Визначення прямокутних координат точок 1 страница
Завдання: визначити прямокутні координати точок 1 і 2.
Згідноз проекцією Гаусса - Крюгера поверхня Землі поділена меридіанами на зони широтою в шість градусів. Кожна зона розділена на дві рівні частини: поздовж – осьовим меридіаном, а поперек – екватором. Точка перетину осьового меридіану з екватором є початком прямокутної системи координат зони. Лінія осьового меридіану є віссю абсцис, а лінія екватору – віссю ординат. Щоб спростити визначення координат точок на топографічній карті, кожну зону розділено прямими, паралельними осям координат, на квадрати. Сукупність квадратів називають сіткою координат. На карти масштабів 1:10 000 - 1:50 000 наноситься кілометрова сітка координат.
Для визначення прямокутних координат точок вимірюють довжини перпендикулярів від нижньої лінії квадрата 
і лівої лінії квадрата 
до заданої точки (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Визначення прямокутних координат точки
Прямокутні координати точки обчислюють за формулами
де 
– координати нижньої і лівої ліній квадрата.
Наприклад, якщо = 647 м, а = 723 м (рис.1.4), то прямокутні координати точки 1 будуть:
= 6065000 + 647 = 6065647 м;
= 4311000 + 723 = 4311723 м.
Щоб визначити дійсні прямокутні координати точок потрібно від значення ординати відкинути номер зони і відняти 500 кілометрів. Дійсні прямокутні координати точки 1 будуть такі:
= 6065647 м; = 311723 – 500000 = - 188277 м.
1.4. Визначення напрямів ліній
Завдання: виміряти на карті дирекційний кут лінії 1-3, обчислити істинний і магнітний азимути, румб.
Зорієнтувати лінію означає визначити її положення на місцевості відносно вихідного напряму. За вихідний напрям в геодезії прийнято: напрям істинного меридіана; напрям магнітного меридіана; напрям вертикальної лінії сітки координат.
Залежно від того, який напрям приймають за початковий, розрізняють три види кутів, що визначають напрям ліній: істинний азимут, магнітний азимут, дирекційний кут (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Схема розміщення меридіанів
Істинним (магнітним) азимутом 
лінії називають горизонтальний кут, відлічуваний від північного напряму істинного (магнітного) меридіана за ходом стрілки годинника до напряму лінії. Кути можуть набувати значень від 0 до 360°. Азимути в двох точках прямої лінії мають різні значення через непаралельність меридіанів, що проходять через ці точки. При обчисленнях це викликає значні труднощі. Тому для орієнтування ліній використовують дирекційні кути.
Дирекційним кутом лінії називають горизонтальний кут, відлічуваний від північного напряму осьового меридіана зони або вертикальної лінії сітки координат за ходом стрілки годинника до напряму лінії. Горизонтальний кут між істинним меридіаном і лінією паралельною осьовому меридіану зони (осьовим меридіаном) називають зближенням меридіанів . В системі прямокутних координат Гауса зближення меридіанів можна розрахувати за формулою
,
де – довгота точки; 
– довгота осьового меридіана зони; – широта точки.
На екваторі значення кута дорівнює нулю. В міру наближення до полюсу значення кута збільшується і на полюсі змінюється від +3° до - 3° в шестиградусній зоні. Значенню кута приписують від’ємний знак, якщо точка розташована на заході від осьового меридіана і додатний – якщо на сході. Відповідно до рис. 1.5 запишемо
. (1.1)
Горизонтальний кут між напрямками істинного і магнітного меридіанів називають схиленням магнітної стрілки або магнітним схиленням . Аналогічно до зближення меридіанів магнітне схилення буває західним із знаком мінус і східним із знаком плюс. Вивчення явищ земного магнетизму показало, що магнітне схилення змінюється в даній точці від середнього положення як протягом доби до 15´, так і протягом віків до 22,5º. Згідно з рис. 1.5 можна записати
. (1.2)
Значення величин і приведені на графіку, який розміщений під південною стороною рамки карти.
В практиці геодезичних робіт доводиться визначати дирекційні кути декількох ліній, з’єднаних між собою. Для цього в точках з’єднання вимірюють горизонтальні кути: лівий 
або правий 
по ходу лінії 1-3 (рис. 1.6).
Рис. 1.6. Визначення дирекційних кутів ліній
Із рис. 1.6 випливає:
або 
.
В деяких випадках дирекційні кути ліній вигідно замінити румбами (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Співвідношення між дирекційними кутами і румбами
Для вимірювання дирекційного кута лінії на карті належить задану лінію продовжити до перетину з вертикальною лінією сітки координат і виміряти транспортиром кут між напрямом заданої лінії і північним кінцем вертикальної лінії (рис. 1.8).
