Системы линейных уравнений.

Алгебра матриц

1. Линейные действия с матрицами. Транспонирование.Квадратной матрицей порядка называется таблица из чисел , расположенных в строк и столбцов:

(1)

Первый индекс i у элемента означает номер строки, второй индекс j – номер столбца, в которых стоит этот элемент. Диагональ называется главной диагональю матрицы .

Две матрицы и одного и того же порядка считаются равными, если все соответствующие их элементы равны, т.е. =

(i, j = 1,2 …,n). Матрицы разных порядков не сравниваются между собою.

Линейными преобразованиями над матрицами называются сложение матриц и умножение их на число. Оба этих действия определяются поэлементно:

Свойства сложения матриц и умножения их на число:

3) (2)

Матрица , целиком состоящая из нулей, называется нулевой, для неё .

Сложение матриц имеет обратное действие – вычитание, которое также осуществляется поэлементно, например если , , то

Операция над матрицей , при которой её строки становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы – строками, называется транспонированием и обозначается . Например, если

, то .

Операция транспонирования обладает следующими свойствами:

, , . (3)

Матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали , равны нулю, называется диагональной.

Матрица называется симметрической, если она не меняется при транспонировании, т.е. . У симметрической матрицы элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны. Матрица называется кососимметрической , если при транспонировании она меняет свой знак, т.е. . У кососимметрической матрицы на главной диагонали стоят нули, а элементы, симметричные относительно этой диагонали, отличаются только знаком.

Определитель, составленный из элементов матрицы n-го порядка (1), называется определителем матрицы и обозначается .

264.Пусть , . Найти

Решение . Пользуясь сочетательным и переместительным свойствами сложения матриц, имеем

Но

, ,

Поэтому

, и

Полученная матрица представляет пример диагональной матрицы второго порядка.

265.Показать, что матрица - симметрическая, если

и .

Решение. Имеем

= .

Ясно, что полученная матрица S - симметрическая, так как она не меняется при транспонировании.

266.Показать, что матрица - кососимметрическая, если

Решение. Имеем

Так как , то матрица является кососимметрической.

267.Доказать, что для любой матрицы матрица симметрическая.

Решение. Применяя свойства (3) транспонирования, получим равенство , т.е. - симметрическая матрица.

268.Показать , что для матрицы n-го порядка выполняется равенство

Решение. При умножении матрицы на число все её элементы умножаются на . Вынося этот множитель из каждой строки за знак определителя (см. свойство 3, § 1, п.2), получим требуемое равенство.

269.Найти , если , .

270.Найти матрицу , если , .

271.Найти матрицу , если

, .

272.Показать, что матрица - кососимметрическая, если

, .

273.Показать, что матрица является нулевой матрицей, если

, .

274.Показать, что для любой матрицы матрица - кососимметрическая .

Указание. Стр. 267.

275.Дана произвольная матрица , показать, что она может быть представлена в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц.

Указание. Рассмотреть матрицы и .

276.Выписать общий вид симметрической и кососимметрической матриц второго и третьего порядка. Найти их определители.

2. Умножение матриц.Произведение матрицы на матрицу (того же порядка) определяется следующим образом: для того, чтобы получить элемент - матрицы произведения , надо элементы i-ой строки матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы и результаты сложить, т.е.

, (4)

- произведение i-й строки матрицы на j-й столбец матрицы .

Свойства.

1) .

2) .

3) . (5)

4) .

5) ,

где

- единичная матрица.

6) , , (6)

Заметим, что в общем случае , т.е. умножение матриц не обладает коммутативным свойством, поэтому всегда надо строго следить за порядком множителей. Матрицы, для которых выполняется равенство , называются перестановочными.

277.Найти произведение строки на столбец .

Решение. Надо перемножить соответственные элементы и сложить результаты:

278.Найти произведения и матриц:

и .

Установить, что матрицы и неперестановочны.

