Вектори і перпендикулярні, тому

3А+2В+5С=0

Розв’язуємо систему рівнянь:

Підставляємо знайдені значення у рівняння шуканої площини:

Скорочуємо на –В:

Отже, 25x-5y-13z-67=0 – рівняння шуканої площини.

Відповідь: 25x-5y-13z-67=0.

 

 

7.

До гіперболи провести таку дотичну, яка знаходилась би на однаковій відстані від центра і від правого фокуса.

Розв’язання

1) Нехай М(x0,y0) – точка дотику, тоді рівняння дотичної має вигляд або.

2) Знайдемо координати правого фокуса отже

3) Знайдемо відстань d1 від центра до дотичної:

4) Знайдемо відстань d2 від до дотичної

5) За умовою, d1=d2 тому звідси

6) Знаходимо y0 ; так як М належить гіперболі, то маємо ;

Отже одержуємо дві точки дотику:

7) Запишемо рівняння дотичної

а)

б)

Відповідь:

 

 

8.

Скласти рівняння еліпса, якщо відстань між директрисами дорівнює 16; і ексцентриситет

 

Розв’язання.

Рівняння еліпса -

Необхідно знайти а і b.

- рівняння директрис.

За умовою маємо:

Для еліпса

Отже, рівняння еліпса:

Відповідь:

 

 

9.

Визначити вид поверхні та знайти її найпростіше рівняння:

2x2+3y2+5z2-4z-6y+10z-1=0

Розв’язання

Дане рівняння визначає еліпсоїд у просторі. Знаходимо його найпростіше рівняння:

Відповідь: .

10.

З’ясувати геометричний зміст рівняння: x2 = 2pz

Розв’язання

Дане рівняння на площині є рівнянням пароболи, симетричної відносно осі. У просторі – це рівняння є рівнянням параболічного циліндру, розташованого вздовж осі.

           
   
 
   
X
 

Контрольна робота № 2

I. Обчислити вирази

1. ; 3. ; 5.

2. 4. ; 6. ; 10.

7. ; 8. ; 9.

II. Представити у вигляді многочлена першого степеня від тригонометричних функцій кутів, кратних х:

1. sin3x; 2. sin4x; 3. cos5x; 4.cos6x; 5. sin3x·cos5x;

6. 3sin4xcos3x; 7. 5cos3xsin2x; 8. sin7x; 9. cos4xsin3x; 10.sin5x.

III. Обчислити суми:

1. cos x + cos 2x+ …+ cos nx; 5. cos +cos +cos +…+cos

2. sin x + sin 2x + …+ sin nx; 6. sin +sin +sin +…+sin

3. sin x + 2sin 2x + …+ nsin nx; 7. cos2 x + cos2 2x+ …+ cos2 nx;

4. cos x +2cos 2x+ …+ ncos nx; 8. sin2 x + sin2 2x + …+ sin2 nx;

9. + cos x + cos 2x+ …+ cos nx; 10. 1+acos+a2cos2+…+akcosk.

IV. 1. Знайти суму всіх коренів 6-го степеня з одиниці.

2. Довести, що первісний корінь n-го степеня з одиниці має порядок n.

3. Знайти суму всіх коренів 15-го степеня з одиниці.

4. Знайти суму всіх первісних коренів 10 степеня з одиниці.

5. Знайти суму всіх первісних коренів 15-го степеня з одиниці.

6. Знайти необхідну і достатню умови того, щоб кожен первісний корінь nm-го степеня з одиниці можна було зобразити у вигляді добутку первісних коренів n-го і m-го степенів з одиниці.

7. Знаючи, що є одним із значень , знайти всі значення .

8. Знаючи, що 2+і є одним із значень , знайти всі значення .

9. Знайти суму всіх коренів n-го степеня з одиниці.

10. Знайти суму всіх первісних коренів 24-го степеня з одиниці.

V. Дана система лінійних неоднорідних рівнянь:

(*)

1) Знайти ранг матриці А системи (*) А= .

2) Дослідити систему на сумісність.

3) Обчислити визначник матриці А способом:

а) зведенням до трикутного вигляду;

б) розкладанням за елементами першого рядка.

4) Розв'язати систему рівнянь методом Гауса, методом Крамера;

5) Знайти матрицю, обернену до матриці А системи двома способами:

а) за допомогою матриці А*- приєднаної до матриці А:

б) за допомогою комбінованої матриці: (А/Е)~(Е/A-1).

6) Записати систему (*) в матричному вигляді та розв’язати її в матричному вигляді.