Рис. 1.8. Вимірювання дирекційного кута лінії транспортиром
Обчислення істинного і магнітного азимутів ліній виконують за формулами (1.1), (1.2).
Наприклад, якщо 
, 
, 
, то:
;
;
.
Визначення висот точок
Завдання: визначити висоти точок 1 і 2.
Для зображення рельєфу земної поверхні на топографічних картах, планах і розв’язання різних задач потрібно знати висоти точок. Висотою точки земної поверхні називають відрізок прямовисної лінії від рівневої поверхні, прийнятої за початок відліку висот, до точки. Висоти точок, визначені відносно рівневої поверхні, що проходить через нуль Кронштадтського футштока (середній рівень Балтійського моря, встановлений на основі багаторічних спостережень), називаються абсолютними. Якщо для відліку висот беруть умовну поверхню, то такі висоти точок називають умовними.
Для визначення висоти точки 1 вимірюють відстані між сусідніми горизонталями 
(закладення) і b від горизонталі до заданої точки (рис. 1.9).
Рис. 1.9. Визначення висоти точки
Визначають перевищення точки над горизонталлю:
або 
,
де 
– висота перерізу рельєфу.
Висоту точки обчислюють за формулою
.
Наприклад, якщо а=20 мм, 
=5 мм, 
=15 мм, =2,5 м, то висота точки 1 буде:
= 147,5 + 
= 148,1 м
або
м.
1.6. Визначення ухилу лінії
Завдання: визначити максимальний і мінімальний ухили місцевості повздовж лінії 1-2.
Ухил лінії місцевості обчислюють за формулою
,
де h – перевищення між точками; d – відстань між цими точками.
Максимальний і мінімальний ухили місцевості вздовж лінії 1-2 будуть у місцях відповідно найменшого і найбільшого закладень (рис. 1.10).
Рис. 1.10. Визначення ухилу ліній місцевості
Наприклад, якщо висота перерізу рельєфу h = 2,5 м, а найменша відстань між сусідніми горизонталями (закладення) дорівнює d = 83 м, а найбільша – d = 215 м, то максимальний і мінімальний ухили будуть:
;
.
Ухил місцевості також можна визначити, користуючись графіком закладень, який розміщується нижче південної рамки карти.
1.7. Побудова профілю
Завдання: побудувати профіль місцевості повздовж лінії 1-2.
Для побудови профілю накреслюють на аркуші міліметрового паперу сітку профілю. Переносять з карти на умовний горизонт сітки точки перетину лінії з горизонталями. Виписують з карти у сітку профілю висоти усіх точок. Відкладають висоти точок по ординатах від лінії умовного горизонту. Сполучають позначенні точки прямими і одержують профіль місцевості (рис. 1.11).
Нахили окремих прямих ліній обчислюють за формулою
,
де 
- висоти попередньої і наступної точок; d –відстань між цими точками.
Наприклад, ухил лінії місцевості на початку профілю буде
.
Масштаби: горизонтальний – 1:10 000; вертикальний – 1:500
Рис. 1.11. Профіль місцевості
1.8. Відмежування водозбірної ділянки
Завдання: визначити межі водозбірної ділянки для заданого на карті створу А-В і площу ділянки (рис. 1.12).
Для відмежування водозбірної ділянки від кінців заданого створу А-В проводять штрихові лінії нормально до горизонталей і до перетину з вододільною лінією, від якої вода стікає у різні боки.
Рис. 1.12. Відмежування водозбірної ділянки
Визначають площу ділянки, що розміщена в межах штрихової лінії.
1.9. Визначення експозиції ділянки
Завдання: визначити експозицію ділянки та її середній нахил.
Експозиція ділянки – це нахил поверхні ділянки відносно сторін горизонту. Для розв’язання задачі проводять через ділянку лінію з напрямом на пониження місцевості перпендикулярно до основних горизонталей і вимірюють румб цієї лінії (рис. 1.13).
Рис. 1.13. Визначення експозиції ділянки
(для ділянки чагарнику експозиція південно-східна r = ПдСх: 38º)
Також визначають середній нахил ділянки за формулою
,
де С – довжина усіх горизонталей в межах ділянки; h – висота перерізу рельєфу; Р – площа ділянки.
1.10. Визначення площ земельних ділянок
Площі земельних ділянок, або інших об’єктів місцевості можна визначити аналітичним, графічним і механічним способами.
Аналітичний спосіб. Площі ділянок обчислюють за результатами вимірювань на місцевості довжин ліній, кутів між ними або координат точок, використовуючи формули геометрії, тригонометрії та аналітичної геометрії.
