Теореми, які полегшують знаходження границь послідовностей.
Т.1. (Граничний перехід у нерівності).Якщо для будь-якого__виконується нерівність___________і___________ - збіжні,
то_________________.
Т.2. (Про границю затисненої послідовності) Якщо для
будь-якого____________і_____________-,
то_____________.
Т.3. (Веєрштрасса):Про границю монотонної й обмеженої послідовоності:
1) Якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна;
2) Якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна.
43. Довести, що_______________. Нехай ________, тоді послідовність_________ - монотонно спадна і обмежена знизу(________). Отже, за теоремою Веєрштрасса послідовність_________ має границю, яку позначимо так:_________. Послідовність_____________, за виключенням першого члена, збігається з послідовністю________, значить_________. Звідси випливає,
що____________________________________,
тобто________ або____________,
але______,значить____________________. Нехай
тепер________________. Розглянемо
______________________________________________.
44.Число е.Розглянемо послідовність
________________. Можна довести, що ця послідовність монотонно зростає і
обмежена____________________. За теоремою Веєрштрасса існує границя цієї послідовності, яку позначають так:
_________________. Число е(так зване “неперове число”)=2,7183… є основою натуральних логврифмів____________. Взагалі число е, як і число__, широко застосовується в різних задачах, у тому числі й у задачах з економічним змістом.
45.Озн. функцією____ називається така відповідність між множинами_______, при якій кожному значенню змінної___ відповідає одне й тільки одне значення змінної__. При цьому вважають, що:__ - незалежна змінна(аргумент), __ - залежна змінна(функція), __ - символ закону відповідності, __ - область визначення функції, __ - область значень функції.
Властивості(стр. 7-9 пос.)
46. Озн.Функція_____ називаєтьсяалгебраїчною, якщо________ - розв¢язок
рівняння__________________________,
де___________, і_____________- - многочлени. Алгебраїчні ф-ції поділяються на раціональні(цілі й дробові) та ірраціональні. Цілою раціональноюф-цією буде упорядкований
многочлен________________________________.
Дробово-раціональною ф-цією буде відношення многочленів
_________________________
або_____________________________________.
47. Озн. Ф-ція_____, якщо_______,_____________ називається показниковою ф-цією.
Властивості.
48.Озн. Ф-ція_________, якщо_________, ___________- називається логарифмічною.
Властивості.
49.Озн. Ф-ції_______________________називаються тригонометричними.Власт. (Валеев ст.49)
50. Озн. Ф-ції _______________________ Називаються оберненими тригонометричними ф-ціями. Власт. (51-52).
51. Число А називається границею ф-ції_________ у точці____-, якщо для будь-якого числа_________ існує таке число_____, що для
всіх___________,_____________ і таких,
що________________ виконується
нерівність__________________________________.
___________________,
або______________________________.
Теореми про границі.Т.1. Якщо ф-ції______ і ________ в точці___ мають границі, то сума і добуток цих ф-цій також мають у цій точці границю,
причому________________________________,______
________________________
Т.2. Якщо ф-ції______і________в точці___ мають границі і ______________, то й ф-ція__________ має в цій точці границю, яка дорівнює
__________________________________.
Т.3. Якщо при_________ ф-ція___________має границю А, то ця границя єдина.
52.Невизначеність для раціональних ф-цій. Теорема Безу: Остача від ділення многочлена___ на двочлен типу_____, дорівнює значенню многочлена
при______, тобто___________. Наслідок: Якщо число__ - корінь многочлена_____, тобто_________,
то многочлен___________ділиться без остачі на
двочлен________.
За наслідком з теореми Безу чисельник і знаменник діляться без остачі на______, тобто чисельник і знаменник мають спільний множник_________. Отже, матимемо
_________________________________.
Невизначеність для ірраціональних ф-цій. Для розв¢язання задач у цьому випадку рекомендується звільнитися від тих ірраціональних множників у чисельнику і знаменнику дробового виразу, які перетворюються на нуль при виконанні граничного переходу. Для звільнення від радикалів використовують формули скороченого множення, заміну змінної та інші штучні прийоми.
Невизначеність_______. У цьому випадку і чисельник, і знаменник рекомендується розділити на найбільший степінь змінної, що знаходиться у знаменнику та чисельнику.
Невизначеність_______. Цей тип невизначеності зводиться до невизначеностей типу_____ або______; наприклад зведенням виразу до спільного знаменника, множенням на спряжений вираз.
53. Перша особлива границ ____________________. Границі-наслідкипершої особливої границі:
__________________ ____________________
___________________ ____________________.
За допомогою першої особливої границі можна досліджувати невизначеності_____для виразів з тригонометричними ф-ціями.
Друга особлива границя_________________. Границі-наслідкидругої особливої границі:
_________________ _______________________
______________________
__________________________-.
За допомогою другої особливої границі та її наслідків можна досліджувати невизначеності______,_________,________.
54. Виходячи з наслідків першої та другої особливих границь, можна записати таку шкалу еквівалентних нмв при______: _______________________________________________________. Як наслідок звідси випливає, наприклад, що при___________ буде:______________________і т.п. Використовується шкала нмв при дослідженні невизначеностей типу_______.
55.Озн. Ф-ція_____називається неперервноюу точці_______, якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст ф-ції. Для неперервності ф-ції у точці мають виконуватися такі умови:
1) Точка______належить області визначення ф-ції__________, тобто_____існує;
2) Деякий окіл точки_______входить до області визначення ф-ції;
3) Границя____при_______дорівнює значенню ф-ції у точці___________-, тобто дорівнює_______.
Озн. Ф-ція______ називається неперервною на проміжку І, якщо вона неперервна у кожній точці цього проміжку.