Решение. Пусть . Чтобы найти элемент , надо умножить первую строку матрицы на первый столбец матрицы :

Элемент произведения получается умножением первой строки на второй столбец :

Аналогично, умножая вторую строку на столбцы , найдём:

;

Таким образом,

. Умножая теперь строки на столбцы , получим (проверьте!)

Так как , то данные матрицы неперестановочны.

279.Найти произведение данных матриц третьего порядка:

, .

Решение. Умножив по очереди строки матрицы на столбцы , получим

280.Найти все матрицы, перестановочные с .

Решение. Пусть - искомая матрица , тогда , , и равенство соблюдается тогда и только тогда, когда , .

Таким образом, общий вид матрицы, перестановочной с данной матрицей следующий:

281.Показать, что произведение матрицы на транспонированную всегда является симметрической матрицей.

282.Матрица называется ортогональной, если выполняется условие

, или . Доказать, что матрица - ортогональная, если

Решение. Из симметричности матрицы следует, что , поэтому

283.Произвести умножение квадратных матриц в следующих примерах:

а) , б) ,

в) , г) .

284.Показать, что матрицы и - перестановочны, если

, .

285.Найти матрицу , если

, .

286.Показать, что матрицы

, перестановочны.

Найти их произведение.

287.Найти все матрицы, перестановочные с данными:

а) , б) , в) .

288.Найти общий вид матрицы третьего порядка , для которой

289.Ненулевые матрицы и , для которых , называются делителями нуля. Показать, что определитель хотя бы у одной из этих матриц равен нулю.

Указание. Использовать свойство умножения матриц (6).

290.Показать на примере матриц второго порядка , что равенство невозможно.

3.Степени матриц. Многочлены от матриц.Целая неотрицательная степень матрицы определяется равенством:

и .

p раз

Для произведения степеней матриц справедливо равенство:

(p, q = 0, 1, 2, …)

Если дан многочлен , то многочленом от матрицы называется матрица .

Всякие два многочлена о матрицы перестановочны :

Если (нулевая матрица), то матрица называется корнем многочлена.

291.Найти для матрицы .

Решение. Вычисляем последовательно произведения по формуле (3):

, ,

и т.д.

Продолжая умножение, придём к формуле:

292.Матрица , у которой все элементы неотрицательны , а сумма элементов каждой строки равна единице, т.е. (i = 1, 2, …, n), называется матрицей переходных вероятностей или стохастической матрицей. Найти и стохастической матрицы

Решение. Находим и (предварительно за знак матрицы выносится общий множитель ):

Заметим, что матрицы и также являются стохастическими матрицами; вообще можно показать, что любая степень стохастической матрицы также является стохастической матрицей.

293.Найти все степени матрицы .

Решение. Имеем: , .

Значит, .

Ненулевая матрица , для которой при некотором значении , называется нильпотентной. Наименьшее из числе , для которых , называется показателем (индексом) нильпотентности . В этом примере = 3.

294.Найти многочлен от матрицы , если , а

Решение. Искомая матрица определяется равенством:

295.Показать, что матрица - корень многочлена .

Решение. Имеем

Т.е. - корень многочлена .

296.Найти для следующих матриц:

а) , б) , в) .

297.Найти все степени матриц и .

298.Матрица называется инволютивной, если и идемпотентной, если . Найти общий вид инволютивной и идемпотентной матрицы второго порядка.

299.Найти , если:

а) , ; б) , ;

в) , .

300.Найти общий вид матриц второго порядка, квадрат которых равен нулевой матрице, т.е .

301.Найти все матрицы второго порядка, квадрат которых равен диагональной матрице , .

302.Найти условие, при котором матрица второго порядка перестановочна со всеми матрицами второго порядка .

303.Каким условиям должны удовлетворять элементы матрицы второго порядка, для того, чтобы она была перестановочна со всеми диагональными матрицами того же порядка?

