5. Скласти рівняння спільного перпендикуляра до прямих:

і .

6. Скласти рівняння дотичної до параболи у² = 4х, яка утворює з прямою

х + у = 0 кут .

7. З точки (-2, 3) до еліпса проведено дві дотичні. Скласти рів-няння цих дотичних та визначити кут між ними.

x = 1 + 4t y = 3 + 5t z = – t

x = t y = 1 + 8t z = – 1 + 2t

Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку (-3, 2, 1) і перпендикулярна до двох прямих:

і .

2. Визначити вид поверхні та знайти її найпростіше рівняння:

3х² – 8у + 6z² – 3z + у² – 1 = 0.

10. З'ясувати геометричний зміст рівняння та побудувати ескіз: 3х² – 4z² = 12.

Варіант 9.

1. Нехай точка О – точка перетину медіан трикутника АВС і АО = a, АС = b. Розкласти АВ і ВС за векторами а і b.

2. Трикутник АВС заданий координатами своїх вершин А(1, -2); В(4, 2);
С(13, 3). Написати рівняння прямої, яка містить бісектрису внутрішнього кута А.

3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих 2х + у – 2 = 0 і х – 5у – 23 = 0 та ділить навпіл відрізок АВ, де А(5, -6);
В(-1, 4).

4. Знайти рівняння прямої, що проходить через дану пряму і

парале льна прямій .

5. На прямій знайти точку, яка була б рівновіддалена від

двох площин 12х – 9у + 20z – 1 = 0 і 16х +12у – 15z + 2 = 0.

6. З даної точки А(1, 2, -3) опустити препендикуляр на пряму , знайти його рівняння та довжину.

7. Знайти рівняння кола, центр якого в точці (0, 1) і яке дотикається до гіперболи 2х² – у² = 1.

8. Скласти рівняння хорди параболи у² = 4х, яка в точці (3, 1) ділиться навпіл.

9. Визначити вид поверхні та знайти її найпростіше рівняння:

3х² + 6х + 3у² – 12у + 3z² – 15z – 5 = 0.

10.З'ясувати геометричний зміст рівняння та побудувати ескіз: 3у² – z² = 5.

Варіант 10.

1. У тетраедрі ABCD дано ребра АВ = b; АС = с; AD = d. Виразити через ці вектори решту ребер тетраедра, медіану DM грані BCD, вектор АО, де О – центр ваги грані BCD.

2. Довести, що бісектриси кутів між прямими х –2у – 2 = 0 і 4х + 3у – 12 = 0 взаємно перпендикулярні.

3. Через точку (1, -1) провести пряму так, щоб середина її відрізка між прямими х + 2у – 1 = 0 і х + 2у – 3 = 0 лежала б на прямій х – у – 1 = 0.

4. Скласти рівняння площини, що проходить через точки (2, 0, 0); (0, 3, 0);
(0, 0, 6) та визначити відстань точки (3, -1, 5) від цієї площини.

5. Через дану точку М(1, 0, 1) провести пряму так, щоб її відрізок між площинами х – 2у + 2z – 1 = 0 і 2х – 4у + 4z – 3 = 0 ділився б у відношенні

1 : 2 точкою перетину з прямою .

6. Знайти рівняння кола, що проходить через точку (3, 1) і дотикається до еліпса 3х² + у² = 7 в точці (1, 2).

7. На еліпсі знайти точку, відстань якої від правого фокуса у

чотири рази більша відстані її від лівого фокуса.

8. Знайти рівняння площини, яка проходить через пряму

і па ралельна прямій .

9. Визначити вид поверхні та знайти її найпростіше рівняння:

2у² – 8у + 3х – 4z + 12z² – 3 = 0.

10. З'ясувати геометричний зміст рівняння та побудувати ескіз:

5у² – 6х + 15 = 0.

Зразки розв’язання задач контрольної роботи №1

1) Довести, що з половини діагоналей будь-якого чотирикутника і будь-якої із його середніх ліній можна скласти трикутник.

Розв’язання.

Нехай АВСD – деякий чотирикутник

М-середина відрізка АВ, N- середина СD.

Тому

Отже, відповідно до умови замкненості, відрізки з довжинами ; і утворюють трикутник.

Довести, що три висоти трикутника перетинаются в одній точці.

Розв’язання.

Нехай АН₁ і ВН₂ – висоти трикутника АВС ; Н – точка перетину цих висот. Через точку Н проведемо пряму СН до перетину з АВ в точці К. Позначимо

, ; . Тоді; ; .

Мають місце рівності: ; .

Звідси .Отже, відрізок СК перпендикулярний відрізку АВ і

Знайти точку, симетричну з точкою Q(3,7) відносно прямої
3x-4y+10=0

Розв’язання

Точка , симетрична точці лежить на перпендикулярі до прямої , причому QO=QO’. Тому:

1)Знаходимо рівняння прямої :

2)Знаходимо координати точки О:

Отже О .

3)Знаходимо коордитнати точки :

Отже .

Знайти відстань між прямими 3x-4y+5=0 і 6x-8y-13=0

Розв’язання

Прямі і паралельні, так як . На прямій довільно обираємо точку М(1,2); знаходимо її відстань від прямої . Зводимо рівняння прямої до нормального виду ; нормуючий множник