Графічний спосіб. Площі ділянок обчислюють за результатами вимірювань на топографічних картах і планах довжин ліній, кутів або координат точок, використовуючи формули геометрії та тригонометрії або – визначають за допомогою палетки.
Механічний спосіб. Площі ділянок вимірюють на топографічних картах і планах за допомогою планіметра.
Найбільш точні результати можна отримати, використовуючи аналітичний спосіб, так як на точність визначення площ в цьому випадку впливають тільки похибки вимірювань на місцевості.
При графічному і механічному способах на точність визначення площ впливають похибки вимірювань на місцевості, складання карти або плану, вимірювань на плані або карті.
В багатьох випадках при визначенні площ усі способи поєднують. Наприклад, загальну площу ділянки обчислюють за координатами вершин ходу, що прокладений по зовнішній границі ділянки, а площі контурів угідь та інших об’єктів, що розміщуються в межах ділянки – механічним і графічним способами.
Обчислення площі полігона за координатами його вершин. Площу полігона 1 – 2 – 3 – 4 (рис. 1.14) можна обчислити за формулами
;
,
де X, Y – координати вершин полігона.
Рис. 1.14. Визначення площі полігона за координатами
Обчислення площі ділянки за результатами вимірювання довжин ліній і кутів. Площу земельної ділянки можна визначити за результатами вимірювань довжин ліній і кутів (рис.1.15).
Рис. 1.15. Елементи фігур:
а – трикутника; б – трапеції; в – чотирикутника
Площі плоских фігур обчислюють за формулами:
- трикутник
;
; 
; (1.3)
;
;
- квадрат, прямокутник і трапеція
; 
; 
; (1.4)
- чотирикутник
(1.5)
де a, b, c, d – довжини сторін; 
– горизонтальні кути; h – висота трикутника або трапеції.
Визначення площі ділянки за вимірами на карті. Площі контурів угідь або інших об’єктів місцевості, які за формою відповідають трикутнику, квадрату, прямокутнику, трапеції або чотирикутнику, обчислюють за формулами (1.3)-(1.5), вимірявши попередньо на карті довжини сторін і кути. Якщо ділянка має складну форму, то її ділять на прості геометричні фігури, наприклад, трикутники і тоді її площа визначається сумою площ окремих трикутників, у яких вимірюють основу та висоту.
Для контролю площу ділянки визначають двічі, вимірюючи основу і висоту різних трикутників (рис.1.16).
Рис. 1.16. Два варіанти розподілу ділянки на трикутники
Результати обчислень записують у відомість (табл.18.3).
Таблиця 1.1. Відомість обчислення площі ділянки
| Номер фігур | Розміри трикутника, м | Подвійна площа 2P, м2 | Розміри трикутника, м | Подвійна площа 2P, м2 | ||
| висота | основа | висота | основа | |||
| Варіант а | Варіант б | |||||
| Сума | - | - | - | - |
Р = 0,25(598900+599900) = 299700 м2 = 29,97 га.
Допустиме розходження між двома значеннями площі в гектарах розраховують за формулою
,
де М – знаменник масштабу карти; Р – площа ділянки в гектарах.
Для вищенаведеного прикладу (основа і висота трикутників виміряні на карті в масштабі 1:10 000) допустиме розходження у значеннях площ буде:
га.
Визначення площі ділянки за допомогою палетки. Площі ділянок з невеликими розмірами на плані вигідно визначати за допомогою палетки – сітки квадратів на прозорій основі або паралельних ліній. В обох випадках площа визначається як сума площ підрахованих квадратів або сума площ трапецій, нижню і верхню сторони яких визначають на палетці.
При користуванні квадратною палеткою (рис.1.17, а) площу ділянки в гектарах обчислюють за формулою
,
де а – довжина сторони квадрата палетки в сантиметрах; М – знаменник масштабу плану; n – кількість квадратів.
а б
Рис. 1.17. Визначення площі ділянки палеткою:
а – квадратно; б – паралельною
Наприклад, якщо а = 0,5 см, М = 10 000, n =29,6, то площа ділянки буде:
га.
Для визначення площі за допомогою паралельної палетки її накладають на ділянку так, щоб крайні точки ділянки розмістились посередині між лініями палетки і вимірюють довжину ліній палетки в межах контуру (див. рис. 1.17, б). Площу ділянки в гектарах обчислюють за формулою
,
де a – відстань між лініями палетки в сантиметрах; 
– сума виміряних довжин ліній палетки в сантиметрах.
Наприклад, якщо a = 0,2 см, М = 5000, а = 17,6 см, то площа ділянки буде:
га.