Таблиця значень параметрів системи (*)

Варіант параметр
a
b
c -4 -3 -5 -2
e -2 -4 -2 -2 -4
f -5
d -1 -2 -2 -3 -8 -1

VI. За допомогою теореми про накладання розв’язків знайти загальний розв’язок системи лінійних рівнянь (*).

(*)

Таблиця значень параметрів системи (*)

Варіант параметр
m
n -1 -3 -2 -5 -2

 

Зразки розв’язання задач контрольної роботи №2

1. Обчислити вираз: (1-і )30.

Розв’язання: Представимо комплексне число z=1-i в тригонометричній формі та застосуємо формулу Муавра піднесення комплексного числа до n-го степеня. Тригонометрична форма комплексного числа має вигляд: z=r(cos +isin ), де ;

в нашому випадку а=1; b=- ; i= =2; .

Звідси ; Тоді z=2(cos +isin ).

z30= .

Відповідь: 230.

2. Представити у вигляді многочлена першого степеня від тригонометричних функцій кутів, кратних х cos3х.

Розв'язання: Розглянемо комплексне число z = cos x + isin x.

       
 
   
 


Тоді cos x = ; sin x = ;

       
   
 


cos kx = ; sin kx = ;

 

           
     
 

cos3x = = (z3 + 3z2 * z-1 + 3z-2 * z +z-3) = ((z3 + z-3) + 3(z + z-1)) =

 

           
 
     


= +3 = (cos 3x + 3cos x);

 

 
 


Відповідь: (cos 3x + 3cos x).

 

 

3. Обчислити суму: cos x + cos 2x + … + cos nx.

Розв'язання: Позначимо через S = cos x + cos 2x + … + cos nx,

T = sin x + sin 2x + … + sin nx.

Тоді S + Ti = (cos x + isin x) + (cos 2x + isin 2x) + … + (cos nx + isin nx);

cos x + isin x = a.

 
 


S+Ti = a + a2 +…+ an = = = = =

 

= = A.

 

Обчислимо знаменник

a + a-1 –2=cos x +isin x +cos x –isin x – 2 =2cos x – 2 = – 2(1 –cos x) = – 4 sin2 ;

 
 

 


A = =

 

 

       
   
 
 

 


= + i ;

 

 

Отже,

       
   
 
 

 


S = = =

 

 

= = =

 

       
   
 

 


= = ;

 

 
 

 


Відповідь: .

 

4. Знайти суму всіх первісних коренів 15-го степеня з одиниці.

 

Розв'язання: Нехай 1 – первісний корінь 15-го степеня з одиниці:

       
 
   
 


1 = cos + isin ;

 

Піднесенням 1 до степенів від 0 до 14 одержуємо всі корені 15-го степеня з одиниці. Сума всіх коренів 15-го степеня з одиниці дорівнює нулеві.

Знайдемо суму всіх первісних коренів 15-го степеня з одиниці. Позначимо її через S. Тоді

 
 


S = i – (1 + (5 + 10) + (3 + 6 + 9 + 12)) = 0 – (1 – 1 – 1) = 1.

 

Відповідь: S = 1.

 

5. Дана система лінійних неоднорідних рівнянь:

 

x1 – 2x2 + 3x3 = 2

2x1 – x2 – 3x3 = –2

x1 + 2x2 – 4x3 = –1

1 -2 3

1. Знайти ранг матриці А = 2 -1 -3 ;

1 2 -4

2. Дослідити систему на сумісність.

3. Обчислити визначник матриці А способом

а) зведення до трикутного вигляду

б) розкладанням за елементами першого рядка

4. Розв'язати систему рівнянь методом Гауса, методом Крамера.

5. Знайти матрицю, обернену до матриці А двома способами.

6. Записати систему рівнянь в матричному вигдяді та розв'язати її в матричному вигляді.

 

Розв'язання:

1) Знайдемо ранг матриці А:

 

 

А = ~ ~ ~ ~ ; r(A) = 3.

 

 

2) Досліджуємо систему рівнянь на сумісність за теоремою Кронекера-Капеллі. Виписуємо матрицю системи та розширену матрицю і знаходимо їх ранги.

       
   
 


 

А = ; .

 

       
 
   
 
 


~ ~ ~ ~ ; r(A) = 3;

 

r(A) = 3.

 

Отже, система рівнянь сумісна, так як ранг матриці А дорівнює рангу матриці А.

 

3) Обчислимо визначник матриці А:

 
 


а)

| A | = = = – = – = –3 = –3 = 15

 

 
 


б)

| A | = = 1 + 2 + 3 = 10 + 2 * (-5) + 3 * 5 = 15.