4.Обратная матрица .Матрица называется обратной матрице , если . Для того, чтобы матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной , т.е. чтобы . Обратная матрица определяется по формуле

, (7)

где - алгебраические дополнения элементов в определителе . Алгебраические дополнения для строчек матрицы записываются в столбцы матрицы (7). Так, например, в первом столбце этой матрицы стоят алгебраические дополнения первой строки матрицы .

С помощью обратной матрицы решаются матричные уравнения вида:

и (при .) (8)

Умножая первое уравнение на слева, а второе на справа, получим их решение в виде:

и . (9)

Свойства.

1) .

2) . (10)

3) .

4) .

304.Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение. Покажем сначала, что данная матрица невырожденная, тогда она имеет обратную матрицу. Действительно,

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :

, , , .

Следовательно, матрица , обратная к , имеет вид:

Проверим правильность полученного результата:

305.Найти матрицу, обратную для матрицы

Решение. Так как , то данная матрица является невырожденной.

Вычислим алгебраические дополнения:

, ,

Аналогично находим

Таким образом,

Вычислим произведение:

что показывает правильность полученного результата.

306.Решить матричное уравнение или .

Решение. По формуле (9) имеем . Так как

, то поэтому

поэтому

307.Показать, что матрица , обратная симметрической матрице

, будет тоже симметрической.

308.Найти матрицы, обратные для следующих:

а) , б) , в) , г) .

309.Решить следующие матричные уравнения:

а) , б) ,

в) и , если , .

310.Показать, что если , то .

311.Как изменится обратная матрица , если в матрице переставить местами две строчки?

312.Показать, что если матрица не имеет обратной , то и её произведение на любую матрицу также не имеет обратной.

313.Две матрицы и называются подобными, если они связаны равенством , где -некоторая невырожденная матрица .

Показать, что подобные матрицы имеют одинаковые определители.

5.Прямоугольные матрицы и элементарные преобразования матриц. Прямоугольная таблица чисел, расположенных в строках и столбцах, называется прямоугольной матрицей размера , или ( ) матрицей:

. (11)

Элементарными преобразованиями первого рода матрицы называются следующие действия:

1) Умножение какой-либо строки на число ;

2)Перестановка двух строк;

3)Прибавление к элементам одной строки соответственных элементов другой строки, умноженных на число .

Элементарными преобразования второго рода матрицы называются аналогичные действия со столбцами.

С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к специальному виду:

Число r единиц, стоящих на главной диагонали, не зависит от способа приведения матрицы к виду матрицы и называется рангом матрицы .

Матрицы, получаемые друг из друга элементарными преобразованиями называются эквивалентными и соединяются знаком ~. У эквивалентных матриц одинаковые ранги.

314.Найти ранги следующих матриц

Решение.Подвергнем эту матрицу следующим элементарным преобразованиям. Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (-4), а к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-10), затем ко второй строке прибавим третью, умноженную на (-4). После этих преобразований полученная матрица примет вид:

Теперь первую строку умножим на 5 и на (-3) и прибавим соответственно ко второй и третьем строка, а затем переставим местами вторую и третью строки; тогда будем иметь матрицу:

Далее, если умножить на (-1/5) и (-1/13) второй и третий столбцы, а затем вычесть из третьего столбца второй, то получим матрицу

Следовательно, ранг rданной матрицы равен двум, т.е. r=2.

315.

Решение. Посредством последовательных элементарных преобразований над данной матрицей получим следующую систему эквивалентных матриц :

Следовательно, ранг этой матрицы равен двум.

316.Найти ранги следующих матриц:

а) , б) , в) , г) , д) .

Системы линейных уравнений.

1.Формулы крамера.Пусть дана система линейных уравнений

(1)

Определитель n-го порядка , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. В зависимости от определителя системы различают следующие случаи:

а)Если определитель системы (1) отличен от нуля, то система имеет, и притом единственное, решение, которое может быть определено по формулам Крамера:

(2)

Где определитель n-го порядка (i=1, 2,…, n) получается из путём замены i-го столбца свободными членами ;

б)Если , но хотя бы один из (i=1, 2,…, n), то система (1) совместна;

в)Если и (i=1, 2,…, n), то система (1) либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений [в последнем случае хотя бы одно уравнение системы (1) – следствие других ].