Точність однократного визначення площі ділянки як квадратною, так і паралельною палетками характеризується відносною похибкою 1:100.
Визначення площ земельних ділянок механічним способом. У механічному способі для визначення площі земельної ділянки застосовують планіметр. В основу роботи планіметра покладено принцип обводу контуру ділянки за допомогою індексу.
Щоб визначити площу ділянки, зображеної на карті або плані, обвідний індекс планіметра проводять по лінії контуру за ходом стрілки годинника, знімаючи при цьому відліки по шкалах лічильного пристрою. Площу ділянки, при розміщенні полюса за межами контуру, обчислюють за формулою
,
де 
, 
– відліки по шкалі лічильного пристрою відповідно до і після обводу фігури; p – ціна поділки планіметра.
Для визначення ціни поділки планіметра обводять фігуру з наперед відомою площею, наприклад, квадрат сітки координат на
плані. Ціну поділки обчислюють за формулою
;
де 
– площа квадрата; 
– кількість поділок в квадраті.
Результати вимірювань і обчислень заносять у табл.1.2.
Таблиця 1.2. Відомість визначення площ ділянок планіметром
| Но-мер п/п | Назва контурів | Відліки | n = u2 - u1 | nсер | Ціна поділки p, га | Площа Р, га | |
| u1 | u2 | ||||||
| Квадрат | 0,64103 | 100,00 | |||||
| Ліс | 39,5 | 0,64103 | 25,32 |
Якщо полюс планіметра розміщується в середині контуру, то його площу обчислюють за формулою
,
де с – постійна, яка залежить від параметрів приладу.
Для визначення величини с обводять круг з відомим діаметром D, при розміщені полюса в його середині. Значення постійної приладу обчислюють за формулою
.
При вимірюванні площ планіметром потрібно дотримуватись таких правил:
- полюс планіметра розміщувати так, щоб при обводі фігури кут між важелями був не менше 30º і не більше 150º;
- вихідну точку встановлення обвідного індексу вибирають на контурі так, щоб на початку і по закінченні руху планіметра лічильний ролик обертався повільно;
- обвід фігури треба виконувати при двох положеннях лічильника – праворуч і ліворуч (допустима розбіжність в результатах не більше чотирьох поділок).
Перед роботою прилад підлягає дослідженню і перевіркам за правилами, наведеними в інструкції, що додається до планіметра.
Планіметром полярного типуPlanix 5(рис.1.18, а) японської фірми Tamaya з одної позиції можна визначити площу ділянки діаметром до 35,6 см. Значення площ в квадратних сантиметрах
або дюймах висвітлюється та екрані дисплею.
а б
Рис.1.18. Планіметри Planix:
а – полярний ; б – роликовий
1 – лічильник; 2 – полюсний важіль; 3 – полюс; 4 – обвідний важіль; 5 – ролики
Ролики планіметра Planix 7(рис.1.18, б)забезпечують значне горизонтальне переміщення приладу, що дозволяє вимірювати площі ділянок з розмірами до 300 х 30см і відносною похибкою не більше 1/500.
2. ОЦІНЮВАННЯ ТОЧНОСТІ ГЕОДЕЗИЧНИХ ВИМІРІВ
2.1. Оцінювання точності рівноточних вимірювань
Завдання 1: виконати оцінювання точності п’ятикратного вимірювання кута теодолітом 4Т30П: 75º11,0' + Н' ; 75º11,5' + Н' ; 75º10,0' + Н' ; 75º10,5' + Н' ; 75º11,0' + Н' ; за точне значення прийняти кут, виміряний теодолітом 3Т5КП: 75º10,7' + Н'
(Н – дві останні цифри номера залікової книжки).
Нехай результати рівноточних вимірювань величини будуть 
, а її істинне значення Х. Тоді різниця між виміряним значенням величини і її істинним значенням буде істинною похибкою: 
. Кожна із цих похибок характеризує точність окремого виміру, але не може характеризувати точність усіх вимірювань. Тому для оцінювання точності вимірювань застосовують значення абсолютної середньої похибки:
,
або середньоквадратичної похибки (СКП) одного вимірювання:
,
де 
– сума квадратів похибок; n – кількість вимірювань.
Для оцінки точності вимірювань також обчислюють граничну і відносну похибки:
; 
,
де k – коефіцієнт, який може дорівнювати 2; 2,5 або 3; l – значення виміряної величини; Nm – знаменник відносної середньої квадратичної похибки.
Приклад 1. Визначити середню квадратичну і граничну похибки чотирикратного вимірювання кута теодолітом 4Т30П (табл. 2.1). Точне значення кута, виміряного теодолітом 3Т5КП, дорівнює: = 73º14,9'.