Покажемо, що М-абелева група відносно операції додавання. 2 страница

Оскільки кожен вектор із є лінійною комбінацією базису, то .

в) знайдемо відповідно проекції і вектора на підпростори і .

Оскільки , то вектор має єдине зображення = + , де , .

Враховуючи, що L – лінійна оболонка, натягнута на вектори , маємо

, тоді

(*).

Обидві частини рівності (*) скалярно помножуємо на вектори , і враховуючи, що ( , ) = ( , ) = ( , ) = 0, маємо:

Одержуємо систему рівнянь:

або

розв’язуючи систему рівнянь, знаходимо:

; ; .

Отже,

Отже, проекція на L: , проекція на : .

г) Оскільки - проекція вектора на підпростір L, обчислюємо за формулою:

д) Відстань

VI. Довести, що множення кожної квадратичної матриці другого порядку з дійсними коефіцієнтами зліва на матрицю є лінійним оператором векторного простору всіх квадратичних матриць другого порядку над полем дійсних чисел R.

Знайти матрицю цього лінійного оператора у базисі із матриць

Розв’язання. Нехай A-оператор множення кожної квадратичної матриці другого порядку зліва на матрицю . Перевіряємо, чи буде він лінійним. Розглянемо образ суми двох матриць Х і У, де . Маємо

A (X+Y)

A X

A Y

A X+A Y

Отже, A (X+Y)= A X+A Y.

Нехай тепер -довільне ціле число. Тоді A ( X) (A X)

Звідси випливає: оператор A – лінійний.

Знайдемо його матрицю в заданому базисі.

Для цього знаходимо образи базисних векторів під дією оператора A.

A

A

A

A

Матрицею А лінійного оператора A буде матриця

VII. Нехай лінійний оператор A в базисі має матрицю , а лінійний оператор B в базисі має матрицю . Знайти матрицю Х лінійного оператора A B в базисі, в якому задано координати всіх векторів.

Розв’язання. Позначимо матрицю лінійного оператора A в базисі e, в якому задані координати всіх векторів, через , а оператора B – через . Тоді , де T₁ і T₂ – матриці переходів від базисів a i b до базису e відповідно. Оскільки матриці і , рядками яких є координати векторів базисів a i b відповідно, є матрицями переходу від базису е до базисів a i b, то ,

Виконаємо обчислення:

Відповідь: .

VIII. Побудувати ядро KerA, область значень ImA та знайти ранг , дефект лінійного оператора A -векторного простору L₃, який у деякому базисі цього простору задано матрицею .

Розв’язання. Оскільки ранг лінійного оператора A дорівнює рангу матриці А, знайдемо r(A): . Звідси r(A)=2, і тому dim(ImA )=2, тобто ранг лінійного оператора A дорівнює 22. Виходячи з рівності dim(ImA )+dim(KerA )=n, одержуємо dim(KerA )=3–2=1, тобто дефект лінійного оператора А дорівнює 1. Для побудови KerA і ImA достатньо знайти їх базиси.

Оскільки ImA = < xA R³ >, , , , то підпростір породжується системою векторів e₁A, e₂A, e₃A.

Знаходимо ці вектори:

e₁A =(1,2,3); e₂A =(2,–1,1); e₃A =(1,0,1).

Ранг цієї системи векторів дорівнює r(A)=2, отже, максимальна лінійно незалежна підсистема цієї системи векторів складається з двох векторів. За цю систему можна взяти вектори e₁A і e₂A ; отже, ImA складається з векторів e₁A =(1,2,3); e₂A =(2,–1,1).Тоді ImA .

Побудуємо KerA. Оскільки KerA , то KerA є множина тих векторів простору R³, координатні рядки яких у базисі утворюють простір розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь [x]A=[ ], або

Оскільки матриця цієї системи є матрицею, транспонованою до матриці А, то ранг цієї системи дорівнює 2. За вільне невідоме обираємо х₁. Тоді , і фундаментальною системою розв’язків підпростору розв’язків цієї системи є вектор

Тоді Ker A .