317.Решить систему

Решение. Определитель системы

Поэтому решение её определяется по формулам Крамера:

Но

тогда

Геометрически каждое из уравнений и определяет прямую на плоскости x0y, и поэтому решение определяет точку пересечения этих прямых.

318.Исследовать систему

Решение. Определитель данной системы , но определить что показывает несовместность системы.

Геометрически это означает , что данные прямые не пересекаются, т.е. параллельны.

319. Решить систему

Решение. Определители так как у них строки пропорциональны. Здесь оба уравнения системы определяют одну и ту же прямую и решением системы являются координаты любой точки этой прямой. Отсюда следует, что система имеет бесчисленное множество решений.

Найти все решения следующих систем:

320. 322.

321. 323. .

324.Решить систему

Решение. Вычисляем определители:

Так как , то данная система имеет только одно решение . Находим его по формулам Крамера:

Решить следующие системы:

325. 326.

327.

328.

2.Решение системы с помощью обратно матрицы. Пусть дана система (1).

Её можно записать в матричной форме

, (3)

Где - матрица из коэффициентов при неизвестных, а и - столбцы, составленные соответственно из свободных членов и из неизвестных. Если матрица - невырожденная, т.е. определитель системы , то, умножая обе части уравнения (3) на матрицу слева, получаем решение системы в матричной форме:

Найти решение следующих систем с помощью обратной матрицы:

329.

Решение. Здесь , значит матрица - невырожденная и искомое решение имеет вид (4):

Отсюда

330.

Решение. Определитель системы , и тогда

откуда и следует, что

331.

332.

333.

334.

335.

3.Однородная система линейных уравнений.Система (1) называется однородной, если все свободные члены в матричной форме однородная система имеет вид

, (5)

где 0 – нулевой столбец.

Однородная система всегда обладает тривиальным – нулевым решением:

т.е всегда совместна.

Если определитель системы то нулевое решение будет её единственным решением. Для того, чтобы система (5) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю. Заметим, что система (5), имеющая одно ненулевое решение, имеет бесчисленное множество решений; если и , то при любом .

Пусть дана однородная система, например, трёх уравнений с тремя неизвестными

(5`)

Здесь могут быть следующие случаи:

а) Если , то ненулевое решение - единственное;

б) Если , но один из миноров второго порядка определителя отличен от нуля, тогда одно из уравнений системы является следствием двух других уравнений и данная система уравнений сводится к системе двух уравнений с тремя неизвестными, имеющей бесчисленное множество ненулевых решений ;

в) Если и все миноры второго порядка определителя равны нулю, то система сводится к одному уравнению с тремя неизвестными , следовательно, данная система также имеет бесчисленное множество ненулевых решений.

Найти все решения следующих однородных систем:

336.

Решение. Вычислим определитель системы:

Поскольку , то данная система имеет только одно ненулевое решение:

337.

Решение. Определитель данной системы

Поэтому система имеет ненулевые решения. Замечаем, что миноры, содержащиеся в первых двух строчках, отличны от нуля, например,

Здесь для получения третьего уравнения надо прибавить к первому удвоенное второе (проверить!), т.е. третье уравнение- следствие первых двух, и система сводится к двум уравнениям:

Задавая произвольно одно из них, например Z, из этих двух уравнений найдём значения X и Y. Полагая в данном случае Z=h, получим

откуда

Следовательно, решение системы можно записать в виде:

где h – произвольно число.

338.

Решение. Нетрудно подсчитать, что здесь сам определить и все его миноры равны нулю. Это значит, что в данной системе только одно независимое уравнение, а остальные два ему пропорциональны. Находя, например, из первого уравнения при произвольных и , получим решение данной системы. Общий вид решения можно записать так:

где h и k – произвольные числа.

339. 341.

340. 342.

343.При как