 

 

4) Розв'яжемо систему рівнянь методом Гауса. Так як елементарні перетворення матриці не змінюють її рангу, а кожній матриці можна поставити у відповідність систему лінійних рівнянь, одержуємо:

 


~ .

 

 

x1 – 2x2 + 3x3 = 2 x1 = 1;

x2 + 2x3 = 3 ~ x2 = 1;

–5x3 = –5 x3 = 1;

 

Відповідь: (1, 1, 1).

 

Розв'яжемо систему рівнянь, застосовуючи формули Крамера:

           
     


x1 = ; x2 = ; x3 = .

 

Так як визначник матриці відмінний від нуля, то система сумісна і має єдиний розв'язок.

 
 

 


Знайдемо x1 = = 8 – 12 – 6 – 3 + 12 + 16 = 15;

 

 
 


 

= 15; x2 = = 8 – 6 – 6 + 6 – 3 + 16 = 15;

 

 
 


 

x3 = = 1 + 8 + 4 + 2 + 4 – 4 = 15;

 

 

           
     
 
 
 


x1 = ; x1 = 1; x2= ; x2 = 1; x3= ; x3 = 1.

 

 

Відповідь: (1, 1, 1).

 

5) Знайдемо матрицю, обернену до матриці А. Матриця А невироджена (|А| ¹ 0), а тому має обернену.

а) Методом алгебраїчних доповнень знайдемо матрицю А*, приєднану до матриці А.

 
 


A11 = 10; A21 = –2; A31 = 9;

А = ; A12 = 5; A22 = –7; A32 = 9;

A13 = 5; A23 = –4; A33 = 3.

 

       
 
   
 

 


A* = . A-1 = ; = 15.

 

 

 
 

 


A-1 = .

 

б) Знайдемо обернену матрицю методом елементарних перетворень комбінованої матриці. Запишемо комбіновану матрицю:

 
 

 


(А / Е) =

 

 

Зводимо цю матрицю до вигляду (Е / А-1).

 

(А / Е) ~ ~ ~ ~

 

       
   
 
 

 


~ ~ ~

 

 
 

 


~

 

 
 

 


А-1 = .

 

 

6) Запишемо систему рівнянь у матричному вигляді:

               
       
 
 


x1 – 2x2 + 3x3 = 2

2x1 – x2 – 3x3 = –2 А = ; В = ; Х = .

x1 + 2x2 – 4x3 = –1

 

Тоді система рівнянь приймає вид: А * Х = В або

           
     

 


* = , звідси Х = А-1 * В – розв'язок системи.

 

       
 
   
 

 


Х = * =

 

 
 


=( + – ; + – ; + – ) = (1, 1, 1).

 

Відповідь: Х = (1, 1, 1).

 

6.За допомогою теореми про накладання розв'язків знайти загальний розв'язок системи лінійних рівнянь:

x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 9

2x1 – x2 – 3x3 + x4 = –2

 

~
~
Розв'язання: Загальний розв'язок системи рівнянь можна знайти за формулою: Х = Х0 + Х, де Х0 – частинний розв'язок данної системи рівнянь, а Х – загальний розв'язок відповідної до неї системи однорідних лінійних рівнянь. Система рівнянь еквівалентна матриці:

 
 


А = .

 

Знайдемо ранг матриці А:

 
 


~ ; r(A) = 2; r(A) = 2.

 

Так як ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці, то дана система сумісна і має безліч розв'язків (r < n), де n – кількість невідомих.

Дана система рівнянь еквівалентна системі:

 

~
x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 9 x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 9

–5x2 – 5x3 – 5x4 = -20 x2 + x3 + x4 = 4

 

Нехай х3 і х4 – вільні невідомі. Надамо їм нульових значень: х3 = х4 = 0, тоді

 

~
x1 + 2x2 = 9 х1 = 1;

x2 = 4 х2 = 4;

 

Отже, Х0 = (1, 4, 0, 0) – деякий частинний розв'язок заданої системи рівнянь.

Запишемо однорідну систему лінійних рівнянь, відповідну заданій системі:

x1 + 2x2 +x3 + 3x4 = 0;

x2 + x3 + x4 = 0.

 

Знайдемо фундаментальну систему розв'язків цієї системи; вона складається з
4 – 2 = 2 розв'язків. У просторі R2 візьмемо базис: е1 = (1, 0); е2 = (0, 1) і вільним невідомим х3 і х4 надамо значень з базису <е1, е2>.