Відповідь: ImA . KerA . dim(ImA )=2; dim(KerA )=1.

 

IX. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора A, заданого в деякому базисі B=<b₁,b₂,b₃> цього простору матрицею

Розв’язання.

Характеристичне рівняння оператора, заданого матрицею А має вигляд

Розв’язавши його, одержуємо

Усі корені – дійсні числа, отже лінійний оператор має три власних значення:

Знайдемо власні векторі, що відповідають цим значенням.

Нехай Маємо наступну систему лінійних однорідних рівнянь:

або r=2;

Фундаментальна система розв’язків складається із одного вектора

Отже, всі власні вектори, що належать власному значенню мають вигляд

тобто всі ненульові вектори, що належать підпростору L₁, що натягнутий на вектор (1,0,1).

Для маємо наступну систему лінійних однорідних рівнянь.

або

r=2

Фундаментальна система розв’язків складається з одного вектора x”=(0,1,0), тоді всі власні вектори, що належать власному значенню мають вигляд

тобто, всі ненульові вектори, які належать підпростору, натягнутому на вектор (0,1,0).

Для маємо систему рівнянь:

або

r=2.

Фундаментальна система розв’язків є вектор

.

Тоді власні вектори, що належать власному значенню , мають вигляд:

Тобто всі ненульові вектори, що належать підпростору L₂, натягнутому на вектор (-2,3,0).

Отже, лінійний оператор, заданий матрицею А, має три різних власних значення і відповідні ним власні вектори, ненульові вектори з лінійних оболонок L₁,L₂,L₃, натягнутих на вектора (1,0,1), (0,1,0), (-2,3,0).

Х. Чи зводиться матриця лінійного оператора A векторного простору V₃ до діагонального вигляду за допомогою переходу до іншого базису? Знайти цей базис і відповідну йому матрицю.

Розв’язання. Достатньою умовою для зведення матриці лінійного оператора векторного простору розмірності n є наявність у даного оператора n різних власних значень (оператор повинен мати простий спектр), причому діагональними елементами будуть саме ці власні значення.

У матриці А всі власні значення різні і їх три:

Отже, матриця А зводиться до діагональної матриці

.

Визначимо базис, в якому матриця А має діагональний вид А₁.

Оскільки цей процес зводиться до знаходження власних векторів оператора, то маємо такий базис для матриці А₁:

Відповідь:

 

 

Контрольна робота № 4

І. Для квадратичної форми f знайти:

а) матрицю та її ранг;

б) записати форму f у матричному вигляді;

в) методом Лагранжа привести форму f до нормального виду;

г) знайти лінійне перетворення, що приводить форму f до

нормального виду;

д) з’ясувати, чи є форма f позитивно визначеною.

1. f=x₁²+5x₂²+4x₃²-2x₁x₂+4x₁x₃;

2. f=4x₁²+4x₂²+x₃²-4x₁x₂+4x₁x_3-3x₂x₃;

3. f=x₁²-3x₃²+2x₁x₂-6x₂x₃;

4. f=7x₁²+6x₂²+5x₃²-4x₁x₂-4x₂x₃ ;

5. f=6x₁^2-2x₂²+6x₃²+4x₁x_3;

6. f=2x₁²+5x₂²+x₃²⁺2x₁x₂+2x₂x₃-16x₁x₃;

7. f=x₁²-2x₂²+3x₃²+4x₁x₂-4x₂x₃-8x₁x₃;

8. f=2x₁x₂+3x₂x₃-x₁x₃;

9. f=5x₁x₂-x₂x₃+x₁x₃;

10. f=4x₁²+5x₂²+6x₃²-4x₁x₂+4x₂x₃.

II.Запишіть квадратичні форми з матрицею А, якщо

1. A= ; 2. A= 3. A=

4. A= 5. A= 6. A=

7. A= ; 8. A= 9. A=

10. A=

Знайти ортогональні перетворення, що приводять квадратичні форми задані в евклідовому просторі ₃ до канонічного виду. Записати цей канонічний вид.

