Наслідок з теореми Кантора

ПОНЯТТЯ РІВНОМІРНОЇ НЕПЕРЕРВНОСТІ ФУНКЦІЇ. ТЕОРЕМА КАНТОРА

Нехай функція y=f(x) визначена на замкнутому інтервалі [a, b]. Функція f(x) називається неперервною в точці х=х0, якщо:

1) =f(x0) (формальне означення).

Функція f(x) називається неперервною в точці х=х0, якщо:

2) >0 ()>0 x [a,b] |x-x0|< |f(x)-f(x0)|< (за Коші (на мові ´´ – ´´).

3) {xn}->x0 (n N, xn [a,b] {f(x)}-> f(x0) (за Гейне (мова послідовностей)).

Функція f(x) називається неперервною на множині Х, якщо вона є неперервною у кожній точці цієї множини, тобто, якщо x X >0 (,x)>0:

x´ X, |x-x´|< : |f(x)-f(x´)|< .

Функція y=f(x) називається рівномірно неперервною на множині Х, якщо >0 (): х, x ´ X |x- x ´|< : |f(x)- f(x ´)|< .

Відзначимо, що для рівномірної неперервності число одне для всіх точок x X (залежне від ). А при «звичайній» неперервності у загальному випадку своє для кожного х. (Причому спільно не існує).

Приклад 1

y=f(x)=x2 X =[-l; l], l- const(l>0)

Доведемо, що ця функція буде рівномірно неперервною. Треба довести, що >0 ()>0: x´, x´ [-l;l], |x´-x´´|< , |(x´)2 - (x´´)2|< .

Розглянемо останню нерівність:

|(x´)2-(x´´)2|=|x´-x´´|*|x´+x´´|<|x´-x´´|*||x´|+|x´´||< *2l= , де |x´ - x´´|< , |x´ + x´´|<2* .

Звідси маємо, що =

Приклад 2

y=f(x) = x2 X = (-; +)

Побудова заперечення

1)

2)

3) <

>0: >0 x´, x´ (-; +), |x´-x´´|< |(x´)2-(x´´)2|

x´= , x´´= + |x´-x´´|= <

|( x´)2-(x´´)2|=|x´-x´´|*|x´ + x´´|= 1=

=1: >0, , + (-; +), |x´ - x´´|< , |(x´)2-(x´´)2| . Отже, ми довели, що на нескінченному проміжку функція є рівномірно неперервною.

Теорема Кантора

Означення

Якщо функція f(x) неперервна на сегменті [a;b], то вона рівномірно неперервна на цьому сегменті.

Доведення(від супротивного)

Нехай умова теоремі виконана, тобто f(x) неперервна на [a;b], але не рівномірно неперервна. Це означає, що треба довести, що >0 ()>0 x´, x´´ [a,b] |x´ - x´´|< |f(x´) - f(x´´)| .

Візьмемо послідовність { n}0 ( n N n>0) з додатних чисел, що збігається до 0.

(Наприклад, n= ). n>0 xn´ , xn´´ [a,b], |xn´-xn´´|< n |f(xn´)-f(xn´´)| (1) (Припущення, що (1) правильне).

Ми побудували дві послідовності: {xn´}, {xn´´}. Оскільки послідовність {xn´} складається з елементів сегмента [a, b], то вона є обмеженою і тому згідно з теоремою Больцано - Вейерштрасса з неї можна виділити збіжну послідовність {xnk´}.

Нехай =x0 (2), очевидно, що x0 [a,b].

Розглянемо |xnk´´-x0|=|(xnk´´ - xnk´)+(xnk´-x0)| |xnk´´ - xnk´|+|xnk´ - x0|0, де |xnk´´- xnk´|, |xnk´-x0| 0 (при k). Це означає, що x0 (3). Оскільки за умовами теореми функція f(x) неперервна на сегменті [a,b], то вона буде тепер і в точці x0 , що належить сегменту.

Згідно з означенням неперервності функції в точці за Гейне, одержимо, що

) = f(x0), ) = f(x0). Звідси випливає, що |f(x´nk)-f(x´´nk)|0(при k)(4). Одержана умова (4) суперечить умові (1), якщо замість послідовності {xn} взяти {xnk}. Одержане протиріччя доводить теорему.

Означення

Коливанням функції f(x) на проміжку [a, b] називається =M-m, де M=sup x [a,b] f(x), m=inf x [a,b]f(x).

Наслідок з теореми Кантора

Нехай функція f(x) неперервна на проміжку [a,b]. Тоді >0 >0 таке що, якщо розбити проміжок [a, b] довільним чином на частинні проміжки з довжинами менше, ніж , то коливання функції f(x) на цих проміжках не перевищує .

Оскільки функція f(x)=x2 неперервна на [-l, +l], то за наслідком випливає, що вона рівномірна (суттєво, що проміжок замкнений). Контрприклад: y= , [0,1].

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