 

~
х3 = 1; х1 + 2х2 = –1; х1 = 1;

х4 = 0; х2 = –1; х2 = –1,

 
 
~


тоді Х' = (-1, -1, 1, 0) – один із фундаментальних розв'язків однорідної системи.

Нехай х3 = 0, х4 = 1, тоді одержуємо:

 

~
х3 = 0; х1 + 2х2 = –3; х1 = –1;

х4 = 1; х2 = –1; х2 = –1

 
 
~


і вектор Х'' = (-1, -1, 0, 1) – другий фундаментальний розв'язок.

Загальний розв'язок однорідної системи знаходимо як лінійну комбінацію фундаментальних розв'язків:

               
   
~
 
~
 
~
 
~
 


Х = Х' + Х''; Х = (, -, , 0) + (-, -, 0, ) = ( – , - – , , ); , Є R.

 

Загальний розв'язок даної системи лінійних неоднорідних рівнянь має вигляд:

 
 
~


Х= Х0 + Х = (1, 4, 0, 0) + ( – , - – , , ) = (1 – – ; 4 – – ; , ); , Є R.

 

Відповідь: (1 – – ; 4 – – ; , ); , Є R.


Контрольна робота № 3

 

1. Перевірити чи утворюють наступні множини векторні простори над полем дійсних чисел R

 

1. Сукупність векторів площини, початок кожного з яких збігається з початком координат, а кінець міститься в першій або четвертій координатних четвертях;

2. Множина многочленів степеня від однієї змінної дійсними коефіцієнтами;

3. Множина всіх функцій, неперервних на відрізку

4. Множина всіх збіжних послідовностей;

5. Множина квадратних матриць порядку n відносно звичайних операцій додавання матриць і множення їх на число.

6. Множина всіх многочленів f (х), що задовольняють умові f(0)= 1 відносно додавання многочленів і множення їх на число;

7. Множина комплексних чисел (зокрема, розглянути множину над полем раціональних чисел відносно звичайних операцій додавання і множення їх на число);

8. Множина всіх функцій, інтегрованих на відрізку ;

9. Розв’язки довільної системи лінійних однорідних рівнянь над деяким полем P.

10. Множина P додатних чисел з наступними операціями: додавання - для будь-яких “х+у=ху”, множення на число з поля K0- для будь-яких і .

 

ІІ. Довести, що вектори утворюють базис та знайти координати вектора в цьому базисі.

Таблиця параметрів:

Варіант параметр
a -1 -3 -2 -2
b -2 -3 -5
c -1 -3 -3 -1

 

ІІІ. Довести, що кожна з двох даних систем векторів є базисом і знайти зв’язок між координатами того самого довільно вибраного вектора в цих двох базисах.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7

8.

9.

10.

ІV. Знайти базиси суми і перетину векторних підпросторів V і U, заданих як лінійні оболонки векторів a 1, a 2, ... ak і b1 , b2,…. ,b і відповідно.

 

Таблиця параметрів

Варіант параметр
e1 -2 -4 -5   -2  
e2 -2 -2 -2 -4   -7  
e3 -1 -5 -8   -2  
t1 -2 -2 -2 -4   -7  
t2 -3 -2 -5 -9 -2
t3 -4 -2 -8 -14 -6

 

V. На вектори , , натягнута лінійна оболонка L

а) побудувати ортонормований базис простору L;

б) знайти ортогональне доповнення ;

в) знайти відповідно проекції і вектора на підпростори і

г) знайти кут між вектором і простором ;

д) знайти відстань між вектором і підпростором ;

Таблиця параметрів

 

Варіант параметр
а1
а2 -1
а3 -2 -1
а4 -1 -2 -1 -2 -1 -1
b1
b2 -5
b3 -1 -5 -2
b4 -1 -1 -3 -3
c1
c2 -1
c3 -1 -1 -6
c4 -1 -7 -4
x1 -1
x2 -2 -1 -2 -1
x3 -1 -2 -3 -3 -3 -1 -3
x4

VІ. Довести, що множення кожної квадратичної матриці другого

порядку з дійсними елементами зліва на матрицю є лінійним оператором векторного простору квадратних матриць другого порядку над полем дійсних чисел R. Знайти матрицю цього лінійного оператора у базисі, що складається з матриць:

  1. E1 = ; = ; = ;

 

 

 

 

 

VІІ. Нехай лінійний оператор A в базисі а = < а1, а2 > має матрицю , а лінійний оператор B у базисі b=<b1,b2,> має матрицю . Знайти матрицю Х лінійного оператора AB в базисі, в якому задано координати всіх векторів.

Таблиця параметрів