1. f=2x₁x₂+x₂²+x₁²+x₃ ² +4x₁x₃+2x₂x₃;

2. f=11x₁²+5x₂²+2x₃²+16x₁x₂+4x₁x₃-20x₂x₃;

3. f=x₁²+x₂²+5x₃²-6x₁x₂+6x₁x₃ –6x₂x₃;

4. f=x₁²+x₂²+x₃²+4x₁x₂+4x₁ x₃+4₂x₃;

5. f=17x₁²+14x₂²+14x₃² –4x₁ x₂-4x ₁x₃-8x₂ x₃;

6. f=6x₁²+5x₂²+7x₃²-4x₁x₂+4x₁x₃ ;

7. f=4x₁²⁺x₂²+x₃²-4x₁x₂+4x ₁x₃-3x₂x₃;

8. f=x₁²+2x₂²+3x₃²-4x₁x₂-4x₂x₃;

9. f=2x₁²+x₂²-4x₁x₂-4x₂x₃;

10. f=5x₁²+7x₂²+6x₃²-4x₁x₃+4x₂x₃.

IV. Записати канонічне рівняння поверхні другого порядку, визначити її тип та знайти канонічну систему координат.

1. x₁²+y²+z₃²+2xy+4xz+2yz-6x+8y-2z-5=0;

2. 11x²+5y²+2z²+16xy+4xz-20yz+4x-6y+8z+1=0;

3. x₁²+y²+5z²-6xy+6xz-6yz-2x+4y-6z-4=0;

4. x²+y²+z²+4xy+4xz+4yz-6x+4y-2z-1=0;

5. 17x²+14y²+14z²-4xy-4xz-8yz-2x+6y-8z-4=0;

6. 6x²+5y²+7z²-4xy+4xz-8x+2y-2z+3=0;

7. 4x²+y²+z²-4xy+4xz-3yz+4y-6z+2y-4=0;

8. x²+2y²+3z²-4xy-4yz+2y+4z-2x+1=0;

9. 2x²+y²-4xy-4yz+2x-2y+6z-2=0;

10. 5x²+7y²+6z²-4xz+4yz-4x-2y+8z-2=0;

Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 4

 

І. Для квадратичної форми f знайти:

а) матрицю та її ранг;

б) записати квадратичну форму у матричному вигляді;

в) методом Лагранжа привести форму f до нормального виду;

г) знайти лінійне перетворення, що приводить форму f до

нормального виду;

д) з’ясувати, чи є форма f позитивно визначеною.

Розв’язання:

Нехай f=2x₁x₂-12x₁x₃-x₂²-8x₃²;

а) Знаходимо матрицю А форми f:

A= =

Обчислюємо ранг матриці А.

A= ~ ~ r=3.

б) Запишемо квадратичну форму f у матричному вигляді:

Нехай Х= , тоді X^T=(х₁,х₂,х₃) і f=X^T·A·X

Дійсно, Х^Т·А·Х=(х₁,х₂,х₃)· · .

в) Методом Лагранжа перетворюємо квадратичну форму f до нормального виду.

1-е перетворення:

За допомогою 1-го перетворення виділяємо квадрат невідомого х₂.

Матриця цього перетворення Q= .

Знаходимо матрицю, обернену до матриці Q

Q/E= ~

отже, G^-1= , тоді (Q^-1)^T=

Знаходимо матрицю форми f₁, яка одержується з матриці форми f в результаті лінійного перетворення з матрицею Q:

= ^T·A_{f ·}Q^-1

= · · = .

За одержаною матрицею записуємо формулу f₁:

f₁=y₁²-y₂²-8y₃²-12y₁y₃.

2- перетворення:

, за допомогою якого виділяємо

квадрат невідомого у₁. Його матриця .

Знаходимо тоді .

Обчислюємо матрицю · .

· · = .

Матриці відповідає квадратична форма f₂:

=z₁²-z₂²-44z₃², яка має канонічний вид.

Зводимо форму f₂ до нормального виду за допомогою лінійного перетворення: Його матриця , тоді .

Тоді

· · = .

Отже, f₃=t₁²-t₂²-t₃² – нормальний вид форми f.

,

тоді